1) Un gas classico di particelle di massa m ` e equilibrato a temperatura T . Si calcoli a) < ~ v · ˆ n > dove ˆ n ` e un versore generico.

Suggerimenti per la soluzione del

III Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 6 Febbraio 2013

1) Un gas classico di particelle di massa m ` e equilibrato a temperatura T . Si calcoli a) < ~ v · ˆ n > dove ˆ n ` e un versore generico.

b) < (~ v · ˆ n)(~ v · ˆ m) > dove ˆ m ` e un versore che indica una direzione formante un angolo θ con la direzione individuata da ˆ n.

a) nella distribuzione di Maxwell per le velocit` a qualsiasi componente della velocit` a ha media nula.

b) in questo calcolo conviene assegnare una direzione (poniamo z) alla direzione n e poi rappresentare le componenti della velocit` a nelle coordinate sferiche

2) Due gas perfetti classici monoatomici sono costituiti da particelle di massa m

ed m

in numero rispettivamente N

ed N

. Essi si trovano all’equilibrio termodinamico racchiusi in un volume V . - Determinare le temperature ed i potenziali chimici dei due gas.

Considerare i due gas nell’insieme canonico. L’energia libera ` e la somma delle due energie libere di Helmholtz. All’equilibrio i potenziali chimici sono determinati della derivata rispetto al numero della energia libera di Helmholtz ci` o conduce ad una relazione fra le densit` a le masse e la differenza dei potenziali chmici.

3) Un gas di Fermi a temperatura T contenuto nel volume V possiede la stessa energia interna di un corpo nero di ugual volume ma che si trova ad una diversa temperatura T

.

- Esprimere il potenziale termodinamico nei due casi.

- Esprimere l’energia interna nei due casi.

- Calcolare il rapporto fra le pressioni (del gas di Fermi e della radiazione nel caso del corpo nero).

Considerare la relazione esistente fra la pressione e l’energia interna per unit` a di volume nei due casi. Essa ` e diversa in ragione della diversit` a delle dispersioni dei due tipi di sistema: nel gas di Fermi E = p

/2m nel gas di fotoni E = cp.

4) N sistemi quantistici indipendenti e distinguibili possono essere schematizzati come sistemi a due livelli non-degeneri nei quali l’energia dello stato fondamentale ` e E

e la differenza di energia fra lo stato fondamentale e lo stato eccitato ` e ∆. Essi sono all’equilibrio termico a temperatura T . Calcolare in funzione della temperatura:

- Le popolazioni dei due livelli.

- L’energia interna del sistema.

- L’entropia del sistema.

Valutare esplicitamente i casi limite k

T << ∆ e k

T >> ∆.

La funzione di partizione di un singolo sistema ` e la somma di due termini che sono proporzionali all’occupazione del livello medesimo. Siccome i due livelli non sono degeneri le occupazioni tendono ad equivalersi ad alta temperatura mentre a bassa temperatura l’occupazione

del livello eccitato (n

) rispetto a quella del fondamentale (n

) ` e : n

/n

= exp(−β∆).

Calcolare cos` ı l’energia interna e poi attraverso il potenziale termodinamico l’entropia.

1

5) Si determini, in funzione della temperatura, l’energia interna per particella di un gas di Fermi con potenziale chimico nullo a temperatura T racchiuso in un volume V .

Pu` o essere utile conoscere il risultato (numericamente approssimato) dei seguenti integrali:

Z ∞ 0

dx x

e

+ 1 = 0.678

0

dx x

e

+ 1 = 1.153

Quando µ = 0 gli integrali che danno U ed < N > possono essere adimensionalizzati ottenendo la dipendenza esplicita dalla temperatura.

2