La forza gravitazionale è la causa della forza peso che attira tutti gli oggetti verso il centro della Terra. L’attrazione gravitazionale fra corpi non planetari è trascurabile

Nei capitoli precedenti gli esempi sono stati volutamente semplificati per fissare maggiormente l’attenzione sull’uso delle leggi della meccanica.

In questa semplificazione è andata perduta buona parte della realtà fisica dei fenomeni e delle situazioni concrete, per esempio l’effetto degli attriti, ineliminabile su scala macroscopica.

Vengono qui illustrate molte applicazioni delle leggi del moto in condizioni più realistiche.

Sono introdotte le forze di attrito, sia radente sia viscoso, e studiate le loro proprietà e conseguenze.

Sono prese in considerazione forze variabili, in particolare rispetto al tempo, e viene mostrato come possono essere risolte, in questi casi, le equazioni del moto.

INTRODUZIONE

Qualche volta i gatti cadono accidentalmente da grandi altezze. Paradossalmente, l’entità dei danni che rischiano di procurarsi diminuisce con l’aumentare dell’altezza, se cadono da sette o più piani.

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

LEGGI DI FORZA

Per poter applicare efficacemente le Leggi di Moto a situazioni concrete bisogna esaminare le Leggi di Forza che esprimono la modalità con la quale l’ambiente agisce sulla particella tramite la Forza.

FORZE FONDAMENTALI IN NATURA

1)  Forza Gravitazionale (presenza di materia) 10^-38

2)  Forza Elettromagnetica (interazioni elettriche e magnetiche) 10^-2 3)  Forza Nucleare Debole (responsabile di processi di decadimento radioattivo e reazioni

tra particelle elementari) 10^-7

4)  Forza Nucleare Forte (tra particelle fondamentali – tiene insieme il nucleo) 1

trascurabile a livello microscopico

UNIFICAZIONE DELLE FORZE DELLA NATURA

LEGGI DI FORZA

L’analisi dei sistemi meccanici macroscopici richiede solamente la conoscenza della forza gravitazionale e di quella elettromagnetica

La forza gravitazionale è la causa della forza peso che attira tutti gli oggetti verso il centro della Terra. L’attrazione gravitazionale fra corpi non planetari è trascurabile

Tutte le altre interazioni macroscopiche sono originate dalla forza elettromagnetica che determina tutte le interazioni reciproche fra gli atomi.

L’insieme di tali interazioni reciproche genera le forze macroscopiche di contatto, di elasticità, gli attriti, le forze di tensione, le forze impulsive originate dalle collisioni macroscopiche o molecolari.

Queste complicate interazioni dovute alla forza elettromagnetica si riassumono con

opportune e spesso semplici Leggi di Forza.

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

FORZE DI ATTRITO

Le forze di attrito si manifestano quando c’è contatto, strisciamento o rotolamento fra i corpi o quando c’è movimento di corpi solidi o di fluidi all’interno di fluidi

Le forze di attrito agiscono sempre in direzione opposta al moto o alla tendenza al moto relativo dei corpi, non agiscono mai a favore del moto

Le forze di attrito giocano un ruolo fondamentale nella tecnologia e nella vita quotidiana

(1)  da una parte si oppongono ai movimenti reciproci dei corpi e quindi sono di ostacolo al moto dei sistemi meccanici ed all’avanzamento dei corpi (2)  dall’altra senza le forze di attrito non sarebbe possibile neppure

camminare o sorreggere gli oggetti

LE FORZE D’ATTRITO

corpo fermo

forza attiva

attrito statico

corpo in moto

attrito dinamico

Leggi empiriche macroscopiche dell’attrito radente Attrito radente statico

f

≤ µ

^N

coefficiente attrito statico

forza normale di carico

indipendente dalla superficie di contatto

f

= µ

^N

Attrito radente dinamico

coefficiente attrito dinamico

forza normale di carico

indipendente dalla superficie e dalla velocità

•  Leggi empiriche approssimate. E’ sorprendente che siano così semplici

•  Riassumono fenomeni microscopici molto complessi

µ

≤ µ

https://www.planetseed.com/uploadedFiles/Science/Laboratory/Air_and_Space/

Friction_Explorer/en/classes/FrictionApplet.html

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

COEFFICIENTI DI ATTRITO STATICO E DINAMICO

µ

≤ µ

Basi microscopiche dell’attrito

L’area effettivamente a contatto fra due superfici anche perfettamente levigate è molto più piccola dell’area geometrica affacciata (1/10⁴)

