Corso di Laurea in Fisica Indirizzo Tecnologie per l’Innovazione Parziale di CALCOLO

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Università degli Studi di Camerino

Corso di Laurea in Fisica Indirizzo Tecnologie per l’Innovazione Parziale di CALCOLO

7 aprile 2009

1) Calcolare i seguenti limiti:

a) [punti 3]

3

→0 −

x

lim x

tgx senx b) [punti 3]

( )

0

1

→ +

−

x

x

ln e lim ln x

Soluzione

a)

( )

3 3 3 3

0 0 0 0 1

→ = → = → = → =

− − − −

x x x x

x x x cos x x cos x

lim lim lim lim

tgx senx senx senx senx cos x senx c os x

cos x senx

( )

0 0

3 2

1 2

1 1

1 1

2

→ →

=^x − =^x ⋅ − = ⋅ =

cos x cos x

lim lim

senx c os x senx c os x

x x

x

b)

( ) _{( )}

0 0 0 0 0

1 1 1 1

1 1

+ + + + +

→ → → → →

− = − = = + = + =

−

x

x x x x x

x x

x x x x x

e

ln e e xe e xe

lim lim lim lim lim x

ln x e e

x

. Si applica la regola di de

L’Hospital.

2) Si tracci il grafico della funzione

( )

^{= x3−1}

f x x .

Soluzione

Il dominio della funzione è dato dalla soluzione della disequazione:

3 1

− ≥0 x

x che è soddisfatta per

<0

x e x≥1. La funzione si annulla per x=0 e altrove è sempre positiva.

Prima di calcolare il comportamento della funzione agli estremi dell’intervallo, osserviamo che la stessa può essere scritta nella forma ^{f x}

( )

^{= x 1−1}

x ^{. Si ha} _x^{lim f x}_→±∞

( )

^{= +∞} e quindi andiamo alla ricerca di asintoti obliqui.

( )

^{1 1} ₁

→−∞ →−∞

= = − = −

x x

f x x x

m lim lim

x x , ⁼ _→−∞^

( )

^{− }⁼ _→−∞^{ 3−1+ }

 

 

x x

q lim f x mx lim x x

x , razionalizzando il numeratore si ha:

2

3 3

3

2

3 3 3

1 1

1 1

0

1 1 1

→−∞ →−∞ →−∞

 − + ⋅  − −  −

   

− −

   

   

= = = =

 − −   − −   − − 

     

     

     

x x x

x x

x

x x

x x x

x x

q lim lim lim

x x x

x x x

x x x

la retta y= −x è un asintoto obliquo per x→ −∞. Con calcoli analoghi si ottiene:

( )

₁

= →+∞ =

x

m lim f x

x e q⁼_xlim_→+∞^f x

( )

⁻mx^⁼⁰ quindi la retta y=x è un asintoto obliquo per

→ +∞

x . Inoltre, essendo

( )

0⁻

→ = +∞

x

lim f x l’asse delle y è un asintoto verticale.

La derivata prima è

( )

³ 2 3

2 1

2 1

= +

−

x x

f ' x

x x ^.

La prima cosa che si osserva e che nel punto

=1

x la derivata non è definita. Nello studio del segno si tenga conto che la quantità

2 3

1

2 −1

x

x x è sempre positiva nel dominio

della funzione e che quindi il segno è dato dal termine 2x³+1. Si ha quindi che la derivata prima è negativa per

3

1

< − 2

x , mentre è positiva per

3

1 0

− 2 < <x e x>1 e si annulla per

3

1

= − 2

x .

Quindi

3

1

= − 2

x è un punto di minimo. Infine si noti che

3

2 3

1

2 1

2 1

→+

 + = +∞

 

 − 

x

x x

lim x x e quindi la

curva ha una tangente verticale di equazione x=1.

