Lezione n. 7

Lezione n. 7 ^{(2 ore)}

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: carlo.pagani@unimi.it

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: gianluca.colo@mi.infn.it

La carica elettrica

E’ esperienza comune che la materia può contenere della carica elettrica e molti dei fenomeni associati ad essa sono già noti:

fulmini, scariche, attrazione elettrostatica ecc.

La materia ordinaria contiene enormi quantità di carica elettrica anche se risulta normalmente nascosta: infatti contiene un numero identico di cariche positive e negative, risultando così elettricamente neutra.

E’ pero possibile, ad esempio per sfregamento, generare in un corpo un eccesso di carica di un dato segno, tale corpo avrà allora una carica netta.

Esiste in natura una forza sensibile allo stato di carica di un corpo:

cariche elettriche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono.

Materia, conduttori ed isolanti

La struttura stessa degli atomi è responsabile della natura elettrica della materia:

– Protoni con carica positiva e neutroni, privi di carica, formano un nucleo centrale

– Elettroni carichi negativamente orbitano intorno al nucleo – L’atomo ha una struttura complessivamente neutra, ma

può perdere o acquisire carica per ionizzazione

E’ possibile classificare le sostanze in funzione della facilità che hanno le cariche elettriche a muoversi attraverso di esse:

– Conduttori: le cariche si muovono abbastanza liberamente, come nel rame o nei metalli in genere

– Non conduttori o isolanti: le cariche non si muovono affatto, come la gomma, la plastica o il vetro.

– Semiconduttori: sostanze dal comportamento intermedio, come il silicio o il germanio utilizzati nei circuiti integrati.

– Superconduttori: sostanze perfettamente conduttrici in cui le cariche si spostano senza ostacolo alcuno, come il niobio al di sotto della temperatura di 9 K che viene utilizzato negli acceleratori di particelle.

La legge di Coulomb

Due particelle con cariche elettriche di modulo q₁ e q₂, poste ad una distanza r, subiscono una forza elettrostatica data dalla legge di Coulomb:

Ciascuna delle cariche esercita una forza F sull’altra, si tratta di una coppia di azione-reazione.

La forza è sempre diretta lungo la direttrice tra le due particelle, nel verso di allontanamento se si respingono e nel verso di avvicinamento se si attraggono.

E’ evidente l’analogia con la forza di gravitazione universale di Newton, k è detta costante elettrostatica.

L’unità di misura SI per la carica è il coulomb (C) e la costante k è pari a:

2 2 1

r q k q

F 

   

con

10 99 .

8 ₂ ²

2

9     



 N kg m s

C m k N

C.A. Coulomb, 1785

Concetti e formule fondamentali

Alcune concetti fondamentali:

La quantità di carica elettrica DQ in transito nell’intervallo di tempo Dt è detta corrente elettrica. L’unità SI della corrente è l’ampere (A).

La costante elettrostatica è determinata dall’espressione:

Diversamente da Coulomb o Franklin oggi sappiamo che la carica elettrica è quantizzata, ovvero che essa è sempre e solo multiplo di una carica elementare detta e. Per qualsiasi q vale che:

Ad ogni livello dell’indagine fisica, da quello atomico a quello macroscopico, è sempre verificato il principio di conservazione della carica elettrica formulato da B. Franklin.

t i Q

D

 D

] [

] ] [

[ s

A  C 1C 

   

4 0

1

 

k 

 

 ^{12 2} ₂

0 8.85 10

m N

 C costante dielettrica del vuoto

C e

n ne

q  ;  1, 2,... ; 1.60210^19

Tavola Periodica degli elementi

Nella Tavola periodica gli elementi sono ordinati secondo il numero di cariche elementari positive (protoni) che sono contenute nei rispettivi nuclei. Intorno ai nuclei “ruotano” altrettante cariche elementari negative (elettroni) in modo che l’atomo sia elettricamente neutro.

