Lezione 3 Processi di diffusione Sezione d’urto Scattering Rutherford

Lezione 3

Processi di diffusione Sezione d’urto

Scattering Rutherford

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2016/17

I tassi di conteggio misurati negli esperimenti di diffusione, gli spettri di energia e le distribuzioni angolari dei prodotti delle reazioni forniscono informazioni dettagliate sulla dinamica di interazione proiettile-bersaglio (forma del potenziale, intensità dell’accoppiamento) e la struttura interna di nuclei e particelle.

Per studiare gli esperimenti di diffusione si introducono introdurre le grandezze:

•  Flusso e intensità di particelle

•  Sezione d’urto totale e differenziale

•  Luminosità

Per analizzare un oggetto con risoluzione spaziale Δx occorre λ≤Δx (λ lunghezza d’onda de Broglie)

Processi di diffusione

p Δx ≥ !

2 ⇒ p ≥ 200 MeV fm

2Δx

Δx ≈ 1 fm ⇒ p ≈ 100 MeV/c

Scattering Rutherford

mvb = mr

d φ

dt ⇒ dt = r

vb d φ

1)  Conservazione del momento angolare

Campo di forza centrale Coulombiano

V(r) = Zze

4 πε

r

b=Parametro di impatto

θ = angolo di scattering La traiettoria è ramo di iperbole

Il nucleo occupa uno dei fuochi

€

V = zZe² 4πε₀

1 r_min T = 1

2mv²_min L = mv_minr_min

V = 0 T =1

2mv² l = mvb

2) Se il parametro di impatto b=0, d_m rappresenta la distanza di massimo avvicinamento

al nucleo; d_m si ricava dalla conservazione dell’energia

3) Applichiamo il teorema dell’impulso nella direzione OD, per ricavare la relazione fra b e θ

1

2 mv

= Zze

4πε

d

⇒ d

= Zze

2πε

mv

Δ !

q = !

∫ F dt

2mvsin θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zze

4 πε

^r

−∞

∫

^{cos( ϕ )dt = Zze}

4 πε

^r

−(π−ϑ)^/2 (π−ϑ)^/2

∫ ^r

2

vb cos( ϕ ^)d ϕ

2mvsin θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zze

4πε

vb sin ( π −ϑ )

2 −sin − ( π −ϑ )

2

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥= Zze

4πε

vb 2cos θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

tan θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zze

4 πε

^mv

^{b =} d

2b

d_m

tan θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zze

4 πε

mv

b = d

2b

Abbiamo ricavato una relazione tra il parametro di impatto b (che NON può essere osservato direttamente) e l’angolo di scattering θ che invece è misurabile.

•  Per fissati Z e b, θ è maggiore quando v è piccolo. Si può capire qualitativamente pensando che quando il proiettile ha minore energia, passa più tempo nel potenziale e quindi ne risente di più la forza.

•  Per fissati b e v, θ è maggiore per grandi Z, cioè quando è più intenso il potenziale Coulombiano.

•  Per fissati Z e v, θ cresce al diminuire del parametro di impatto b, cioè quando la particella proiettile si avvicina maggiormente al nucleo, subisce una forza elettrica più intensa che la deflette maggiormente.

Consideriamo un fascio di particelle N di sezione S. Si definisce flusso delle particelle il numero di particelle per unità di superficie e tempo:

φ = N

SΔt l ⎡⎣

t

⎤⎦

φ = N Δx

SΔt Δx = nv

Flusso di particelle

dove:

v è la velocità delle particelle rispetto al bersaglio

n è il numero di particelle del fascio per unità di volume

Si definisce intensità del fascio, il numero di particelle che attraversano S nell’unità di tempo

Δx

n = N

V l ⎡⎣ ⎤⎦

I

= N

Δt t ⎡⎣ ⎤⎦

Consideriamo un fascio di particelle N tutte della stessa energia e dello stesso tipo che incide su di un bersaglio “sottile”. Il numero di particelle che hanno interagito con il bersaglio nell’unità di tempo (e che vengono rimosse dal fascio) è proporzionale al flusso e al numero di centri di diffusione N_b nel bersaglio.

