Indi hero on A l'area dello spe hio

Ri essine su uno spe hio in moto

Il problema

Sono interessato a onde e.m. piane mono romati he, he si propagano nel

vuoto inuna direzione heprendo omeasse x. L'ondaviaggianel versodelle x

positive e si ri ette su uno spe hio in moto uniforme (velo ita v nel verso

positivo). Voglio trovare la relazione fra l'intensita S

i

dell'onda in idente sullo

spe hio equella S

r

dell'onda ri essa.

Cal olo solo valori medi nel tempo di tutte le grandezze: energia, impulso

forza:::UsounitadiGauss,quindiavrodensitadienergiaU =E 2

=4e orrente

di energiaS = U. Indi hero on A l'area dello spe hio.

Primo metodo: trasf. di Lorentz

SianoE

i ,E

r

i modulidel ampoelettri o in idente e ri esso (nel rif. K del

laboratorio). Usero l'api e per indi are le grandezze al olate nel rif. K 0

dello

spe hio.

La legge ditrasformazione dei ampi,per un'onda pianadiretta ome x, e

E 0

y

=



E

y v

B

z



(1)

e inoltre B

z

= E

y

per l'onda in idente (mentre B

z

= E

y

per quella ri essa).

Quindi

E 0

i

=kE

i

on k = r

v

+v

: (2)

Poi

E

r

=



E 0

r v

B

0

r



=kE 0

r

: (3)

Qui il segno`` " deriva da un doppio ambiamento di segno rispetto alla (1):

{ lavelo ita di K rispetto a K 0

e v

{ il diverso segnodi B

z

rispetto aE

y

, di ui ho gia detto.

Dalla(2) e dalla (3), esendo E 0

r

=E 0

i :

E

r

=k 2

E

i S

r

=k 4

S

i :

Se ondo metodo: quantisti o

Indi o on n

i , n

r

il numero di fotoni he arrivano e tornano per unita di

tempo, on "

i , "

r

le rispettiveenergie. Abbiamo

S

i

=n

i

"

i

=A S

r

=n

r

"

r

=A:

Per l'energia ( ome per la frequenza) lalegge di trasformazione e "

r

=k "

i

(eetto Doppler). Inoltre i numeri di fotoni si trasformano allo stesso modo

(eetto Doppler sulle frequenze di emissione e ri ezione). Quindi

S

r

=k 4

S

i

ome olprimo metodo.

Terzo metodo: bilan io dell'energia

Supponiamo he al tempo t = 0 lo spe hio sia in x = 0. Dopo un erto

tempo T si trovera in x= vT. Voglio fare il bilan io dell'energia he in questo

intervallo ditempo entra ed es e nella regione di spaziox 0.

L'energia he nell'intervallo di tempo onsiderato attraversa il piano x=0

propagandosiversodestra,equella heinizialmenteo upaunvolumetrax=0

ex= T,evale TAU

i

. Allanedell'intervalloquest'energiasitrovainparte

nellospazio trax =0 e x=vT; per il restoe stataassorbita dallospe hio. La

quantita dienergia assorbita e quindi

E

i

=( v)TAU

i

: (4)

Nello stessointervallo ditempodella radiazioneviene emessa versosinistra

dallo spe hio. Alla ne dell'intervallo questa o upa lo spazio fra x = T

ex=vT (posizionenaledello spe hio). La quantitadi energiainquestione e

E

r

=( +v)TAU

r

: (5)

In totale lo spe hio ha ri evuto un'energia pari a E

i E

r

: dov'e nita

quest'energia? O orretenerpresente helospe hiosimuovedimotouniforme,

sebbene risenta una pressione di radiazione he fra breve al oleremo. Quindi

lo spe hio dev'essere frenato, e l'energia ri evuta viene appunto dissipata dal

freno. SeF elaforzadovutaallapressionediradiazione,l'energiadissipatavale

E

d

=FvT:

Cal oliamo F. Questo si fa osservando he la radiazione assorbita e quella

emessadallospe hiotrasportanoq.dimoto: E

i

= quellaassorbita, E

r

/ quella

emessa (il segno meno per he la se onda e diretta verso sinistra). Pertanto la

q.dimotoa quistata dallospe hioe (E

i +E

r

)= he eguagliaFT. Ne on ludo

he l'energia eduta al freno e

E

d

=(E

i +E

r )

v

:

Riassumendo:

E

i E

r

=(E

i +E

r )

v

E

r

=

+v E

i

U

r

=



v

+v



2

U

i

=k 4

U

i

he on orda ol risultato ottenuto on gli altri due metodi.