La funzione ha dei flessi se si annulla la derivata seconda

( ) ( )

( )

3

3 3 3

3 4 1

4 1 1

= −

− −

x x

f " x

x x x

. L’unico

punto in cui la derivata seconda è nulla è

3

1

= 4

x che essendo un valore compreso tra 0 e 1 non appartiene al dominio. Si vede inoltre che ^{f " x}

( )

^>0 e quindi la concavità è rivolta verso l’alto, per

<0

x e che ^{f " x}

( )

^<0 e quindi la concavità è rivolta verso il basso, per x>1. 3) Calcolare i seguenti integrali:

a) [punti 3]

3

2

2 1

1

− −

∫

^x_x − +_x^{x dx} b) [punti 3]

∫

^{arctg xdx}

Soluzione

3a) Essendo

3

2 2

2 1 2 2

1 1 1

− − = + − +

− + − +

x x x

x x x x x si ha:

3

( )

3

2

2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 3

1 2

1 1 1 1

−− +− = + − − ++ = + − − +− + − + =

∫

^x_{x x}^{x dx}

∫

^{x dx}

∫

_x ^x_x ^{dx x x}

∫

_x ^x_x ^dx

∫

_{x x} ^dx

( )

2 2

2

1 1

1 3

2 1 3

2 4

= + − − + − =

 −  +

 

 

∫

x x ln x x dx

x

( )

2 2

2

1 1

1 4

2 2 1

2 1 3

= + − − + − =

  

− +

 

  

 

∫

x x ln x x dx

x

( ) ^{( )}

2 2

1 3

1 2 3 2 1

2 3

 

= + − − + −  − +

 

x x ln x x arctg x C

3b) Per sostituzione, si pone x=t da cui x=t² e dx= ⋅2t dt , quindi:

=2 ⋅

∫

^{arctg xdx}

∫

t arctgtdt . Integrando per parti, dopo aver posto ^{f t}

( )

^{=arctgt e g' t}

( )

^{=t. Si}

ha:

2 2

2

1 1

2 2 1

= −

∫

^{tarctgtdt t arctgt}

∫

+^x_x ^dx

Quest’ultimo integrale si calcola per decomposizione, infatti:

2

2 2

1 1

1= − 1

+ +

x

x x e quindi:

2

1 1 1

 −  = − +

 + 

 

∫

_t ^{dt t arctgt C. Allora}

(

¹

)

= − + + = + − +

∫

^{arctg xdx xarctg x x arctg x C x arctg x x C}

4) Dimostrare, in base ai criteri, che

0

+∞ −

∫

^e _x^xdx

converge e calcolarne il valore.

Soluzione

La funzione ^{f x}

( )

^{=e− x}

x , per x→ +∞ è infinitesima di ordine superiore a qualunque numero n

naturale, infatti:

( )

3

1 2

2 1

1

2 1

2 0

1 1

2

− −

− −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

 − 

  −

 

= = = =

x n

n n

x x

x x x x x

n

e n x

n x

x x

lim lim lim lim

e e e

x x

. Inoltre per x→0

da destra la funzione è infinita di ordine 1/2, infatti

( )

0 0

1 2

1 1

+ +

−

−

→ = → =

x

x

x x

/

e

lim x lim e

x

. L’integrale converge in entrambi i casi.

Si ha quindi:

4

0 0⁺

+∞ − −

→+∞

ε ε→

∫

^x =k

∫

^{k x}

e e

dx lim dx

x x ^{. Ponendo t= x si ha:}

= 2

x t e dx=2tdt.

Calcoliamo l’integrale indefinito

− −

∫

^e _x^{x dx}=

∫

^e_t^{t 2 tdt=2}

∫

^{e dt−t = −2e −t}

e quindi

0 0 0 0

2 2 2

+ + +

+∞ − −

− − − ε

→+∞ →+∞ ε →+∞

ε

ε→ ε→ ε→

   

= = −  = − + =

∫

^x k

∫

^{k x} k ^{x k} k ^k

e e

dx lim dx lim e lim e e

x x