L’azione a distanza caratteristica della forza elettrostatica viene spiegata in fisica grazie al concetto di campo elettrico:

– Il campo elettrico è vettoriale, consiste in una distribuzione di vettori nello spazio intorno ad una particella carica.

– Supponiamo di esplorare tale spazio tramite una particella carica positiva di prova q₀. Se F è la forza a cui la particella è soggetta in un dato punto P(x,y,z), il campo elettrico in P ha intensità:

Il campo elettrico in un certo spazio può essere visualizzato attraverso le sue linee di forza:

– In ogni punto la tangente alla linea indica la direzione del campo elettrico

– La densità di linee per unità di superficie normale è proporzionale alla intensità del campo elettrico: le linee si addensano dove il campo è più intenso

– Si consideri che la particella di prova è sempre positiva: le linee escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative

Campo elettrico e linee di forza

q0

E F

 

 m kg

m

a_g  F con ₀ 1

0

 

Analogia con il campo gravitazionale

Campo elettrico e linee di forza - 2

Le linee di forza tracciano sempre traiettorie chiuse, nel caso cariche di un solo segno si suppongono chiuse su cariche lontane (all’infinito).

Ecco qualche esempio di linee di forza e di vettore campo elettrico corrispondente per semplici distribuzioni di carica:

Singola carica negativa.

Coppia di cariche positive

Coppia di cariche di segno opposto:

dipolo elettrico

Utilizziamo la carica di prova positiva q₀ per descrivere il campo elettrico di una singola carica puntiforme q in funzione della distanza r:

– L’intensità della forza è data dalla legge di Coulomb:

– L’intensità del vettore campo elettrico è allora data da:

– Vale il principio di sovrapposizione, dunque è possibile calcolare allo stesso modo il campo generato da più cariche puntiformi come:

– Ciascun contributo E_i corrisponde al campo elettrico che sarebbe generato se la carica i fosse l’unica presente!

Campo di una carica puntiforme

2 0

4 0

1

r q F q

 



2 0

0 4

1 r

q q

F

E ^{ } 

 

r r r

q F q

q F q

E F E

E _i

 



 



        ₂ ⁰ 

0 0

2 0

1 2

1 4

con 1

...

... 

Utilizziamo il principio di sovrapposizione per esprimere il campo elettrico generato da un dipolo elettrico lungo il suo asse (asse z):

Che può essere riscritta come:

Quando ci troviamo a grandi distanze dal dipolo possiamo approssimare il risultato considerando che z >> d. L’espressione risultante è:

p = q d

Campo di un dipolo elettrico

   

 ^{2 0}  ^{2 0 2 0 2}

0

2 4 1

1 2

4 1 1 4

1 4

1



 

 





 

 



















d z

q d

z q r

q r

E q E

E    

d q z p

p z

qd z

d z

E q ₃

0 3

0 2

0

2 ; 1 2

1 2

4   

   











 



 

 

 



 

 





2 2

2

0 1 2

1 2

4 z

d z

d z

E q



Moto di una carica in campo elettrico

Per descrivere il moto di una particella carica q in un campo elettrico E(x,y,z) è sufficiente considerare che in ogni punto P la forza sulla particella è data da:

– Il campo è un campo esterno: esso non è generato dalla particella, un corpo carico non risente del proprio campo elettrico !

– F ha lo stesso verso di E se la particella ha carica positiva, ha il verso opposto ad E se ha carica negativa.

Nel caso particolare del dipolo in campo uniforme, il moto può essere ulteriormente semplificato:

– Assumiamo il vettore p come diretto lungo l’asse del dipolo, dalla carica negativa a quella positiva.

Assumiamo inoltre che il dipolo abbia una struttura interna rigida.

– il centro di massa rimane fermo ma viene esercitato un momento torcente t

E q F  







t  Fd sin  pE sin  p  E 



t 

Flusso del campo elettrico

Se in una data porzione di spazio è presente un campo vettoriale, ogni superficie arbitraria dà luogo ad un flusso di campo determinato dalle linee di campo che la superficie intercetta.

