Molla con attrito viscoso

Molla con attrito viscoso

Marco Incagli - INFN Pisa November 9, 2016

Abstract

Appunti scritti per il corso di Fisica 1 presso la facolt`a di Fisica a Pisa nell’anno accademico 2015/2016. Ringrazio tutti gli studenti che, con i loro commenti e la loro attenzione ai dettagli, hanno migliorato (e continueranno a migliorare) la qualit`a di questi appunti.

1 Molla con attrito viscoso

Sia dato un corpo di massa m attaccato ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla a sua volta immersa in un liq- uido caratterizzato da una forza di attrito viscoso laminare F = −βv.

Vogliamo descrivere il moto nell’ipotesi che avvenga lungo un asse.

L’equazione del moto `e:

m¨x = −β ˙x − kx (1)

che riscriviamo come segue:

d²

dt²x(t) + 2ηd

dtx(t) + ω²₀x(t) = 0 (2) con

η = β 2m e

ω₀²= k m .

L’equazione differenziale risultante `e del secondo ordine, a coeffici- enti costanti ed omogenea. Questa si risolve trovando le soluzioni del polinomio caratteristico associato:

z²+ 2ηz + ω₀²= 0 (3)

cio`e risolvendo un problema algebrico invece che differenziale.

Le soluzioni di questa equazione sono:

z = −η ± q

η²− ω₀² (4)

Si possono avere tre diverse situazioni.

1

1.1 Sistema sovrasmorzato

Se η > ω0l’eq.4 ha due soluzioni reali distinte z1,2= −η ±

q η²− ω₀² Risulta z1,2< 0 e |z2| > |z1|.

Introduciamo i tempi di smorzamento: τ1 = −1/z1 e τ2 = −1/z2, con τ₂< τ₁. Le due funzioni che formano la base dello spazio vettoriale che comprende tutte le soluzioni della equazione differenziale (2) sono:

x1(t) = e^z1t= e^−t/τ1

x2(t) = e^z2t= e^−t/τ2 (5) La soluzione pi`u generale `e data da:

x(t) = Ax1(t) + Bx2(t) (6) Ad esempio supponiamo di lasciar andare la molla da una distanza x0 a velocit`a iniziale nulla. Allora A e B si trovano risolvendo:

 A + B = x₀

−_τ^A

1 −^B_τ

2 = 0 (7)

Da cui:







A = x₀ τ1

τ₁− τ2

B = −x₀ τ₂ τ1− τ2

(8)

La soluzione generale `e, quindi:

x(t) = x0

 τ1

τ1− τ2

e^−t/τ1− τ2

τ1− τ2

e^−t/τ2



(9) Come si vede immediatamente, questa funzione `e sempre positiva e monotona decrescente, per t > 0, tendendo rapidamente (= in maniera esponenziale) a zero. La soluzione viene detta sovrasmorzata.

1.2 Smorzamento critico

Se η = ω0, l’eq.(3) ha due soluzioni reali coincidenti: z1= −η = −ω0. In questo caso, le due funzioni di base sono:

x1(t) = e^z1t= e^−ω0t= e^−t/τ

x₂(t) = te^z1t= te^−ω0t= te^−t/τ (10) con τ = 1/ω₀.

In Appendice si trova una dimostrazione esplicita del fatto che queste sono le autofunzioni della eq.(2). Naturalmente si pu`o anche fare la prova diretta e sostituire x₁(t) e x₂(t) in (2).

La soluzione generale `e, quindi:

x(t) = Ae^−t/τ + Bte^−t/τ (11)

2

Applicando le condizioni iniziali del caso precedente:

x(t) = x₀e^−t/τ

 1 + t

τ



(12) Questa soluzione si chiama smorzamento critico ed `e una soluzione che tende a 0 in maniera pi`u lenta rispetto al caso precedente, ma comunque non consente nessuna oscillazione. Gli ammortizzatori delle auto utilizzano questo tipo di smorzamento, o comunque consentono oscillazioni smorzate rapidamente.

1.3 Oscillazioni smorzate

Se η < ω0l’equazione 3 non ammette soluzioni reali, ma due soluzioni complesse coniugate:

z1,2= −η ± iω (13)

con ω²= ω²₀− η²> 0.

Scriviamo le due funzioni di base, o autofunzioni, come esponenziali complessi:

 x1(t) = e^−ηte^iωt

x2(t) = e^−ηte^−iωt (14)

Le autofunzioni sono complesse ma la soluzione dell’equazione deve essere reale, per cui `e necessario combinare le due funzioni di base moltiplicando per due numeri dei quali uno `e il complesso coniugato dell’altro. Cio`e:

x(t) = U e^−ηte^iωt+ ¯U e^−ηte^−iωt (15) Con U = α + iβ e ¯U = α + iβ. Come abbiamo gi`a visto, le soluzioni possono anche essere espresse in termini delle funzioni trigonometriche:

x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (16) Il legame fra i parametri `e:

 A = 2 Re U

B = −2 Im U (17)

Imponendo le condizioni iniziali si verifica che risulta:

x(t) = x0

2 e^−ηt (1 − i_ω^η)e^iωt+ (1 − i^η_ω)e^iωt

= x₀e^−ηt

cos(ωt) + η

ωsin(ωt) (18)

La soluzione pu`o scriversi anche in un altro modo ancora:

x(t) = Ce^−ηtcos(ωt + φ) (19) Imponendo le condizioni iniziali, si trovano la ampiezza C e la fase φ introdotta in questa ultima espressione:

x(0) = C cos φ = x0

˙

x(0) = −ηC cos φ − ω sin φ = 0 (20)

3

Da cui:

C = x₀

pω²+ η² ω tan φ = −η

ω

(21)

Questa soluzione descrive una oscillazione di periodo T = 2π/ω, talvolta chiamata pseudoscillazione, avente una ampiezza che varia nel tempo secondo un esponenziale la cui costante di tempo `e τ = 1/η. Si tratta di una oscillazione smorzata.

A Due soluzioni coincidenti

Nel caso in cui η = ω₀ si pu`o riscrivere l’equazione differenziale (2) come segue:

d²

dt²x(t) + 2ω₀d

dtx(t) + ω²₀= 0 d²

dt²x(t) + ω0

d

dtx(t) + ω0

d

dtx(t) + ω²₀= 0 d

dt

 d

dtx(t) + ω0x(t)



+ ω0· d

dtx(t) + ω0x(t)



= 0 d

dtg(t) + ω₀g(t) = 0

(22)

avendo definito:

g(t) = d

dtx(t) + ω0x(t) (23)

La soluzione di generale della ultima equazione di (22) `e:

g(t) = Ae^−ω0t (24)

con A costante da determinare applicando le condizioni iniziali.

Sostituendo in (23):

d

dtx(t) + ω0x(t) = Ae^−ω0t (25) Questa equazione differenziale si pu`o risolvere trovando la soluzione generica dell’equazione omogenea associata ed una equazione parti- colare dell’equazione differenziale completa. Tuttavia possiamo usare un “trucco” per semplificare l’espressione e risolvere immediatamente.

Moltiplico per il termine esponenziale cambiato di segno e noto che:

e^ω0td

dtx(t) + e^ω0tω₀x(t) = d

dte^ω0tx(t) = A (26) La soluzione di questa equazione `e:

e^ω0tx(t) = At + B (27)

dove B `e una seconda costante da determinare con le condizioni iniziali.

Si ricava, quindi, la soluzione generale di (22):

x(t) = e^−ω0t(At + B) (28)

Cio`e x(t) `e, effettivamente, la combinazione lineare delle due auto- funzioni in eq.(10).

4