superficie di acciaio perfettamente levigata

10³-10⁴ diametri atomici

Dipendono dalle superfici considerate

I coefficienti di attrito sono ADIMENSIONALI

e possono eccedere il valore unitario

COEFFICIENTI DI ATTRITO STATICO E DINAMICO

L’area effettivamente a contatto è proporzionale alla forza di carico N

Questa area complessiva non cambia cambiando l’area affacciata a parità di forza di carico N

La forza di attrito è associata alle migliaia di microsaldature a freddo che si formano fra le due superfici e che si rompono continuamente durante il moto

Il coefficiente di attrito dipende da molte variabili fra cui la natura dei materiali a contatto, rifinitura delle superfici, strato superficiale di ossido, temperatura,…

Le forze di attrito che si oppongono al rotolamento sono molto minori (attrito volvente), il vantaggio nel moto è enorme.

La forza di attrito radente sono notevolmente diminuite dalla lubrificazione, che mantiene le superfici lontane e impedisce la formazione delle microsaldature

microsaldature adesione superficiale

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

ATTRITO MICROSCOPICO

Legno | Metallo

http://www.absorblearning.com/media/attachment.action?quick=50&att=352 http://www.absorblearning.com/media/attachment.action?quick=52&att=356

ESEMPI

Un blocco è fermo su un piano inclinato di un angolo q rispetto all’orizzontale.

Aumentando l’angolo il blocco comincia a scivolare per q=15°. Quanto vale il coefficiente di attrito statico fra blocco e piano?

Blocco fermo a=0

F = 

∑ ^{N + m  g +  f }

^{= m a = 0 }

F

= f

∑ ^{− mgsin θ = 0}

F

= N

∑ ^{− mg cos θ = 0}

#

$ %

&%

f

= mgsin θ N = mgcos θ

! "

#

Valore massimo f_s^max=m_sN quando il blocco scivola q=q_s

f

N = mgsin θ

mg cos θ

^→ µ

= tan θ

^; µ

= tan θ

= tan15° = 0, 27

Misura del coefficiente di attrito statico e dinamico (velocità costante)

http://www.mhhe.com/physsci/physical/

giambattista/forces/forces.html

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

ESEMPI

Forza massima costante dà a=costante

v

= v

+ 2a x − x (

)

Supposto x₀=0 e v_f=0

x = − v

2a

quadrato della velocità distanza di

frenamento

Legge del moto per determinare l’accelerazione

∑

∑

#

$%

&%

a = − f_s / m N = mg

#$

&

forza di attrito statico massima (ABS)

f

= µ

N = µ

mg → a = − f

/ m = − µ

^g

x = − v

2 µ

g

Esempio v₀=27 ms^-1

m_s=0,60 x = − v₀²

2µsg =

(

)

2 0, 60

( ) (

)

indipendente dalla massa

•  Se le gomme strisciano m_k<m_s e lo spazio di frenata aumenta

f

= µ

^N

Una automobile è in moto su una strada orizzontale con velocità v₀. Se µ_s è il coefficiente di attrito statico tra le gomme ed il suolo, qual è la distanza minima per arrestare l’automobile.

ESEMPI

Se le ruote di un’auto sono bloccate (impedite di ruotare) durante una frenata di emergenza l’auto slitta sul fondo stradale lasciando delle tracce di frenata di

frammenti di pneumatico e asfalto fuso. Le più lunghe tracce di frenata sono state lasciate da una Jaguar nel 1960 in GB, 290 m. Ammettendo che m_k=0,60 a che velocità viaggiava l’auto?

v

= v

+ 2a x − x (

)

Relazione cinematica per a=costante Se v=0 e x-x₀=d

v

= −2ad

v

= 2µ

gd = ( ) 2 ( ^{0, 60} ) ( ^{9,80 ms}

) ^{( 290 m ) = 58ms}

^{≈ 210 kmh}

Poiché la macchina è finita in un fosso al termine della frenata si può solo affermare che, all’inizio della frenata, la sua velocità era non inferiore a 210 kmh^-1.