Il numero di centri bersaglio per unità di volume è

dove ρ è la densità del mezzo, A la massa atomica e N_A il numero di Avogadro.

Riscriviamo l’espressione sopra come:

Dalle dimensioni delle grandezze si vede che la costante di proporzionalità ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto σ

−Δ ! N = ! N(x) − ! N(x + Δx) ∝ N

φ

n

= ρ N

A

Sezione d’urto

−Δ ! N = ! N(x) − ! N(x + Δx) ∝ n

S Δx φ

Δ ! N = ΔN

Δt = − σ n

S Δx φ = − σ n

S Δx N

Δt S = − σ n

N

Δt Δx

ΔN

N = −σ n

Δx = − σ ρ N

A Δx

da cui integrando si ottiene

Si definisce coefficiente di assorbimento

Il numero di particelle che ha interagito nell’attraversamento dello spessore x è

Analogamente possiamo ricavare l’espressione del flusso in funzione dello spessore del bersaglio

µ = n

σ = σ ρ N

A l ⎡⎣ ⎤⎦

N(x) = N

e

= N

e

N

(x) = N

− N(x) = N

( 1− e

)

N_INT(x) x

x

Δ ! N = −σ n

S Δxφ Δφ = Δ ! N

S = −σ n

Δx φ

φ (x) = φ

^e

Ø  La sezione d’urto rappresenta la probabilità di interazione di una particella in una data reazione. Ha le dimensioni di una superficie e si misura in barn e sottomultipli 1 barn = 10^-24 cm²

Ø  La sezione d’urto dipende:

•  dal tipo di particella incidente

•  dall’energia della particella incidente

•  dal materiale di cui è costituito il bersaglio

Se per una particella sono possibili diversi tipi di interazione la sezione d’urto totale è la somma delle sezioni d’urto di ciascuna interazione

Ø  Sia P(x) la probabilità di non interagire in una distanza x nel bersaglio

...σ

+ σ + σ

=

σ

P (x) = e

P

(x) =1− e

dP

= µ ^e

^dx

x = x

0

∞

∫ ^{µ e}

^dx

µ e

dx

0

∞

∫

= λ = 1 µ

λ è il cammino libero medio percorso da una particella prima di interagire

Il numero di interazioni per unità di tempo del fascio incidente con il bersaglio è dato dalla differenza fra il numero di particelle prima e dopo l’interazione

Si definisce luminosità e ha unità di misura [cm^-2 s^-1]

Sostituendo l’espressione della luminosità nella formula in alto, si ottiene che il numero di interazioni per unità di tempo è

!N

= ! N

− ! N

= −Δ φ S = φ σ ⁿ

Δx S = φ σ ⁿ

ΔV = φ σ ^N

L = φ N

= n v N

!N

= L σ

Luminosità

!N

(θ,ϕ) = d ! N

dΩ

Sezione d’urto differenziale

Supponiamo che vengano rivelate solo le particelle diffuse in un angolo solido dΩ intorno alla direzione θ,ϕ. Definiamo il numero di particelle diffuse in dΩ nell’unità di tempo

⇒ !N

( θ,ϕ ) ^{dΩ = d ! N}

^{= d N} (

^{φ σ} ) ^{= N}

^{φ dσ}

dΩ dΩ

dσ

dΩ = !N

( θ,ϕ )

N

φ = !N

( θ,ϕ )

L = 1 L

d ! N

dΩ l ⎡⎣

sr

⎤⎦

Se si rivelano solo le particelle diffuse nell’angolo solido dΩ e con energia tra E ed E+dE, la sezione d’urto doppio differenziale è definita da

La sezione d’urto totale è quindi:

Notiamo che se c’e’ un solo centro diffusore (N_b=1), la sezione d’urto differenziale si può scrivere

dove P_if rappresenta la probabilità di transizione dallo stato i a f.

