Matematica Generale Gianluca Ferrari Analisi Matematica I
Compiti per il 23 novembre 2019
Funzioni esponenziali e logaritmiche Disegna i grafici delle seguenti funzioni:
a. 𝑓(𝑥) = 3' b. 𝑓(𝑥) = 3('
c. 𝑓(𝑥) = log,𝑥 d. 𝑓(𝑥) = log-
.𝑥 Dominio
Calcola il dominio delle seguenti funzioni, esprimendolo nella notazione ad intervalli.
Matematica Generale Gianluca Ferrari Analisi Matematica I (Tema d’Esame del 25 ottobre 2019)
Matematica Generale Gianluca Ferrari Analisi Matematica I Alcune note tecniche:
- Quando ci sono esponenziali sotto radice tipo √𝑒 (come nell’esercizio 222), puoi vederli come 𝑒-1.
Più in generale, se ci sono delle radici e delle potenze puoi fare questa cosa:
√𝑒'
3 = 𝑒4'
- Quando non sai come procedere nelle frazioni che presentano sia logaritmi che esponenziali, studia SEPARATAMENTE il segno del numeratore (o dei vari fattori) e quello del denominatore, per poi fare la tabella dei segni riassuntiva.
Esempio:
𝑓(𝑥) = 5ln(𝑥 + 1) 𝑒' − √𝑒:
Per prima cosa devo mettere l’argomento della radice ≥ 0.
ln(𝑥 + 1) 𝑒'− √𝑒, ≥ 0
In secondo luogo, lo metto a sistema con l’argomento del logaritmo 𝑥 + 1 > 0.
>
ln(𝑥 + 1) 𝑒'− √𝑒, ≥ 0
𝑥 + 1 > 0
Adesso studio il segno, facendo numeratore ≥ 0 e denominatore > 0.
• 𝑁 ≥ 0 ⟹ ln(𝑥 + 1) ≥ 0 ⟹
Aln(𝑥 + 1) ≥ ln 1 → 𝑥 + 1 ≥ 1 → 𝑥 ≥ 0
𝑥 + 1 > 0 → 𝑥 > −1 ⟹ 𝑥 ≥ 0 .
• 𝐷 > 0 ⟹ 𝑒' − √𝑒, > 0 ⟹ 𝑒' > 𝑒.1 ⟹ 𝑥 > ,
:
Facendo la tabella dei segni, ottengo 𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑥 > ,
:. A questo punto, risolvo il sistema
>
ln(𝑥 + 1) 𝑒'− √𝑒, ≥ 0
𝑥 + 1 > 0
⟹ G𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑥 >
3 𝑥 > −1 2
⟹ −1 < 𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑥 > 3 2 .
Matematica Generale Gianluca Ferrari Analisi Matematica I Esempio:
𝑓(𝑥) = 5 (𝑥 + 1)𝑒' log:(𝑥:− 4)
Metto a sistema l’argomento della radice ≥ 0 con il dominio del logaritmo.
>
(𝑥 + 1)𝑒'
log:(𝑥:− 4) ≥ 0 𝑥: − 4 > 0
.
Per risolvere la fratta, devo scomporla in fattori.
𝐹L ≥ 0 ⟹ 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ −1 𝐹: ≥ 0 ⟹ 𝑒' ≥ 0 ⟹ ∀𝑥
Il secondo fattore mi da qualunque 𝑥 perché l’esponenziale è sempre positivo e non si annulla mai.
𝐷 > 0 ⟹ log:(𝑥:− 4) > 0 ⟹ N𝑥:− 4 > 1 → 𝑥:− 5 > 0 𝑥:− 4 > 0
⟹ N𝑥 < −√5 ∨ 𝑥 > √5
𝑥 < −2 ∨ 𝑥 > 2 ⟹ 𝑥 < −√5 ∨ 𝑥 > √5 Adesso faccio la tabella dei segni e ottengo
−√5 < 𝑥 ≤ −1 ∨ 𝑥 > √5 . Infine risolvo il sistema:
>
(𝑥 + 1)𝑒'
log:(𝑥:− 4) ≥ 0 𝑥: − 4 > 0
⟹ N−√5 < 𝑥 ≤ −1 ∨ 𝑥 > √5 𝑥 < −2 ∨ 𝑥 > 2 ⟹
−√5 < 𝑥 < −2 ∨ 𝑥 > √5
- La volta prossima discuteremo più in dettaglio alcune proprietà degli esponenziali e dei logaritmi, come ad esempio
𝑒' ⋅ 𝑒: = 𝑒'Q:
log 𝑥 + log(𝑥 + 1) = log 𝑥(𝑥 + 1) log 𝑥 − log(𝑥 + 2) = log 𝑥
𝑥 + 2
