Molla con attrito viscoso
Marco Incagli - INFN Pisa November 13, 2016
Abstract
Appunti scritti per il corso di Fisica 1 presso la facolt`a di Fisica a Pisa nell’anno acca- demico 2015/2016. Ringrazio tutti gli studenti che, con i loro commenti e la loro attenzione ai dettagli, hanno migliorato (e continueranno a migliorare) la qualit`a di questi appunti.
1 Molla con attrito viscoso
Sia dato un corpo di massa m attaccato ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla a sua volta immersa in un liquido caratterizzato da una forza di attrito viscoso laminare F = −βv. Vogliamo descrivere il moto nell’ipotesi che avvenga lungo un asse.
L’equazione del moto `e:
m¨x = −β ˙x − kx (1)
che riscriviamo come segue:
d2
dt2x(t) + 2ηd
dtx(t) + ω20x(t) = 0 (2)
con
η = β 2m e
ω02= k m .
L’equazione differenziale risultante `e del secondo ordine, a coefficienti costanti ed omoge- nea. Questa si risolve trovando le soluzioni del polinomio caratteristico associato:
z2+ 2ηz + ω20= 0 (3)
cio`e risolvendo un problema algebrico invece che differenziale.
Le soluzioni di questa equazione sono:
z = −η ± q
η2− ω02 (4)
Si possono avere tre diverse situazioni.
1.1 Sistema sovrasmorzato
Se η > ω0 l’eq.4 ha due soluzioni reali distinte z1,2= −η ±
q η2− ω20 Risulta z1,2 < 0 e |z2| > |z1|.
Introduciamo i tempi di smorzamento: τ1 = −1/z1 e τ2 = −1/z2, con τ2 < τ1. Le due funzioni che formano la base dello spazio vettoriale che comprende tutte le soluzioni della equazione differenziale (2) sono:
x1(t) = ez1t= e−t/τ1
x2(t) = ez2t= e−t/τ2 (5)
La soluzione pi`u generale `e data da:
x(t) = Ax1(t) + Bx2(t) (6)
Ad esempio supponiamo di lasciar andare la molla da una distanza x0 a velocit`a iniziale nulla. Allora A e B si trovano risolvendo:
A + B = x0
−τA
1 −τB
2 = 0 (7)
Da cui:
A = x0 τ1
τ1− τ2
B = −x0 τ2
τ1− τ2
(8)
La soluzione generale `e, quindi:
x(t) = x0
τ1 τ1− τ2
e−t/τ1− τ2 τ1− τ2
e−t/τ2
(9) Come si vede immediatamente, questa funzione `e sempre positiva e monotona decrescente, per t > 0, tendendo rapidamente (= in maniera esponenziale) a zero. La soluzione viene detta sovrasmorzata.
Questa soluzione, insieme alla successiva, `e mostrata in figura 1.
1.2 Smorzamento critico
Se η = ω0, l’eq.(3) ha due soluzioni reali coincidenti: z1= −η = −ω0. In questo caso, le due funzioni di base sono:
x1(t) = ez1t= e−ω0t= e−t/τ
x2(t) = tez1t= te−ω0t= te−t/τ (10) con τ = 1/ω0.
In Appendice si trova una dimostrazione esplicita del fatto che queste sono le autofunzioni della eq.(2). Naturalmente si pu`o anche fare la prova diretta e sostituire x1(t) e x2(t) in (2).
La soluzione generale `e, quindi:
x(t) = Ae−t/τ + Bte−t/τ (11)
Applicando le condizioni iniziali del caso precedente:
x(t) = x0e−t/τ
1 + t
τ
(12) Questa soluzione si chiama smorzamento critico ed `e una soluzione che tende a 0 in maniera pi`u lenta rispetto al caso precedente, ma comunque non consente nessuna oscil- lazione. Gli ammortizzatori delle auto utilizzano questo tipo di smorzamento, o comunque consentono oscillazioni smorzate rapidamente.
Questa soluzione, insieme alla precedente, `e mostrata in figura 1.