σ

= d

σ E,θ,ϕ ( )

dΩdE dΩdE

4

∫

E_MAX

∫

d

σ

dΩdE = !N

( E,θ,ϕ )

N

φ = !N

( E,θ,ϕ )

L = 1

L

d

!N

dΩdE l ⎡⎣

sr

E

⎤⎦

dσ

dΩ = !N

( θ,ϕ )

φ = !N

( θ,ϕ )

n v = !N

( θ,ϕ )

N S Δx Δt

Δx = ! P

( θ,ϕ ) ^V

v

Se il rivelatore copre un angolo solido

dove A_riv è l’area del rivelatore e r la sua distanza dalla targhetta con A_riv<<r² le particelle contate nell’angolo solido dΩ saranno per unità di tempo

dσ

dΩ = 1 φN

d ! N

dΩ d ! N

dΩ = φN

dσ

dΩ = dσ dΩ

N

Δt S N

Δx

Δx = dσ

dΩ I

n

Δx

dΩ = A

r

Δ ! N

= dσ

dΩ I

n

Δx ΔΩ = dσ

dΩ I

n

Δx A

r

Dalla definizione di sezione d’urto differenziale:

Le particelle con parametro di impatto compreso fra b e b+db sono emesse uniformemente in una corona circolare di angolo compreso fra θ e θ-dθ in dΩ Il numero di particelle scatterate nell’unità di tempo è

dove il segno – indica che l’angolo θ diminuisce se b aumenta.

L’angolo solido è

Data la simmetria sferica del potenziale, non c’e’ dipendenza dello scattering da φ , e si può integrare in dφ.

Applicando la definizione di sezione d’urto differenziale:

dN

= − φ ² π ^{b db}

d σ

dΩ (E, Ω) = 1 φ

dN

dΩ = − 1 φ

φ 2 π b db

2 π sin θ d θ ^{= −}

b db sin θ d θ

dΩ = sin θ d θ d ϕ

Sezione d’urto Rutherford

d σ

dΩ (E, θ ) = − b sin θ

db d θ

b = Zze

4 πε

^mv

^tan θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

db

dθ = − Zze

8πε

mv

sin

θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

d σ

dΩ (E, θ ) = Zze

8 πε

^mv

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= Zze

16 πε

^E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

α = e

4 πε

!c = 1 137

d σ

dΩ (E, θ ) = Zz α !c 4E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= Z

z

16

197

137 E(MeV)

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

fm

sr

Costante di struttura fine

Calcoliamo la sezione d’urto totale per angoli maggiori di angolo minimo θ₀

dove l’integrale è

e sostituendo

σ (θ > θ

) = dσ dΩ dΩ

θ>θ

∫

^{= 2π Zze}

2

8πε

mv

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

22

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

θ₀ π

∫ ^{sinθ dθ}

sin⁻⁴ θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

θ0

π

∫

θ0

π

∫

θ0

π

∫

σ (θ > θ

) = 4π Zze

8πε

mv

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

22

cot

θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = π b

Notiamo che la sezione d’urto totale diverge per θ₀=0.

E’ corretto limitare l’integrazione a θ₀>0 in quanto ciò corrisponde ad un cutoff realistico sul parametro di impatto. Infatti per b molto grandi, non si ha apprezzabile scattering.

Assunzioni fatte nel calcolo dello scattering Rutherford:

•  Rinculo del nucleo è trascurato (m<<M_nucleo). Per includerlo, la formula è valida con energia cinetica totale e angolo di scattering nel sistema del CM.

•  Urto trattato classicamente. Diffusione elastica Δq=|q-q’|= 2q sin(θ/2)

•  Cariche puntiformi

•  Solo interazione e.m. (campo Coulombiano). Non sono considerate né la forza nucleare, né interazioni anelastiche, né interazione spin-spin.

•  Proiettile non relativistico (vero per α di pochi MeV)

•  Formula valida in vicinanza del nucleo, altrimenti interviene l’effetto di schermo sull’effettiva carica del nucleo da parte degli elettroni atomici.