Legge del moto

− f

= ma → a = − f

m = − µ

N

m = − µ

mg

m = − µ

^g

attrito dinamico

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

ESEMPI

Una donna tira a velocità costante una slitta carica, di massa m=75kg, su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico fra i pattini e la neve è µ_k=0,10 e l’angolo f=42°. Qual è la tensione della fune?

Legge del moto scomposta lungo gli assi

F

= T cos ϕ − f

= ma

= 0

∑

F

= T sin ϕ + N − mg = ma

= 0

∑

#

$ %

&%

L’attrito è radente dinamico

f

= µ

^N

T cos

ϕ

ϕ

µ

ϕ µ

T sinϕ + N − mg = 0 → T sinϕ+T cosϕ

µ_k ^{− mg = 0} T = µ_kmg

µ_ksinϕ+ cosϕ ⁼

(

) (

) (

)

(

)

N = cosϕ

cosϕ + µksinϕ mg = cos 42°

cos 42° + 0,1

( )

(

) (

)

(

)

=0 a!

DINAMICA DEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

uˆr

Se un corpo si muove su un arco di circonferenza di raggio “r” con velocità v costante in modulo avrà una accelerazione centripeta a

piano privo di

attrito



a

= − v

r ˆu

a 

= v

r

modulo accelerazione centripeta

L’accelerazione centripeta modifica con continuità la direzione della velocità mentre, se il moto è circolare uniforme, il modulo di v è costante

La seconda Legge del Moto richiede che la risultante delle forze agenti sul corpo sia

F 

∑ ^{= m a }

^; ∑ ^{F  = ma}

^{= mv} _r

Forza centripeta Forza centripeta esercitata dalla fune

http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/circular/circular.html

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

La forza centripeta deve essere generata da un agente esterno che fa parte dell’ambiente nel quale si trova il corpo in moto sulla circonferenza

La forza centripeta genera un cambiamento nella direzione della velocità. E’ un esempio del carattere vettoriale della legge del moto, dove forza e velocità non sono parallele

Quando la forza centripeta viene a mancare il corpo, non più sottoposto a forze, prosegue di moto rettilineo uniforme obbedendo alla legge di inerzia

Le forze responsabili dei moti circolari vengono dette centripete.

Questa denominazione indica solamente che la forza è diretta verso il centro, non dice nulla circa la natura della forza che può essere qualsiasi.

Non è quindi un nuovo tipo di forza

Si noti che nel moto circolare la forza centripeta (qualsiasi sia la sia natura) è l’unica agente (non equilibrata)

Non è necessario introdurre nessuna forza “centrifuga” (come spesso erroneamente si crede) se il moto è osservato da un riferimento inerziale

DINAMICA DEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Virata in volo a grande velocità, richiede una grande forza

centripeta e può essere pericolosa

r

R = L sin θ

IL PENDOLO CONICO

Si chiede il tempo necessario affinché il pendolo compia una rivoluzione completa

Si scrive la Legge di Moto della particella in un riferimento inerziale e si individuano le grandezze note e incognite

F 

∑ ^{= T + m  g = m  a }

traiettoria nota

moto uniforme, accelerazione centripeta modulo di T

incognito

Scomposizione della legge di moto lungo gli assi verticale ed orizzontale x,y non ruota

col pendolo

http://www.ngsir.netfirms.com/

englishhtm/ConicalPendulum.htm

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

r

IL PENDOLO CONICO

T_r = −T sinθ T_z = T cosθ

"

#$

F_r = T_r = ma_r = −mv²

∑

F_z = T_z − mg = ma_z = 0

∑

"

#&

$&

accelerazione centripeta

resta nel piano, a_z=0

•  Dividendo le due equazioni

−T sin

θ

θ

−mv² / R

mg → v = Rg tan

θ

velocità della particella

•  Per L=1,2 m e θ=25°

( ) _{2 , 1 s}

ms 80 , 9

25 cos m 2 , 2 1

2 cos

° =

=

= θ π

π g

T L

•  Tempo di una rivoluzione (periodo) v = 2π^R

T ; T = 2π^R

v = 2π^R

Rg tanθ ^{= 2}π ^R

g tanθ ^{= 2}π ^{L cos}θ g

dipende solo da Lcosθ

non dipende dalla massa

•  Il pendolo conico può essere utilizzato per misurare “g”

