Scuola Galileiana di Studi Superiori – Classe di Scienze Naturali Soluzione della Prova Scritta di Fisica – a.a. 2008–2009 1

Soluzione della Prova Scritta di Fisica – a.a. 2008–2009

1.

Sia z la coordinata lungo un asse verticale rivolto verso l’alto, con l’origine al suolo. Le uniche forze agenti sullo sportivo sono la forza peso e la forza elastica della corda, entrambe conservative. Il suolo impone il vincolo z > 0, la corda esercita la sua forza elastica solo per z < h − l

, la condizione di consistenza h − l

> z

> 0 ` e verificata. L’energia meccanica totale conservata ` e la somma dell’energia cinetica, dell’energia potenziale della forza peso e dell’energia potenziale elastica della corda, con:

E

= 1

2 M v

, E

= M gz , E

= 1

2 k(z − h + l

)

, (0 < z < h − l

) . Sia in z = h che in z = z

(dove la corda ` e tesa) la velocit` a si annulla, per cui:

E

= M gh = M gz

+ 1

2 k(z

− h + l

)

, k = 2M g(h − z

)

(z

− h + l

)

= 1568 N m

.

L’energia cinetica sar` a massima dove ` e minimizzata l’energia potenziale E

= E

+ E

(ovvero dove la forza risultante di forza peso e forza elastica si annulla).

E

= M gz + 1

2 k(z − h + l

)

, (0 < z < h − l

) , ha un minimo per

z

= h − l

− M g

k = 9.5 m , (0 < z

< h − l

) . Dunque

E

= M gz

+ 1

2 k(z

− h + l

)

, E

= E

− E

, da cui

v

=

s

2E

M =

s

2 g l

+ M g

k = 24.35 m s

.

Le uniche due forze agenti sono la forza peso e la forza elastica della corda, entrambe

dirette verticalmente ma con verso opposto. Nella prima parte del moto agisce soltanto la

forza peso, rivolta verso il basso, di valore costante M g = 784 N. La forza elastica ` e invece

rivolta verso l’alto, ed ` e massima nel punto di massimo allungamento della corda, z = z

; in

tale punto il modulo della forza risultante ~ R vale R

= −M g − k(z

− h + l

) = 8624 N,

che essendo maggiore di M g fornisce la risposta corretta. Poich´ e la forza risultante ~ R ` e prima

rivolta verso il basso e poi verso l’alto e varia con continuit` a, ci dev’essere un istante (il tempo

t

corrispondente alla quota z

) in cui il suo modulo vale R

= 0.

Ogni volta che la vostra amica vi sorpassa deve aver fatto 2 vasche pi` u di voi (andata e ritorno). Visto che complessivamente ne ha fatte (N

− N

) pi` u di voi, vi ha sorpassato S = (N

− N

)/2 = 18 volte (contando come sorpasso l’arrivo ma non la partenza).

I moti vostro e della vostra amica sono periodici. La vostra velocit` a ` e v

= N

L/h, il vostro periodo temporale ` e T

= 2 L/v

= 2 h/N

. Per l’amica ` e invece v

= N

L/h e T

= 2 L/v

= 2 h/N

. Procedendo ad esempio per via grafica, ` e facile convincersi che per ogni sorpasso vi sono 4 incroci, dunque sono avvenuti I = 4S = 2(N

− N

) = 72 incroci.

Sempre procedendo per via grafica, ` e facile convincersi che i sorpassi avvengono agli istanti t

= 2 n T

= 3 n T

(n = 1, . . . , 18), ovvero t

= 4 n h/N

= 6 n h/N

= n · 200 s.

Definita una coordinata s lungo la traiettoria dei nuotatori, e posto s

= 0 alla partenza, i sorpassi avverranno per voi nei punti di coordinate s

= v

t

= 4 n L, per la vostra amica nei punti di coordinate s

= v

t

= 6 n L. Osservato per` o che la periodicit` a spaziale del moto nella vasca ` e 2 L (s ≡ s + 2 L), i sorpassi avverranno sempre, per entrambi i nuotatori, al bordo di partenza (s

= 0).

Un modo pi` u elegante di risolvere il problema consiste nel definire fin dall’inizio lungo la traiettoria dei nuotatori una coordinata x (mod. 2L). La legge oraria ` e allora:

x

= v

t (mod. 2L) , x

= v

t (mod. 2L) .

La condizione di sorpasso ` e x

= x

(mod. 2L), quella di incrocio x

+ x

= 0 e x

6= x

(mod. 2L). Sostituendo in entrambe la legge oraria e risolvendo si riottengono i risultati

sopra descritti.

Sfruttando il principio di sovrapposizione, la situazione ` e fisicamente equivalente a quella in cui ci sono una sfera completa (S) di raggio R e densit` a di carica uniforme ρ, ed una seconda sfera (s) di raggio r

e densit` a di carica −ρ. Applicando la legge di Gauss, indicando con ~ u

il versore dell’asse x ed osservando che x

> R, il campo elettrico generato da S in P

sar` a:

E ~

= 1 4 π 

Q

x

~ u

, Q

= 4

3 π R

ρ , quello generato da s sar` a:

E ~

= 1 4 π 

Q

(x

− x

)

~ u

, Q

= − 4

3 π r

ρ , dunque il campo elettrico risultante sar` a:

E = ~ ρ 3 

"

R

x

− r

(x

− x

)

#

~

u

= 35 432

ρR



~ u

.