Introduciamo il vettore areale, il cui

modulo è pari all’area della superficie A e la cui direzione è normale al piano dell’area. In un campo elettrico costante Il flusso è definito come:

Se consideriamo una superficie chiusa, possiamo sommare il contributo di tutti i piccoli piani di area DA che la compongono:

– Il campo E può essere ritenuto costante su aree così piccole

– Facendo tendere a zero l’area dei piani DA:

A E  







 ^



 E  d A 

Legge di Gauss

La legge di Gauss mette in relazione il flusso netto di campo elettrico attraverso una superficie chiusa (detta anche superficie gaussiana) con la carica netta q_int che è racchiusa all’interno della superficie. Vale che:

– Se la carica netta è positiva il flusso è uscente, se è negativa il flusso è entrante.

– Forma e posizione delle cariche non hanno importanza!

– Cariche esterne alla superficie danno un flusso netto pari a zero: tutte le linee di forza entrano ed escono.

Ad esempio si considerino le superfici in figura:

– S1: carica netta positiva, flusso positivo – S2: carica netta negativa, flusso negativo – S3: niente carica, flusso netto nullo

– S4: carica netta nulla, flusso nullo

 ^





 E d A

q  

0 0

int

 

(Legge di Gauss)

Applicazione della legge di Gauss ai conduttori

Campo elettrico all’interno dei conduttori:

– In un conduttore le cariche in eccesso sono libere di muoversi e la repulsione elettrostatica le spinge tutte a disporsi sulla superficie esterna

– Applicando la legge di Gauss ad una superficie chiusa tutta interna al conduttore osserviamo che essa

non racchiude alcuna carica:

• il campo elettrico è nullo all’interno dei conduttori!

Campo elettrico sulla superficie dei conduttori:

– Consideriamo una piccola superficie cilindrica “a cavallo”

dello strato più esterno

– Assumiamo s come densità superficiale di carica:

– Non c’è flusso nella superficie interna poiché E = 0 – Non c’è flusso in quella laterale perché il campo è

ortogonale al vettore areale

– Il solo contributo al flusso è dato dalla faccia esterna

 s s

   

 EA A E

q

Ancora sui conduttori …

Alcune considerazioni ulteriori sui conduttori:

– Su oggetti asimmetrici la carica elettrica in eccesso non si distribuisce necessariamente in modo omogeneo, la densità superficiale tende ad essere maggiore laddove il raggio di curvatura è minore (punte, spigoli etc.).

• Il campo sulla superficie è sensibile alla sola densità superficiale di carica, ne segue quindi che il campo elettrico ha valori più alti in prossimità di spigoli vivi: è l’effetto punta.

– Le cariche sui conduttori si dispongono sempre in modo da determinare campo elettrico nullo all’interno, anche se il conduttore non presenta cariche in eccesso.

• Le linee di forza si arrestano alla superficie e sono ad essa perpendicolari

– Si consideri il caso di un conduttore con una cavità che racchiuda una carica -q:

• Sulle superfici interna ed esterna del conduttore esterno si formano delle cariche –q e +q tali che il campo all’interno sia nullo e il conduttore rimanga neutro.

• Tali cariche sono dette cariche immagine.

• La configurazione interna della carica è insondabile dall’esterno, così come la carica interna non risente

Energia potenziale elettrica

La forza elettrostatica è conservativa, possiamo allora definire per essa un’energia potenziale elettrica DU tale che:

Dove L è il lavoro compiuto dal campo elettrico nel passare da i a f, mentre L_app= -L è il lavoro compiuto da una forza esterna per passare dalla configurazione iniziale a quella finale

La configurazione di riferimento per un sistema di particelle cariche è quella in cui esse siano infinitamente distanti, a tale configurazione assegniamo una energia potenziale nulla.

