EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI “PER QUADRATURA” .

(1)

EQUAZIONI

DIFFERENZIALI ORDINARIE

ALTRI TIPI

INTEGRABILI

“PER QUADRATURA” .

(2)

 Ulteriori tipi d’equazioni del Ulteriori tipi d’equazioni del prim’ordine.

prim’ordine.

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Alcuni tipi d’equazioni del Alcuni tipi d’equazioni del second’ordine.

second’ordine.

(3)

ULTERIORI TIPI ULTERIORI TIPI

D’EQUAZIONI D’EQUAZIONI

DEL DEL

PRIM’ORDINE

(4)

Equazioni

Equazioni differenziali lineari differenziali lineari del prim’ordine

del prim’ordine . .

y’ = a(x)  y(x) + b(x) (4)

con a(x) con e b(x)e funzioni continue funzioni continue definite su un intervallo

definite su un intervallo II a valori a valori in in RR..

L’equazione

L’equazione (4) si dice anche si dice anche equazione completa

equazione completa, mentre, mentre

(5)

y’ = a(x)  y(x) (5)

si dice

si dice equazione omogeneaequazione omogenea associata alla

associata alla (4)..

Se A(x) Se è è unauna primitiva di a(x) primitiva di , ,

allora la totalità delle soluzioni di allora la totalità delle soluzioni di (5) è data da è data da

y(x) = c 

exp(A(x)) dove

dove c è una costante reale è una costante reale arbitraria.

arbitraria.

(6)

Infatti.. (calcoli a parte) Infatti.. (calcoli a parte)

Vale ora il seguente fatto generale Vale ora il seguente fatto generale

(per le equazioni lineari):

Se z(x) Se è una generica soluzione è una generica soluzione dell’omogenea e

dell’omogenea e y(x) è una soluzioneè una soluzione particolare dell’equazione completa, particolare dell’equazione completa,

allora le funzioni del tipo allora le funzioni del tipo

––––

y(x) = z(x) + y(x)

––––

(7)

forniscono tutte le soluzioni dell’

equazione completa equazione completa

Dimostriamo

Dimostriamo che una soluzione che una soluzione

particolare dell’eq. completa è data particolare dell’eq. completa è data dada

y(x) =



^e⁽A(x) - A(t))b(t) dt

x x⁰

(8)

Dimostremo ciò utilizzando il Dimostremo ciò utilizzando il

metodo detto di “variazione delle metodo detto di “variazione delle

costanti arbitrarie”

Si cerca la soluzione

Si cerca la soluzione y(x) nella nella forma

forma y(x) = c(x) exp(A(x)) ......

Allora si può concludere che la Allora si può concludere che la

soluzione generale del problema soluzione generale del problema

di Cauchy per la

di Cauchy per la (4)

(9)

è data da è data da

y’(x) = a(x)y(x) + b(x)

y

^(x⁰^{) = y}⁰







y(x) = c  e ^A(x) +



^e⁽A(x) - A(t))b(t) dt

x⁰ x

(10)

Esempio 1:

Esempio 1: y’ = y + x

Esempio 2:

Esempio 2: y’ = (1/x)  y + (1/x²)

a(x) = 1, A(x) = x, b(x) = x.

Soluzione:

Soluzione: y(x) = c  e^x- x -1 + e^x

a(x) = (1/x), A(x) = log x, b(x) = (1/x²).

Soluzione:

Soluzione: y(x) = c  x + x/2 -(1/2x)

(11)

Esempio 3:

Esempio 3: y’ = - 2  e^x y + e^x a(x) = - 2  e^x, A(x) = - 2  e^x,

b(x) = e^x.

Soluzione:

Soluzione: y(x) = c  exp(-2e^x)+

(1/2)  [1 - exp(2-2e^x)]

(12)

Equazioni

Equazioni di Bernoulli di Bernoulli . .

y’ = a(x)  y(x) + b(x) 

y(x)^k (6

)

Sono le equazioni del tipo Sono le equazioni del tipo

con con k≠ 0, 1k≠ 0, 1 e a(x) e , b(x), funzioni funzioni

continue definite su un intervallo continue definite su un intervallo II a valori in a valori in RR..

(13)

Osserviamo che se è

Osserviamo che se è 0 < k < 1, non, non è garantita l’unicità della

è garantita l’unicità della soluzione.

soluzione.

Infatti

Infatti f_ypuò non essere definita.può non essere definita.

Se k > 0, y Se  0 è una soluzione.è una soluzione.

Supposto

Supposto y(x) ≠ 0, dividendo per y(x), dividendo per ^k e prendendo come nuova incognita

e prendendo come nuova incognita u(x) = y(x)^1-k, si trova l’equazione , si trova l’equazione

lineare lineare

(14)

u’(x) = (1-k)  a(x)  u(x) + (1-k)  b(x) che è un’equazione lineare che

che è un’equazione lineare che sappiamo risolvere

sappiamo risolvere

Esempio 4: Si voglia risolvere Esempio 4: Si voglia risolvere

il seguente p.d.C.

y’ = 2  y(x)  tg(x) + y(x)^1/2

y(0) = 1, con |x|< /2

(15)

Dopo qualche calcolo si trova Dopo qualche calcolo si trova y(x) = [1/(cos x) + (1/2)  tg x]²

(16)

ALCUNI TIPI ALCUNI TIPI D’EQUAZIONI D’EQUAZIONI

DEL DEL

SECOND’ORDINE

(17)

Sono equazioni del tipo Sono equazioni del tipo

y’’(x) =

f(x,y(x),y’(x))

con f : A con  R³ R, A aperto.

una funzione y(x) è soluzione dell’

equazione data se è di classe C²(I) su un intervallo I, se (x,y(x),y’(x))^T sta in A, per ogni x  I, e se

soddisfa identicamente la (7).

(7)

(18)

Se f , f_ye f_zsono continue in A, allora si può dimostrare che

esiste una soluzione locale unica del pdC:

y’’(x) = f(x,y(x),y’(x))

y

(x⁰) = y⁰

y

’(x⁰) = z⁰

 



(19)

Un tipo d’equazioni che possiamo affrontare è il seguente:

y’’(x) = f(y(x))

nel quale f dipende solo da y ed è di classe C¹(J) con J intervallo

aperto in R.

(8)

Moltiplicando i due membri di (8) per

y

’(x), si trova,

(20)

se indichiamo con F(u) una primitiva di f(u),

(y

’(x))² = 2 [F(y(x)) - F(y⁰)] + (z⁰)²

Quest’equazione, trattata con prudenza, si può ridurre a

un’equazione del prim’ordine, a variabili separabili.

(21)

Esempio 5: Si voglia risolvere Esempio 5: Si voglia risolvere

il seguente p.d.C.

y’’(x) = 3  y²; y(0) =2^-(1/3); y’(0) = 1.

Si trova, procedendo come sopra,

(y

’(x))²- 1 = 2 y³(x) - 1 Poiché y’(0) > 0

(22)

Ci si riduce al pdC

y

’(x) = [2 y³(x)]^(1/2); y(0) =2^-(1/3).

y(x) = (2^(1/6)- x  2^-(1/2))^-

2

Si trova la soluzione