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(t)/x0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Figure 1: Esempio di molla sovrasmorzata, in rosso, con τ
1= 2 sec e τ
2= 1 sec, e di smorzamento critico, in blu, con τ = 2 sec. Le condizioni iniziali sono quelle indicate nel testo. Anche se queste figure sono solamente rappresentative, la prima soluzione normalmente tende a 0 pi` u rapidamente della seconda.
1.3 Oscillazioni smorzate
Se η < ω0 l’equazione 3 non ammette soluzioni reali, ma due soluzioni complesse coniugate:
z1,2 = −η ± iω (13)
con ω2= ω02− η2> 0.
Scriviamo le due funzioni di base, o autofunzioni, come esponenziali complessi:
x1(t) = e−ηteiωt
x2(t) = e−ηte−iωt (14)
Le autofunzioni sono complesse ma la soluzione dell’equazione deve essere reale, per cui
`
e necessario combinare le due funzioni di base moltiplicando per due numeri dei quali uno `e il complesso coniugato dell’altro. Cio`e:
x(t) = U e−ηteiωt+ ¯U e−ηte−iωt (15) Con U = α + iβ e ¯U = α − iβ. Come abbiamo gi`a visto, le soluzioni possono anche essere espresse in termini delle funzioni trigonometriche:
x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (16)
Il legame fra i parametri `e:
A = 2 Re U
B = −2 Im U (17)
Imponendo le condizioni iniziali si verifica che risulta:
x(t) = x0
2 e−ηt (1 − iηω)eiωt+ (1 − iωη)eiωt
= x0e−ηt
cos(ωt) + η
ωsin(ωt) (18)
La soluzione pu`o scriversi anche in un altro modo ancora:
x(t) = Ce−ηtcos(ωt + φ) (19)
Imponendo le condizioni iniziali, si trovano la ampiezza C e la fase φ introdotta in questa ultima espressione:
x(0) = C cos φ = x0
˙
x(0) = −ηC cos φ − ωC sin φ = 0 (20)
Da cui:
C = x0
pω2+ η2 ω tan φ = −η
ω
(21)
Questa soluzione descrive una oscillazione di periodo T = 2π/ω, talvolta chiamata pseu- doscillazione, avente una ampiezza che varia nel tempo secondo un esponenziale la cui costante di tempo `e τ = 1/η. Si tratta di una oscillazione smorzata.
Un esempio di possibile andamento per questa funzione `e mostrato in figura 2.
t (sec)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x(t)/x0
−1
−0.5 0 0.5 1
Figure 2: Esempio di oscillazione smorzata. L’ampiezza di oscillazione ` e delimitata dalle due funzioni esponenziali tracciate in figura.
A Due soluzioni coincidenti
Nel caso in cui η = ω0 si pu`o riscrivere l’equazione differenziale (2) come segue:
d2
dt2x(t) + 2ω0
d
dtx(t) + ω02= 0 d2
dt2x(t) + ω0 d
dtx(t) + ω0d
dtx(t) + ω20= 0 d
dt
d
dtx(t) + ω0x(t)
+ ω0· d
dtx(t) + ω0x(t)
= 0 d
dtg(t) + ω0g(t) = 0
(22)
avendo definito:
g(t) = d
dtx(t) + ω0x(t) (23)
La soluzione di generale della ultima equazione di (22) `e:
g(t) = Ae−ω0t (24)
con A costante da determinare applicando le condizioni iniziali.
Sostituendo in (23):
d
dtx(t) + ω0x(t) = Ae−ω0t (25)
Questa equazione differenziale si pu`o risolvere trovando la soluzione generale dell’equazione omogenea associata ed una equazione particolare dell’equazione differenziale completa. Tut- tavia possiamo usare un “trucco” per semplificare l’espressione e risolvere immediatamente.
Moltiplico entrambe i membri per il termine esponenziale cambiato di segno:
eω0td
dtx(t) + eω0tω0x(t) = d
dteω0tx(t) = A (26) La soluzione di questa equazione `e:
eω0tx(t) = At + B (27)
dove B `e una seconda costante da determinare con le condizioni iniziali.
Si ricava, quindi, la soluzione generale di (22):
x(t) = e−ω0t(At + B) (28)
Cio`e x(t) `e, effettivamente, la combinazione lineare delle due autofunzioni in eq.(10).