Commento

Per quanto sempli i, tutti e tre i metodi hanno dei punti deli ati he an-

drebbero hiariti o approfonditi.

a)Legrandezze U eS perun'ondae.m.pianamono romati anonsono ostanti

ne nel tempo ne nello spazio: e per questo he ho parlato di media nel tempo

(per tempi lunghi rispetto al periodo).

Consideriamol'ondaprogressivaversodestra. Sesissaunvolumettopi o-

lorispettoallalunghezzad'onda,l'energiainesso ontenutaos illa onfrequenza

doppia dell'onda, tra un valore vi ino a 0 e un massimo. Parallelamente an he

il vettore di Poynting

~

S os illa, pur onservando sempre il verso della propa-

gazione. Naturalmente il teorema di Poynting i assi ura he il usso entrante

di

~

S eguagliaaogniistanteladerivatarispettoaltempodell'integraledivolume

di U.

Lostessoa adeperl'onda hevaversosinistra. Un'ulteriore ompli azione

si presenta quando le due sono presenti insieme: infatti esse hanno frequenze e

lunghezze d'ondadiverse;i ampisisommano, mail amporisultante nonhain

generaleandamentoperiodi o. Dato he

~

S eU sonoquadrati i nei ampi,an he

seilteoremadiPoynting ontinuaavalerenonefa ile apirequello hesu ede.

Intuitivamente a ade questo: il quadrato di

~

E e la somma di tre termini, he

sonoiquadratidei ampidelledueondeeildoppiodelprodottos alare. Iprimi

duesono semprepositiviemediati neltempodannoil ontributo separatodelle

due onde, per es. a U. Inve e il terzo e os illante e la sua media nel tempo

e nulla. Quindi dal punto di vista energeti o il ontributo delle due onde, se

mediato nel tempo,e additivo.

b) Qui il punto deli ato sta nel ollegamento tra la visione lassi a e quella

quantisti a. Il ragionamento he ho fatto tratta l'onda one una pioggia di

fotoni indipendenti, di uiinfatti ho usato ilnumero e la frequenzadegli arrivi.

In realta un'onda piana mono romati a e tutt'altro he una \pioggia di

fotoni": la sua traduzione quantisti a e piuttosto uno stato oerente del ampo

quantizzato, nel quale il numero di fotoni none neppure denito. Al ontrario,

lostatodel ampoeunasovrapposizione diautostatidelnumerodifotoni, enon

e quindi per niente ovvio ome si possa giusti are il ragionamentofatto.

Infattiquelragionamentoepiuttostovalidoinunasituazionediversa: unin-

sieme statisti o di fotoniabbstanza lo alizzati ias uno nellospazioe neltempo

sita dell'onda ri essa ha validita os generale da potersi appli are a asi molto

diversi; il he daun lato giusti ala trattazione, madall'altro ri hiederebbe un

sostanzioso approfondimento del problema.

) Ilbellodel terzo ragionamento sta nella sua universalita. Le ipotesi ri hieste

sono minime(ma nonbanali): he le energiedelle onde in identi eri esse siano

additive; he si possa ragionare su energia, forza, lavoro ome in un omune

problenadi me ani a.

Osserviamo an he he in questo appro io non entrano aatto le leggi di

trasformazione relativisti he: di fatto non abbiamo mai ambiato rif., ome in-

ve e si e fatto negli altri due asi. Il arattere intrinse amente relativisti o del

problema appare solo nella relazione fra energia e q. di moto: P = E= . An he

per questo lo trovo un appro io piu \si o," piu signi ativo.