g = 4π^{2 L cos}θ T²

non dipende dalla massa

IL ROTORE

diagramma delle forze Legge del Moto

F =   N + 

f

∑ ^{+ m g = m  a }

traiettoria nota

moto uniforme, accelerazione centripeta moduli incogniti

F

∑ ^{= f}

^{− mg = ma}

^{= 0}

F

∑ ^{= −N = ma}

^{= − mv} _R

#

$ %

&

%

mg = f_s ≤µ_sN = µ_s^mv2 R

v ≥ gR µ_s ⁼

9,80 ms⁻²

( ) ⁽

⁾

0, 40 = 7, 0 ms⁻¹

µ

= 0, 40 R = 2, 0 m

T ≤ 2 π R

v = 12, 6 m

7,0 ms

= 1,80s ν ≥ 1

T = 0, 56s

= 33giri/min

non dipende dalla massa

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

LA CURVA SOPRAELEVATA

forza centripeta attrito statico Legge di moto per la curva piana

F =  

N + 

∑ P ^{+ m g = m  a }

P = m v

R ≤ µ

mg → v ≤ µ

^gR

non dipende dalla massa

limiti di velocità

F

∑ ^{= N cos θ − mg = ma}

^{= 0}

F

∑ ^{= −N sin θ = ma}

^{= − mv} _R

#

$ %

&

%

Legge di moto per la curva sopraelevata senza attrito

F =  

∑ N ^{+ m g = m  a }

tan θ = v

Rg

angolo θ non dipende dalla massa

sopraelevate in relazione alla velocità media

http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/

banked_curve/banked_curve.html

µ

= 1.5, R = 190 m → v ≤ 53 m/s

esempio

EQUAZIONI DI MOTO, FORZE COSTANTE E VARIABILI

•  Moti non vincolati. Determinare il moto una volta note le forze applicate (anche variabili rispetto al tempo, posizione, velocità)

•  Moti sottoposti a vincoli. Nota una parte delle forze (forze attive) e qualche caratteristica dei vincoli (es. traiettoria), determinare il moto ed il valore delle forze vincolari

•  Noto completamente il moto, determinare le forze agenti (es. moto dei pianeti) Problema generale della dinamica

•  Moto non vincolato di una particella sottoposta a forze, anche non costanti, dipendenti dal tempo, posizione, velocità

in una dimensione

F → a

∑ ^{→ v t ( ) → x t ( )}

velocità e posizione iniziali

forze

moti

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

EQUAZIONI DI MOTO, FORZE COSTANTE E VARIABILI

moto vincolato con forze variabili Forze costanti

a = costante; a = dv

dt → dv = a dt → dv = a dt

0 t v₀

∫

v

∫ ^{= a dt}

0 t

∫

calcolo integrale

x − x

= v

t +

at

→ x = x

+ v

t +

at

v − v

= at → v = v

+ at

v = dx

dt ; → dx = v dt → dx = v dt

0 t x₀

∫

x

∫

⁽

⁾

0 t

∫

x₀ e v₀ condizioni iniziali del moto

•  Se “a” non è costante gli integrali si complicano e possono essere risolti esattamente sono in qualche caso (metodo analitico)

•  In generale sono risolti numericamente tramite l’uso del calcolatore (metodo numerico)

•  Nella maggior parte dei casi pratici le forze sono variabili con t,x,v

FORZE DIPENDENTI DAL TEMPO

•  In generale le forze in natura non sono costanti e dipendono dal tempo

Il tubo catodico di Thomson l’antenato dell’oscilloscopio e della televisione

fascio di elettroni

Campi elettrici e forze elettriche variabili con il tempo

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

FORZE DIPENDENTI DALLA VELOCITÀ

Forze dipendenti dalla posizione

•  Le forze di attrito viscoso che subisce un corpo che si muove in un fluido dipendono dalla velocità

•  Esse crescono con la velocità

•  I corpi in caduta libera raggiungono una velocità costante di regime quando la forza di attrito viscoso eguaglia il peso del corpo in caduta

•  Un proiettile leggero lanciato in aria a grande velocità (palla da baseball) ha una gittata che è circa la metà di quella calcolata in assenza di attrito