Al Z=13 Cu Z=29 Ag Z=47

d σ

dΩ (E, θ ) = Zz α !c 4E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ Δ ! N

= d σ

dΩ I

n

Δx ΔΩ

Verifiche sperimentali della sezione d’urto Rutherford

Nell’esperimento di Rutherford, Geiger e Marsden T_a=7.7 MeV Z_Au=79 Z_a=2

Per una collisione a 180°, la distanza di massimo avvicinamento per parametro di impatto b=0 è

Aumentando l’energia cinetica delle α d_m diminuisce Quindi il raggio del nucleo di Au è R_N≤3×10^-14 m

Con targhetta di Al (Z=13) si ottiene la stima

Ma si trova che la formula non è più valida. In conclusione quindi R_N≤10^-14 m

d

= Zze

2 πε

mv

= Zze

4 πε

T

= 9⋅10

2 × 79 × 1.6⋅10 (

)

7.7⋅10

×1.6⋅10

≈ 3⋅10

m

d

≈ 3⋅10

13

79 m = 0.5⋅10

m

Stima delle dimensioni del nucleo

Sezioni d’urto differenziali in SCM e SLAB

Osserviamo che il numero di particelle diffuse di un angolo θ_LAB nell’angolo solidodΩ_LAB in SLAB deve essere uguale al numero di particelle diffuse del corrispondente angolo θ_CM nell’angolo solido dΩ_CM in SCM, cioè in formule:

Poiché φ è perpendicolare alla direzione di moto del SCM rispetto a SLAB la formula generale per le sezioni d’urto nei due sistemi diventa

Ad esempio nello scattering elastico non-relativistico (Lez. 1 pag. 45), utilizzando la relazione che lega gli angoli θ_CM e θ_LAB otteniamo:

dσ_LAB = dσ_CM = dσ dσ

dΩ_LAB dΩ_LAB = dσ

dΩ_CM dΩ_CM ⇒ dσ

dΩ_LAB sinθ_LAB^dθ_LAB^dϕ_LAB = dσ

dΩ_CM sinθ_CM ^dθ_CM ^dϕ_CM

d σ

dΩ

= d σ dΩ

sin θ

d θ

sin θ

d θ

⁼

d σ dΩ

d cos ( θ

)

d cos ( θ

)

d ϕ

= d ϕ

dσ

dΩ_LAB = dσ dΩ_CM

d cosθ

(

)

d cosθ

(

)

dσ

dΩ_CM 1+ 2 m₁

m₂ cosθ_CM + m₁² m₂²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3 2

1+ m₁

m₂ cosθ_CM

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1

Consideriamo un sistema descritto dall’Hamiltoniana H₀ indipendente dal tempo.

L’evoluzione temporale del sistema (in meccanica quantistica non relativistica) si esprime

dove u_n è un insiema completo di autostati stazionari di H₀ con autovalori E_n

Se il sistema è soggetto ad un’interazione descritta dall’Hamiltoniana H_I(t), la soluzione dell’equazione del moto

si può approssimare con il metodo delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Consideriamo una soluzione sovrapposizione degli autostati della hamiltoniana imperturbata H_0, con coefficienti dipendenti dal tempo a_n(t)

relazione di normalizzazione:

Regola d’oro di Fermi

a_n²

n

∑

i ! d

dt Ψ !

( ) r, t ^{= H} [

^{+ H}

^(t) ] ^Ψ ( ) ^{r, t !}

H

u

= E

u

u

u

= δ

Ψ

!

( ) r, t ^{= a}

n

∑ ^u

^{( ) r ! e}

E_n

! t

Ψ !