Se indichiamo con L_∞ il lavoro compiuto dal campo elettrico portando una carica dall’infinito alla configurazione finale, l’energia U_f = U sarà pari a:

In perfetta analogia con la gravitazione, il lavoro compiuto non dipende dal percorso effettuato ma solo dalla scelta delle configurazioni iniziale e finale.

L L

U U

U 





  D



 L U



Il potenziale elettrico

L’energia potenziale di una carica dipende dal valore della carica stessa, invece l’energia potenziale per unità di carica ne è indipendente. Essa viene chiamata potenziale elettrico ed è dunque data da:

e

– Il potenziale V(x,y,z) è un campo scalare, la sua unità di misura SI è il [J]/[C] che è più spesso indicato come volt (V):

– Il campo elettrico E può dunque essere anche misurato in V/m:

Il luogo dei punti nello spazio aventi il medesimo potenziale è chiamato superficie equipotenziale:

– Le linee di forza sono sempre ortogonali alle superfici equipotenziali

– Un percorso i cui punti iniziale e finale

giacciano su una superficie equipotenziale compie lavoro nullo.

q V  U

q L q

U q

U q

V U V

V

D  









 D

     

1 1  1

       

   

 

C m J C

E  N  / 

Calcolo del potenziale elettrico

Ricaviamo un espressione per il calcolo del potenziale elettrico

– dalla definizione stessa di lavoro e di campo elettrico:

– integrando lungo la traiettoria scelta:

– e dalla definizione di potenziale:

Il risultato è l’integrale di linea della grandezza

E∙ds

s d E q s d F

dL    







 ₀





f

i

s d E q

L  

0









 D

f

i i

f V E ds

V

V  

 ^





f

s d E

V  

Potenziale di carica puntiforme

Utilizziamo l’espressione appena ricavata per calcolare il potenziale elettrico nello spazio intorno ad una carica puntiforme, rispetto al potenziale nullo.

Dato che la traiettoria scelta non influenza il risultato, scegliamo quella più semplice, lungo la direzione radiale.

Per la traiettoria scelta vale che:

dunque ds diventa dr e i limiti di integrazione sono r_i = R ed r_f = ∞. Dunque:

Quindi, in forma più generale:

E, per un insieme di n cariche puntiformi:

ds E ds

E s d

E^ ^  cos  (  0) 

R dr q

r q

r dr Edr q

V V

V

R

R R

i f

0 2

0

2 0

4 1 1

4

4 0 1











































r r q

V

4

) 1

( ^ 







 ⁿ

i i

i n

i

i r

V q r

V

0 1

1 4

) 1

(



Calcolo del campo elettrico dato il potenziale

Percorrere il cammino inverso, ovvero determinare il campo elettrico E noto il potenziale V(x,y,z) nello spazio, richiede una derivazione.

Vale sempre che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per P(x₀,y₀,z₀).

Dalle definizioni stesse di lavoro e potenziale:

E_s è proprio la componente di E lungo la direzione di ds.

Dunque, in generale la componente di E in qualsiasi direzione è la derivata del potenziale elettrico, cambiata di segno, lungo quella direzione.

Rispetto agli assi x, y e z:

ds E dV

E

ds E

q dV q dU

L

s  















 cos

0 cos

0

V z E

z y x E V

y z y x E V

x z y x

E_x V _{y z}   





 



 



  

) , , (

; ) , , (

; ) , , (

Appendice: analogia con la forza gravitazionale

Elettrostatica Gravitazione

Grandezza Espressione Unità Grandezza Espressione Unità

Forza Forza

Costante Costante

… … … … … …

2 2 1

r q k q

F  ¹₂ ²

r m G m F 

109

99 . 8 



k 2 ^{G 6.671011}

2

C m N

2 2

kg m N

a m F  

 E

q F  



s2

m

N  kg ₂

s m N  kg