•  Le forze elastiche di richiamo dipendono dalla posizione

•  Forza di una molla ideale deformata

F = −k x

•  Accelerazione della massa

a = F

m = −kx

m → d

x t ( )

dt

+ k

m x t ( ) ^{= 0}

Equazione differenziale

•  I moti generati da forze dipendenti dalla posizione possono essere studiati più semplicemente usando i concetti di lavoro e di energia

FORZE DIPENDENTI DAL TEMPO: METODO ANALITICO

•  Quando la risultante delle forze agenti su una particella dipende dal tempo, anche l’accelerazione dipende dal tempo

in una dimensione

∑ F t ( ) ^{= ma → a t ( ) =} ∑ ^{F t ( )}

m

a t ( ) ^{= dv}

dt → dv = a t ( ) ^{dt → dv}

v₀ v

∫ ^{= a t ( ) dt}

0 t

∫

v t ( ) ^{− v}

^{= a t} ( ) ^dt

0 t

∫ ^{→ v t ( ) = v}

^{+ a t ( ) dt}

0 t

∫

x t ( ) ^{= x}

^{+ v t} ( ) ^{dt =}

0 t

∫ ^x

^{+ v}

^{t + a t ( ) dt}

0 t 0

∫

t

∫

v = dx

dt → dx = v t ( ) ^{dt → dx}

x₀ x

∫ ^{= v t ( ) dt}

0 t

∫

integrazione

dell’equazione di moto

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

ESEMPIO

Un’automobile viaggia alla velocità di 105 km/h. Il guidatore frena con forza crescente in modo che la decelerazione della macchina vari con il tempo secondo la legge a(t)=ct, dove c=-2,67 ms^-3. Dopo quanto tempo si ferma? Quanta strada percorre prima di fermarsi?

t₁ = −2v₀

c = − 2

( ) (

)

−2, 67ms⁻² = 4, 68s

v t ( ) ^{= v}

^{+ ct dt}

0 t

∫ ^{= v}

^{+ 1} ₂ ^ct

^{→ 0 = v}

^{+ 1} ₂ ^ct

tempo di arresto

x t

( )

0 t 0

∫

t

∫

x t ( ) = 0 + 29, 2 ms (

) ^{( 4, 68s ) +}

+ 1

6 ( −2, 67ms

) ^{( 4, 68s )}

^{= 91, 0 m}

•  La frenata è progressiva e la maggiore variazione di velocità si ha verso la fine del moto

non è una retta

FORZE DIPENDENTI DAL TEMPO: METODO NUMERICO

•  L’espressione analitica della accelerazione non è sempre integrabile oppure la soluzione analitica può essere così complicata da non permettere uno studio semplice del problema fisico.

•  Per ottenere una soluzione numerica si procede come segue:

(1) si divide il tempo in tanti piccoli intervalli

(2) si applica l’equazione di moto in ogni piccolo intervallo facendo l’ipotesi che l’accelerazione sia costante nell’intervallo considerato (accelerazione media)

(3) Il metodo funziona meglio al diminuire dell’ampiezza degli intervalli temporali

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

FORZE DIPENDENTI DAL TEMPO: METODO NUMERICO

•  Esempio di processo numerico di calcolo

1.  La regione fra t=0 s e t=5 s viene divisa in 10 intervalli δt=0,5 s 2.  In ogni intervallo δt=0,5 s la funzione a(t) è approssimata con

un valore costante, diverso da intervallo a intervallo 3.  Il valore della accelerazione media del primo intervallo è:

4.  La variazione di velocità δv₁ nel primo intervallo è approssimativamente:

La velocità al tempo t=0,5 s sarà:

5. Per determinare lo spostamento si calcola la velocità media:

a₁=¹₂!"a 0( )^{+ a 0, 5s}( )#$=^12!"0 + −2, 67ms

(

)

$ = −0, 67ms⁻²

δv₁= a₁δt = −0, 67ms

(

) ⁽

⁾

v₁= ¹₂

(

)

= ¹₂

(

)

δx₁ = v₁δt = 29,1ms

(

) ⁽

⁾

assegnando x₀=0 x₁ = x₀ +δx₁ =0+14,6m=14,6m

•  Si passa quindi al secondo intervallo di tempo e si ripete il procedimento

•  Si ottengono così i valori di velocità e posizione alla fine dei diversi intervalli