( ) r, t ⁼ ∑ ^a

^{(t) u}

^{( ) r ! e}

E_n

! t

Sostituendo nell’equazione di evoluzione otteniamo

e moltiplicando per <u_m|

i ! d

dt Ψ "

( ) r, t ^{= H} [

^{+ H}

^(t) ] ^Ψ ( ) ^{r, t !}

i ! "a

(t)

n

∑ ^u

^{( ) r # e}

E_n

! t

+ E

a

(t)

n

∑ ^u

^{( ) r " e}

E_n

! t

= a

(t)

n

∑ ^H

^u

^{( ) r " e}

E_n

! t

+

+ a

(t)

n

∑ ^H

^{(t) u}

^{( ) r " e}

E_n

! t

i ! "a

(t)

n

∑ ^u

^{( ) r # u}

^{( ) r ! e}

E_n

!t

+ E

a

(t)

n

∑ ^u

^{( ) r " u}

^{( ) r ! e}

E_n

! t

= a

(t)

n

∑ ^u

^{( ) r " H}

^u

^{( ) r ! e}

E_n

! t

+

+ a

(t)

n

∑ ^u

^{( ) r " H}

^{(t) u}

^{( ) r ! e}

E_n

! t

i ! "a

(t)e

E_m

! t

+ E

a

(t)e

E_m

! t

= E

a

(t)e

E_m

! t

+ a

(t)

n

∑ ^H

^e

E_n

! t

i ! "a

(t) = ∑ a

(t) ^H

^e

E_m−E_n

( )

! t

★

Supponiamo inoltre che l’azione di H_I possa considerarsi una perturbazione cioè l’elemento di matrice della transizione deve soddisfare la relazione

in un intervallo di tempo Δt sufficiente a permettere al sistema di evolvere nello stato finale considerato.

Sviluppiamo a_n(t) in serie di Taylor a t=0

La derivata prima si ricava dall’equazione ★ calcolata in t=0 per cui otteniamo

Sostituendo questa espressione in ★ si ottiene

avendo definito

Supponiamo che a t=0 si accenda H_I e che il sistema si trovi nell’autostato j di H₀

Ψ

= u

a

(0) = δ

H

(t) = u

H

(t) u

<< u

H

u

a

(t) ≈ a

(0) + !a

(0)t

i ! "a

(0) = a

(0)

k

∑ ^H

a

(t) = a

(0) − i

! a

(0)

k

∑ ^H

^t

i ! "a

(t) = a

(0) − i

! a

(0)

k

∑ ^H

^t

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

n

∑ ^H

^e

ω

!

i ! "a

(t) = a

(0)H

e

− i

! a

(0)

k

∑ ^H

n

∑ ^H

^e

^t

i ! "a

(t) = δ

H

e

− i

! δ

k

∑ ^H

n

∑ ^H

^e

^t

i ! "a

(t) = H

e

− i

! H

H

e

t

Fermandoci al primo ordine perturbativo, e assumendo che H_I non dipenda dal tempo, si può integrare

a

(t) = − i

h H

e

0

∫

^{dt ' = H}

h ω

^1−e

iω_jmt

( ) ^{= −} _h ^H _ω

jm

e

ω_jm 2 t

e

ω_jm 2 t

−e

ω_jm 2 t

⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

a

(t) = − H

h ω

^e

iω_jm 2 t

2isin ω

2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Svolgiamo i calcoli:

La probabilità di trovare il sistema nello stato u_m quando lo stato iniziale era u_j

La probabilità di trovare il sistema in un qualunque stato finale f partendo dallo stato i è data da

Supponiamo che gli stati finali costituiscano un continuo (molti fenomeni: emissioni della luce, urto elastico di particelle, decadimento beta). Si ha quindi una distribuzione continua di stati disponibili per la reazione con densità di energia:

P

= a

(t)

= 4 H

E

− E

( )

^sin

2

E

− E

2 ! t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

P

(t) = a

(t)

=

f

∑ _! ¹

^H

f

∑

sin

E

− E

2 ! t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ E

− E

2 !

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

ρ ( ) ^E

⁼ _dE ^dn

f

La somma diventa un integrale sull’energia dello stato finale E_f

Cambiamo variabile di integrazione usando le espressioni

per cui abbiamo

dn = ρ ( ) ^E

^dE

ω

= E

− E

! ⇒ d ω

= d E (

− E

)

! = dE

! dn = ρ ( ) ^E

^dE

^{= ρ} ( ) ^E

^{!d ω}

P

(t) = a ∫

(t)

^{dn =} _! ¹

∫ ^H

sin

E

− E

2 ! t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ E

− E

2 !

