Scuola Galileiana di Studi Superiori – Classe di Scienze Naturali Prova Scritta di Fisica – a.a. 2009–2010

Scuola Galileiana di Studi Superiori – Classe di Scienze Naturali Prova Scritta di Fisica – a.a. 2009–2010

Si risolva il maggior numero possibile di problemi, anche soluzioni parziali saranno valutate.

Nel risolvere i problemi con dati numerici, questi ultimi si usino solo nelle espressioni finali.

Problema 1

Un cilindro di raggio R = 1cm `e disposto verticalmente, manca della base superiore, cosicch´e

`e aperto all’aria. Esso contiene un liquido viscoso di densit`a ρ

= 10

kg/m

e calore specifico c

= 4 · 10

J/kg K. L’altezza del liquido `e L = 1m. Sul fondo viene posta una sferetta di raggio r = 2mm, densit`a ρ

= 0.8 · 10

kg/m

e calore specifico c

= 2 · 10

J/kg K. La sferetta parte da ferma, e si osserva che quando arriva alla superficie libera del liquido essa ha velocit`a praticamente costante. La sferetta esce in aria e raggiunge un’altezza h = 3.3cm rispetto alla superficie del liquido prima di fermarsi.

a) Trascurando la resistenza dell’aria si determini l’energia meccanica ∆E dissipata nel liquido.

b) La forza viscosa che agisce sulla sferetta `e proporzionale alla velocit`a ~v, e si pu`o scrivere come ~ F = −k ~v. Si determini k.

c) Quale conseguenza produce la dissipazione dell’energia meccanica? ` E percepibile?

Problema 2

Le tre leggi di Keplero riguardano una particella massiva che si muove nel campo gravi- tazionale generato da un corpo statico di massa M. In particolare, secondo la terza legge il rapporto tra il quadrato del periodo T e il cubo del semiasse maggiore a dell’ellisse, C

= T

/a

,

`e indipendente dalla particella, essendo C

= 4π

/(GM) dove G `e la costante di Newton. Si consideri il caso analogo di una particella di carica −q < 0 che si muove nel campo elettrico gen- erato da una carica statica puntiforme Q > 0. Sfruttando le analogie esistenti tra l’interazione gravitazionale e quella elettrostatica,

a) si dica quali delle leggi di Keplero si applicano anche al caso elettrostatico;

b) si esprima nel caso elettrostatico il rapporto C

= T

/a

in termini di q, Q, della massa m della particella carica, e della costante dielettrica del vuoto ε

.

Si osserva che nel punto P

di minima distanza r

della particella carica da Q la sua velocit`a vale v

, e che nel punto P

di massima distanza da Q essa dista r

= 2 r

da Q. Sfruttando le leggi di Keplero, e supponendo note solo r

e v

, si determini,

c) la velocit`a v

della particella in P

; d) il periodo T dell’orbita.

Problema 3

Due moli di elio compiono un ciclo reversibile formato dalle seguenti trasformazioni: un’espansione dallo stato A allo stato B lungo una retta nel piano (p, V ); un’espansione adiabatica dallo stato B allo stato C; una compressione isoterma dallo stato C allo stato iniziale A. I valori dei volumi e delle pressioni negli stati A e B sono V

= 5 · 10

m

, p

= 1.01 · 10

N/m

, V

= 75 · 10

m

, p

= 2.02 · 10

N/m

, e il rendimento del ciclo vale η = 0.45. La costante dei gas vale R = 8.31J/mole K.

a) Si disegni schematicamente il ciclo nel piano (p, V ).

b) Si determini il lavoro W

compiuto dal gas nella trasformazione A → B.

c) Si determini il calore Q

scambiato dal gas nella trasformazione A → B.

d) Si determini il lavoro W

compiuto dal gas nella trasformazione C → A.

e) Si determini la variazione di entropia ∆S

del gas nella trasformazione A → B.

Problema 4

Una slitta A lunga L = 70cm di massa m

= 0.5kg `e appoggiata sul piano orizzontale (x, y), ed `e vincolata a muoversi di moto rettilineo lungo l’asse delle x, per effetto di due guide lisce a contatto con le pareti laterali della slitta. L’attrito dinamico tra A e il piano d’appoggio ha coefficiente µ

= 0.04. Sopra la slitta `e appoggiato un corpo B di massa m

= 0.2kg, di dimensioni trascurabili, costretto da un binario liscio sulla slitta a muoversi anch’esso in direzione x lungo la slitta. Nel contatto del piano inferiore di B con quello superiore di A si esplica un attrito dinamico con coefficiente µ

= 0.2. Inizialmente il sistema `e in quiete e B si trova all’estremo posteriore della slitta. Viene applicata a B una forza costante ~ F giacente nel piano (x, y) di intensit`a F = 3N, che forma con l’asse delle x positive un angolo ϑ = 30

. Si determini:

a) l’accelerazione a

di B;

b) l’accelerazione a

di A;

c) la forza ~ f che le guide esercitano su A;

d) il tempo T che B impiega a raggiungere l’estremo anteriore della slitta.

Problema 5

Una sferetta di dimensioni trascurabili e massa m = 50g `e vincolata a muoversi nella sottile intercapedine tra due superfici coniche lisce quasi coincidenti, in presenza del campo gravitazionale terrestre. Prendendo come asse z la verticale ascendente, la base dei coni giace nel piano orizzontale (x, y), e i loro vertici quasi coincidenti si trovano nel punto P di coordinate P = (0, 0, h), con h = 1m. Il raggio R della base eguaglia l’altezza dei coni, R = h. La sferetta

`e legata attraverso una fune inestensibile di massa trascurabile e lunghezza l = 80cm al vertice P . Inizialmente essa compie un moto circolare uniforme con velocit`a v

= 4m/s.

a) Si determini la tensione T della fune.

b) La sferetta esercita una pressione sul cono interno o su quello esterno?

c) Durante il moto circolare la fune si spezza e la sferetta scivola verso il basso all’interno dell’intercapedine, raggiungendo la base nel punto A di coordinate A = (0, h, 0). Si determini il modulo v della velocit`a in A.

d) Si determinino le componenti cartesiane (v

, v

, v

) della velocit`a in A.

Problema 6

Nell’atomo di idrogeno classico l’elettrone compie inizialmente un’orbita circolare attorno al protone, con raggio uguale al raggio di Bohr r = 5.3 · 10

cm.

a) Si determini il periodo T dell’orbita conoscendo i valori numerici della velocit`a della luce c = 3·10

m/s, e dell’espressione L ≡ e

4πε

mc

= 2.8 · 10

cm, dove m `e la massa dell’elettrone, e la sua carica, e ε

la costante dielettrica del vuoto.

b) Si esprima l’energia meccanica totale E dell’elettrone in termini di r, ε

ed e.

c) Secondo l’Elettrodinamica classica una particella non relativistica di carica e e accelerazione

~a emette radiazione elettromagnetica di potenza W = e

|~a|

6πε

c

, dove l’esponente β `e un numero reale. Quanto vale β?

d) Si determini la frazione di energia meccanica f = ∆E/|E| persa dall’elettrone durante un periodo.

e) Si stimi il tempo ∆t durante il quale il raggio dell’atomo di idrogeno classico diminuirebbe

del 50%.