Il corrispondente potenziale, ristretto all’asse x e pensato come funzione della sola coor- dinata x, sar` a, per x ≥ R e come sempre a meno di una costante arbitraria:

V (x) = ρ 3 

"

R

x − r

x − x

#

. In particolare

V (x

) = 47 288

ρR



, V (R) = 31 96

ρR



, lim

x→+∞

V (x) = 0 .

La densit` a (volumica) di carica sulla sfera ` e da intendersi costante (sfera isolante). Appli- cando la conservazione dell’energia, ed osservato che la situazione pi` u favorevole ` e quella in cui la particella raggiunge la superficie della sfera con velocit` a nulla, potremo scrivere

1

2 m (v

)

+ q V (x

) = q V (R) , da cui

v

=

s

23 72

q ρ R

m 

.

Applicando nuovamente la conservazione dell’energia, potremo scrivere 1

2 m (v

)

= q V (R) , da cui

~ v

= v

~ u

, v

=

s

31 48

q ρ R

m 

.

La sfera ` e da intendersi isolata, ovvero non sottoposta all’azione di campi gravitazionali esterni. Fissiamo per comodit` a un sistema di riferimento con origine O nel centro della sfera, asse x parallelo al condotto, asse y ortogonale al condotto e passante per esso. Sia ~ r il vettore posizione della particella, di modulo r. Applicando la legge di Gauss, e ricordando che M = ρ (4/3) π R

, la forza gravitazionale agente sulla particella nel generico punto del condotto (r ≤ R) vale:

F ~

= − G M m R

~ r , dove G ` e la costante di Newton.

Oltre alla forza gravitazionale, sulla particella agisce la reazione vincolare ~ N , quest’ultima ortogonale al condotto. Nelle ipotesi fatte, l’equazione del moto per la particella sar` a dunque:

F ~

+ ~ N = m ~a .

Proiettata sull’asse y, essa determina la reazione vincolare. Proiettata sull’asse x, essa for- nisce, dopo aver semplificato:

a

= d

x

dt

= − G M R

x .

Riconosciamo l’equazione del moto armonico semplice, con pulsazione

ω =

s

G M R

.

Dunque, poich´ e il periodo del moto armonico semplice ` e T = 2π/ω, sar` a:

∆t = T 2 = π

ω = π

s

R

G M .

Dette p

e p

le pressioni di azoto ed ossigeno nello stato 0, dall’equazione di stato dei gas ideali avremo p

V

= n

R T

, p

V

= n

R T

, dunque la differenza di pressione tra i due gas nello stato 0 vale ∆p = p

− p

= (n

− n

) R T /V

' 5 × 10

N/m

. Affinch´ e la forza risultante sulla parete sia maggiore od uguale alla forza peso bisogna che la superficie della parete abbia un’area minima A

per cui ∆p A

= m g, da cui A

= m g/∆p = 40 cm

. Questa va intesa ovviamente come valore limite tra quelli che rispondono alla domanda posta.

Il lavoro compiuto dal mondo esterno (forza peso della parete) sul sistema dei due gas vale (essendo la forza peso conservativa, con energia potenziale pari a E

= m g z + cost):

W = −m g ∆z. Dunque, non essendoci scambio di calore del sistema dei due gas con il mondo esterno, la variazione di energia totale sar` a data da: U

− U

= −m g ∆z ' −4 J.

Poich´ e in questa circostanza non c’` e scambio di calore con l’esterno n´ e lavoro, l’energia

totale rimane costante, 0 = ∆U = c

(n

+ n

)(T

− T

), dove c

` e il calore specifico molare,

da cui segue T

= T

.

L’onda si propaga con velocit` a c nel verso positivo dell’asse z, cui associamo il versore ~ u

. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto segue allora che ~ B = ~ u

× ~ E/c. Dunque:

B

= E

c , E

= −B

c , B

= 0 , E

= 0 . Indicata con e la carica elettrica dell’elettrone, la sua equazione del moto ` e

m d~ v

dt = e

E + ~ ~ v × ~ B

.

Osserviamo che ~ E ha modulo costante, | ~ E|

= E

, e ruota nel piano (xy) con velocit` a angolare ω = k c. Allora si pu` o avere un moto circolare uniforme con velocit` a angolare ω se, ad ogni istante, ~ v ` e parallelo a ~ B ed ortogonale ad ~ E. Il periodo di tale moto sar` a ovviamente:

T = 2 π ω = 2 π

k c .

Per determinare il raggio r basta ricordare che nel moto circolare il modulo dell’accelerazione centripeta (che per l’equazione del moto vale, nella situazione in esame, a

= (e/m) |E

|) `e dato da a

= ω

R. Segue allora:

R = e |E

| m ω

.

Indicando con parentesi angolose il valor medio, l’intensit` a media dell’onda ` e data da I = c 

h ~ E

i = c 

E

,

dunque l’energia incidente sull’elettrone nell’unit` a di tempo ` e (assumendo una sezione d’urto geometrica pari a π r

, l’area del cerchio massimo di una sfera di raggio r

):

dE

dt = I π r

= c 

E

π r

. Assumendo che tutta l’energia venga assorbita:

F

= 1 c

dE

dt = I π r

c = π 

E

r

.