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

dn = 4

!

∫ H

sin

ω

2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ω

( )

^dn

P

(t) = 4

!

∫ H

sin

ω

2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ω

( )

^ρ ( ) ^E

^{!d ω}

t 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

ω

0

sin²

ω

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

ω

( )

_lim

ω_if→0

sin

ω

2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ω

( )

^{= lim}

2sin ω

2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ω

t

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

t 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= t 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

L’intervallo di valori Δω_if per i quali l’integrale è diverso da 0 è dato da

per cui la variazione è

−2π

t < Δω_if < 2π t

−2π

t < E_f − E_i

! < 2π t

E

max

= E

+ 2 π ! t E

min

= E

− 2 π ! t ΔE

= 4 π !

t

Per un tempo di osservazione ragionevole t=1s, ΔE_f=2×6.64×10^-34 J = 8.3×10^-21 MeV cioè l’energia è praticamente costante. Per cui ρ(E_f) si può assumere costante ed essere portata fuori dall’integrale:

Dal grafico si vede che l’area del picco centrale è circa quella di un triangolo di base ΔE_f e altezza (t/2)²

P

(t) = 4 ρ ( ) ^E

!

H

sin

ω

2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ω

( )

∫ ^{!d ω}

P

(t) = 4 ρ ( ) ^E

!

H

ΔE

t 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

2 = 2 ρ ( ) ^E

!

H

4 π ! t

t 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

P

(t) = 2 π

! ρ ( ) ^E

^H

^t

!P

(t) = 2 π

! ρ ( ) ^E

^H

Probabilità di transizione per unità di tempo dallo stato iniziale i allo stato finale f

2° Regola d’oro di Fermi

Vogliamo calcolare la densità dello spazio delle fasi

n è il numero di stati disponibili per un sistema e si calcola (escludendo processi con variazioni di spin) come

avendo applicato il principio di indeterminazione di Heisemberg per cui ogni particella occupa nello spazio delle fasi un volume pari a h³

Esprimendo l’impulso in coordinate polari e integrando sulle variabili spaziali otteniamo

ρ ( ) ^{E = dn}

dE

n = dx dy dz dp

dp

dp

Δx Δy Δz Δp

Δp

Δp

∫

∫

⁼ dx dy dz dp

dp

dp

2 π !

( )

∫

∫

⁼ ₂ ^V

π !

( )

∫

^dp

^dp

^dp

Δx Δp

≈ h

dn = 4 π ^V 2 π !

( )

^p

2

dp

Densità dello spazio delle fasi

Per una particella non relativistica

Per una particella relativistica

E = p

2m ⇒ dE = 2 p dp

2m ⇒ dp = m p dE dn = 4 π V

2 π !

( )

^p

2

dp = 4 π V 2 π !

( )

^{p m dE}

E

= p

c

+ m

c

⇒ 2E dE = 2 p c

dp ⇒ p dp = E c

dE dn = 4πV

2π !

( )

^p

2

dp = 4πV

2π !

( )

pE c

dE ρ (E) = dn

dE = 4 π ^V 2 π !

( )

^{p m}

ρ(E) = dn

dE = 4πV 2π !

( )

pE

c

Se consideriamo il numero di stati in un angolo solido dΩ Per una particella non relativistica

Per una particella relativistica

d

n = V 2π !

( )

^p

2

dp dΩ = V 2π !

( )

p E

c

dE dΩ ρ(E, Ω) = d

n

dE dΩ = V 2π !

( )

^p

2

dp

dE = V 2π !

