Molla su piano con attrito
Un corpo di massa m `e attaccato ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l0. Il corpo, che si muove solamente lungo la direzione della molla, `e appoggiato su un piano scabro caratterizzato da coefficienti di attrito µs e µd, con condizioni iniziali x(0) = x0 e ˙x(0) = 0.
Si determini la lunghezza totale percorsa dal corpo prima di fermarsi.
Soluzione
Prendiamo un asse x orientato come la molla e scegliamo l’origine in corrispondenza della posizione di riposo della molla.
La legge di Newton, proiettata su questo asse, si scrive:
m¨x = −kx + Fa
essendo Fala forza di attrito.
Notiamo subito che, affinch`e il moto abbia inizio, deve essere verificata la condizione
x0> µs
mg k = µs
g
ω2 (1)
con ω2= k/m.
Data questa condizione, la prima oscillazione verso x negative segue la legge:
m¨x = −kx + µdmg → x + ω¨ 2x = µdg che ha per soluzione:
x(t) = A cos ωt + B sin ωt + µd g ω2
La condizione iniziale ˙x(0) = 0 fissa B = 0, mentre A `e determinato da x(0) = x0:
x(t) = (x0− ¯x) cos ωt + ¯x
˙
x(t) = −ω(x0− ¯x) sin ωt (2)
dove `e stata introdotta la quantit`a ¯x = µdg/ω2.
Questa relazione pu`o essere rappresentata graficamente scrivendo:
(x − ¯x)2
(x0− ¯x)2 + x˙2
ω2(x0− ¯x)2 = 1 (3)
1
Questa `e l’equazione, nel piano (x, ˙x), di una ellisse avente centro in xC = +¯x e semiasse orizzontale a = x0− ¯x. Si noti che la condizione (1) garantisce che sia a > 0, essendo µs≥ µd.
Il corpo effettua una semi-oscillazione raggiungendo la posizione xm =
−x1= xC− a = 2¯x − x0. Quindi:
x1 = x0− 2¯x (4)
Affinch´e il moto possa continuare la semi-oscillazione svolta deve con- cludersi al di l´a dell’origine. Cio`e:
x1 > 0 → x0 > 2¯x (5)
Successivamente devo verificare di nuovo la condizione (1) in questa nuova posizione:
x1 > µs g
ω2 → x0> (µs+ 2µd) g
ω2 = (µs µd
+ 2)¯x (6)
Data questa condizione, la seconda semi-oscillazione pu`o iniziare. La legge oraria sar`a la stessa della eq.2 sostituendo x1al posto di x0e cambiando il segno della forza di attrito, e quindi del termine costante:
x(t) = (x1− ¯x) cos ωt − ¯x
˙
x(t) = −ω(x1− ¯x) sin ωt (7)
Infatti, per wt = π, si trova:
x(ωt = π) = −x1
˙
x(ωt = π) = 0 (8)
Il sistema in (7) pu`o essere rappresentato da un’ellisse con centro in xC = −¯x e semiasse a = x1 − ¯x = x0− 3¯x. Di nuovo, la condizione (6) assicura che sia a > 0.
In definitiva, per la n−esima oscillazione il diagramma nello spazio delle fasi pu`o essere rappresentato da una ellisse di centro in ±¯x, con il segno +(−) per oscillazioni verso x negativi (positivi), e di semiasse an= xn−1− ¯x, con xn = x0 − 2n¯x. La distanza percorsa ad ogni semioscillazione sar`a pari all’asse orizzontale:
dn= 2an= 2(x0− (2n − 1)¯x)
Per trovare l’oscillazione N alla quale il moto si interrompe, supponiamo che sia avvenuta la semi-oscillazione N −1, quindi sia verificata la condizione x0 > 2(N −1)¯x equivalente alla eq.5, e che il sistema sia pronto alla successiva oscillazione.
Si possono avere 2 casi per cui il moto si interrompe:
2
• non `e verificata la condizione 1 sull’attrito statico, cio`e:
kxN −1< µsmg = µs µd
k ¯x
Riscriviamo questa condizione sostituendo xN −1= x0− 2(N − 1)¯x:
x0 < 2(N − 1 + µs
2µd)¯x (9)
In questo caso il moto si interrompe all’oscillazione N −1 e la lunghezza totale percorsa `e:
d =
N −1
X
n=1
dn= 2(N − 1)(x0− (N − 1)¯x) (10)
• nel secondo caso, la condizione (9) `e verificata, cio`e x0 > 2(N − 1 + µs
2µd)¯x
ma alla fine della N − esima oscillazione non si verifica la condizione (5):
x0 < 2N ¯x (11)
cio`e il corpo, a causa dell’attrito, termina la semi-oscillazione prima di aver “oltrepassato” l’origine. In questo caso la distanza percorsa `e:
d =
N
X
n=1
dn= 2N (x0− N ¯x) (12)
Possiamo capire in quale dei due casi ci troviamo scrivendo la posizione iniziale come:
x0 = 2(N − 1 + δ)¯x con la condizione aggiuntiva
0 < δ < 1 In questo modo la condizione 11 `e verificata.
Confrontando la definizione di x0 con l’espressione (9) si vede che se δ < µs
2µd
il moto si interrompe alla oscillazione N − 1 e la distanza percorsa `e data da d = 2(N − 1)(N − 1 + 2δ)¯x
3
altrimenti viene effettuata anche l’oscillazione N con il corpo che, per`o, non riesce ad oltrepassare l’origine. In questo caso la distanza percorsa `e data da
d = 2N (N − 2(1 − δ))¯x Si ricordi che in questo secondo caso
δ > µs
2µd > 1 2 per cui non risulta mai d < 0.
4