•  Si noti che il procedimento numerico è lo stesso per qualsiasi legge a(t)

MOTO DI UN PROIETTILE IN UN FLUIDO

•  La resistenza viscosa dell’aria ne modifica il moto ed impone una velocità di regime molto inferiore, di pochi metri al secondo

•  La resistenza all’avanzamento dei corpi nei fluidi gioca un ruolo importante nella progettazione dei mezzi di trasporto terrestri, aerei e marini

•  La resistenza viscosa dipende dalle caratteristiche del fluido e dalla forma del corpo

•  Inoltre essa aumenta all’aumentare della velocità di avanzamento

•  La dipendenza dalla velocità è lineare per basse velocità e forme affusolate dei corpi (moti laminari)

•  E’ invece quadratica per alte velocità e forme tozze e arrotondate (moti turbolenti)

la posizione a uovo, riduce l’area efficace trasversale

•  Le gocce di pioggia possono cadere anche da nubi distanti dal suolo 2,0 km

•  Nel caso di una caduta libera senza resistenza dell’aria le gocce di pioggia arriverebbero al suolo con velocità: v = 2gh =

( )

(

) ⁽

⁾

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

inizio caduta

peso y

MOTO DI UN PROIETTILE IN UN FLUIDO

•  Poiché essa dipende dalla velocità, per risolvere le equazioni di moto bisogna necessariamente ricorrere al calcolo integrale

a v ( ) ^{= dv}

dt → dv

a v ( ) ^{= dt →}

dv a v ( )

v₀ v

∫ ^{= dt}

0 t

∫ ^{= t}

separazione di variabili resistenza

dell’aria

velocità di regime costante

P +  

D = m 

a → mg − D v ( ) ^{= ma → a v} ( ) ^{= mg − D v} ( )

m

ESEMPIO

Un oggetto di massa m cade verticalmente, partendo da fermo, sotto l’azione della resistenza dell’aria D=bv, che ha direzione opposta alla velocità e cresce linearmente con essa. La costante b dipende dalla forma dell’oggetto e dalle caratteristiche del fluido. Si determini la velocità di caduta v(t).

•  Legge del Moto di Newton



∑ F ^{= D + m  g = m  a → } ∑ ^F

= mg − bv = ma

•  Condizione di regime

a = 0; v = costante; → v

= mg

b

•  Determinazione di v(t) con v₀=0 dv g − b / m

( )

0 v

∫

b

−bdv mg − bv

0 v

∫

∫

−m b

−bdv mg − bv

0 v

∫

0

v = −m

b log mg − bv +m

b log mg

( )

−m

b log mg − bv mg

#

$% &

'( = t ^relazione _{fra v e t} La velocità parte da zero

e tende a v_T

L’accelerazione parte da

“g” e tende a zero

log mg − bv mg

"

#$ %

&

' = −bt

m → mg − bv mg = e⁻

bt

m → v t

( )

b 1− e⁻

bt

" m

#$ %

&

'

•  Quando t è piccolo si ha: e^x ~1+x v t

( )

*+ ,

-. = gt

•  Per grandi t si ha: e^-x ->0 v mg

velocità di regime

DINAMICA DELLE PARTICELLE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

MOTO DI UN PROIETTILE IN ARIA

Gatto in fase di atterraggio

95% della velocità

(m)

mm

forze agenti su un proiettile lanciato in aria

MOTO DI UN PROIETTILE IN ARIA

•  Il gatto deve cadere per sei piani prima di raggiungere la velocità di regime. Mentre cade percepisce l’accelerazione, si rattrappisce e raggiunge una velocità di regime di circa 100 km/h

•  Una volta che raggiunge la velocità di regime si rilassa, allunga in fuori zampe e collo come uno scoiattolo volante. D aumenta, diviene maggiore di P e la velocità di regime diminuisce a circa 70 km/h •  Una mazza da baseball lancia una palla a 45 m/s, velocità

maggiore di quella di regime

•  La forza di resistenza opposta dall’aria risulta maggiore del peso della palla ed influenza notevolmente il moto

v₀ = 45ms⁻¹ ϕ₀ = 45°

b = 9, 033N/ ms

(

)

Palla da baseball traiettorie con e senza la

resistenza dell’aria

senza forza d’attrito