( )

p E c

2

π

( )

2dp dΩ = V 2

π

( )

2 m

p dE dΩ d²n

dE dΩ =

ρ

π

( )

Il rapporto fra il tasso di reazione e il prodotto del numero di centri diffusori per il numero di particelle incidenti rappresenta la probabilità di interazione per unità di tempo

Confrontando con la regola d’oro di Fermi si ricava

Sezione d’urto e seconda regola d’oro di Fermi

dσ

dΩ = !N

( θ,ϕ )

N

φ = !N

( θ,ϕ )

n v N

= !N

( θ,ϕ )

N

V v N

= !N

( θ,ϕ )

N S Δx

Δx Δt N

= !N

( θ,ϕ )

I n

Δx = !N

( θ,ϕ )

N N

V

v

Si misura sperimentalmente la sezione d’urto usando formula in alto e si confronta con predizione teorica (da regola d’oro). Da misura si può ricavare l’elemento di matrice se non è noto.

!P

(t) = 2 π

! ρ ( ^E

,Ω ) ^H

!P

(t) = !N

( θ ^, ϕ )

N N

= d σ dΩ

v V

d σ

dΩ = 2 π

! ρ ( ^E

,Ω ) ^H

^V _v

Ipotesi:

•  Nucleo e particella α puntiformi

•  Urto elastico non relativistico. Si trascura inoltre il rinculo (cioè l’impulso trasferito) del bersaglio (m_α<<M_nucleo)

•  Spin delle due particelle = 0

La particella α si assume libera prima e asintoticamente dopo l’urto. Quindi è descritta dagli autostati di

L’Hamiltoniana dell’interazione con il nucleo è

Calcoliamo l’elemento di matrice tra gli autostati iniziale e finale

H

= p

2m

ψ ⁽ r ) = ^! 1 V e

k⋅!! r

" ! k = p #

f H

i = ∫ ψ

*

( !

r ) U(r) ψ

^{( r )d !}

^{r !} Sezione d’urto Rutherford

(calcolo quantistico non relativistico)

H

= U(r) = z Z e

4 πε

^r

Si tratta dell’ integrale di una funzione oscillante esteso all’infinito.

In realtà per distanze r>>R_atomo il potenziale del nucleo tende a zero per l’effetto di schermo degli elettroni atomici. Pertanto si può utilizzare nel calcolo una funzione del tipo

in quanto U(r)→0 per r→∞, e poi calcolare il limite per a→0 del risultato. Ecco il calcolo:

f H

i = ∫ ψ

*

( !

r ) U(r) ψ

^{( r ) d !}

r = ^! Zze

4 πε

V ∫ e

¹ _r ^e

^d

^{r = ! Zze}

2

4 πε

V

1 r e

q!

"⋅! r

d

!

∫ r

q = Δ ! !

p = ! p − !

( p' ) ^{= !} ( ^{k − " k ' !} )

U(r) = z Z e

4 πε

^{r e}

−ar

Dove abbiamo definito q come la variazione di impulso del proiettile

1 r e

q!

"⋅!

r

e

d

!

∫ r ^{= 1} _r ^e

q

"r cosθ

e

2 π ^r

^{dr sin} θ ^d θ

0

∫

∞

∫ ^{= 2} _iq ^{π ! e}

q

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟r

− e

q

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟r

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟dr

0

∞

∫ ⁼

= 2 π ! iq

e

q

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟r

−a + i q

!

+ e

q

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟r

a + i q

!

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

0

∞

= 2 π ! iq

1 a − i q

!

− 1

a + i q

!

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

= 4 π a

+ q

!

⎯

⎯⎯ → 4 π !

q

f H

i = Zze

ε

V

!

q

Dato che l’urto è elastico non relativistico e si trascura l’impulso trasferito al nucleo, il modulo dell’impulso del proiettile prima e dopo l’urto è uguale, e q si calcola come

Quindi abbiamo:

Veniamo ora al calcolo della sezione d’urto con la formula

p = ! !

p' = p q

= !

p − !

p'

= !

p

+ !

p'

− 2 ! p ⋅ !

p' = 2 p

( 1− cosθ ) ^{= 4 p}

^sin

^θ

2

H

= f H

i = Zze

ε

^V

!

q

= Zze

ε

^V

!

4 p

sin

θ

2

L’elemento di matrice della transizione è quindi

dσ

dΩ = 2π

! ρ E (

,Ω ) ^H

^V _v