Scuola Galileiana di Studi Superiori – Classe di Scienze Naturali Prova Scritta di Fisica – a.a. 2008–2009

Scuola Galileiana di Studi Superiori – Classe di Scienze Naturali Prova Scritta di Fisica – a.a. 2008–2009

Si risolva il maggior numero possibile di problemi, anche soluzioni parziali saranno valutate.

Nel risolvere i problemi con dati numerici, questi ultimi si usino solo nelle espressioni finali.

Problema 1

Uno sportivo di massa M = 80 kg si lascia cadere da un ponte alto h = 40 m, agganciato ad una corda elastica di massa trascurabile e lunghezza a riposo l

= 30 m, un’estremit` a della quale ` e fissata al ponte. Si assuma che, per un allungamento ∆l > 0, una corda elastica sia assimilabile ad una molla di costante elastica k. Trascurando la resistenza dell’aria ed ogni altro attrito, calcolare: (a) quanto deve valere la costante elastica k della corda perch´ e la minima distanza dal suolo durante il moto sia z

= 4 m; (b) la quota z

alla quale viene raggiunta la massima velocit` a; (c) la velocit` a massima raggiunta v

; (d) i valori massimo R

e minimo R

del modulo della forza risultante ~ R agente sullo sportivo.

Problema 2

Nuotate con una vostra amica in una piscina di lunghezza L = 25 m. Procedendo a velocit` a costante (le virate avvengono in un tempo trascurabile), nel tempo h di un’ora voi percorrete N

= 72 vasche (tratti di lunghezza L), la vostra amica N

= 108. Siete partiti insieme dal bordo della vasca al tempo t

= 0 ed arrivate contemporaneamente. (a) Quante volte S la vostra amica vi ha sorpassato (contando come sorpasso l’arrivo ma non la partenza)?

(b) Quante volte I la avete incrociata mentre nuotava in senso opposto? (c) A che istanti t

sono avvenuti i sorpassi? (d) In quali punti della vasca sono avvenuti i sorpassi?

Problema 3

Si consideri una sfera statica di raggio R e centro nell’origine degli assi coordinati, unifor- memente carica con densit` a di carica ρ > 0, fatta eccezione per una cavit` a pure sferica, di raggio r

= R/4 e centro nel punto P

di coordinate x

= R/2, y

= z

= 0. (a) Si determini il campo elettrico ~ E nel punto P

di coordinate x

= 2R, y

= z

= 0, indicando con 

la costante dielettrica del vuoto ed esprimendo il risultato in funzione dei soli parametri ρ, R ed



. Una particella di carica q > 0 e massa m ha velocit` a ~ v

, diretta verso l’origine, quando

si trova nel punto P

. Trascurando la forza gravitazionale: (b) si determini il valore minimo

v

del modulo di ~ v

affinch´ e la particella raggiunga la superficie della sfera di raggio R; (c) in

corrispondenza a tale valore v

, si determini il valore asintotico ~ v

del vettore velocit` a della

particella per tempi molto grandi.

Problema 4

Si considerino una sfera solida omogenea di massa M e raggio R, ed un condotto cilindrico, molto sottile e liscio, che la attraversa. Sia r

= (3/5) R la distanza minima del condotto dal centro della sfera. (a) Si calcoli la forza gravitazionale ~ F

agente su una particella di massa m  M nel punto generico del condotto (se pu` o essere utile, si tenga presente l’analogia formale tra la legge di Coulomb dell’elettrostatica e la legge di Newton della gra- vitazione universale). (b) Trascurando ogni tipo di attrito, si scriva l’equazione del moto per tale particella, esplicitandone in particolare la componente lungo la direzione del condotto.

(c) Supponendo che il moto della particella sia sempre confinato all’interno del condotto, si determini il tempo ∆t che intercorre tra due passaggi successivi della particella per il centro del condotto.

Problema 5

All’interno di un cilindro verticale termicamente isolato pu` o scorrere senza attriti una parete divisoria orizzontale pure isolante, di massa m = 2 kg. Inizialmente la parete ` e bloccata nella posizione mediana, con il cilindro diviso in due scomparti di ugual volume V

= 0.5 m

. Nella parte inferiore sono contenute n

= 2 moli di ossigeno (O

), in quella superiore n

= 1 moli di azoto (N

), ed entrambi i gas si trovano alla stessa temperatura iniziale T

= 300 K (stato 0 per l’intero sistema). La parete viene sbloccata e, dopo complicate oscillazioni, si ferma ad una quota superiore di ∆z = 20 cm rispetto a quella di partenza, in un nuovo stato di equilibrio (stato 1 per l’intero sistema). (a) Qual ` e l’area minima A

della superficie della parete divisoria se si vuole che, appena sbloccata, essa si muova verso l’alto? (b) Sia U l’energia interna totale dei due gas (la somma): quanto vale la differenza fra i suoi valori U

nello stato 1 e U

nello stato 0? (c) Se, partendo dallo stato 0, creiamo un’apertura nella parete divisoria senza sbloccarla, i due gas si mescolano e si realizza un diverso stato di equilibrio alla temperatura T

. Questa sar` a maggiore, minore od uguale a T

? Si trascuri l’influenza di sblocco ed apertura della parete sui bilanci energetici del problema, si considerino i due gas (all’equilibrio) come ideali e si prenda per la costante dei gas R ' 8.31 J/(mol K).

Problema 6

In un’onda elettromagnetica piana e monocromatica nel vuoto, le componenti cartesiane lungo l’asse x dei campi elettrico ~ E e magnetico ~ B assumono rispettivamente la forma

E

= E

cos[k(z − c t)] , B

= −(E

/c) sin[k(z − c t)] ,

dove c ` e la velocit` a della luce nel vuoto e k 6= 0 una costante. (a) Si determinino le restanti

componenti cartesiane di ~ E e ~ B. (b) Trascurando la forza peso, si dimostri che un elettrone

nel campo di quest’onda pu` o compiere moti circolari uniformi, determinandone periodo T e

raggio R. Si assuma che la velocit` a dell’elettrone sia molto minore di c. (c) Assumendo che

un elettrone sia assimilabile ad una sferetta di ‘raggio classico’ r

, si dia una stima della forza

in direzione z, F

, esercitata dall’onda sull’elettrone.