Compiti per il 9 novembre 2019 Esercizio 1 Siano

Algebra Lineare Gianluca Ferrari Calcolo matriciale

Compiti per il 9 novembre 2019

Esercizio 1 Siano

𝐴 = (1 11 0) , 𝐵 = ( 2 1

−1 1) , 𝐶 = ( 0 2

−2 1) . Calcolare:

a. 2𝐴 − 𝐵;

b. 3𝐴 + 2𝐵 − 4𝐶;

c. −2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 − 2𝐵;

d. 3𝐵 + 2(2𝐴 − 𝐶) − (𝐴 + 𝐵 + 2𝐶).

Suggerimento: prima di cimentarti nel calcolo delle matrici, risolvi le espressioni.

Esempio: −2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 − 2𝐵 = −2𝐴 − 𝐵 + 2𝐶.

Esercizio 2 Siano

𝐴 = ( 1 −1 0

−1 1 1) , 𝐵 = (−2 1 −1

2 1 1

1 1 0 ) , 𝐶 = (0 1

1 1

0 −1) . Calcolare, quando possibile, il risultato delle seguenti espressioni:

i. 𝐴𝐶;

ii. 𝐵 + 𝐶𝐴;

iii. 𝐵𝐴^𝑡; iv. 3𝐴^𝑡+ 𝐵𝐶.

Esercizio 3

Calcolare i determinanti delle seguenti matrici:

𝐴 = (1 21 1) , 𝐵 = (1 1 0 1 −1 1

2 1 2

) , 𝐶 = (2 −1 1

𝑎 1 0

1 0 2) ,

𝐷 = (

1 −1 1 2

2 1 1 0

−1 1 0 −2

2 1 2 0

) .

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Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Calcolare l’inversa delle seguenti matrici invertibili.

Esercizio 7

Osservazione: il determinante di queste matrici è già stato calcolato nell’Esercizio 4.

Esercizio 8

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Soluzioni

Esercizio 1

a. 2𝐴 − 𝐵 = (0 1 3 −1)

b. 3𝐴 + 2𝐵 − 4𝐶 = (7 −39 −2) c. −2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 − 2𝐵 =

(−4 1−5 1)

d. 3𝐵 + 2(2𝐴 − 𝐶) − (𝐴 + 𝐵 + 2𝐶) = (7 −39 −2)

Esercizio 2

i. 𝐴𝐶 = (−1 0 1 −1)

ii. 𝐵 + 𝐶𝐴 = (−3 2 0

2 1 2

2 0 −1) iii. Non è possibile calcolare 𝐵𝐴^𝑡. iv. 3𝐴^𝑡 + 𝐵𝐶 = (−3 2

1 0

0 0) Esercizio 3

a. det 𝐴 = −1 b. det 𝐵 = −3 c. det 𝐶 = 3 + 2𝑎 d. det 𝐷 = 0 Esercizio 4

i. det 𝐴₁ = −5 ii. det 𝐴₂ = 3 iii. det 𝐴₃ = 1 iv. det 𝐴₄ = 10

v. det 𝐴₅ = −6

vi. det 𝐴₆ = 4 Esercizio 5

I risultati sono riportati accanto al testo dell’esercizio.

Esercizio 6

a. 𝐴⁻¹ = (

1 5

2 2 5

5 −¹₅)

b. 𝐵⁻¹ = (

7 4

7

4 −⁵₄

−³₄ ¹₄ ¹₄

−¹₂ −¹₂ ¹₂ ) Esercizio 7

i. 𝐴₁⁻¹ = (

1 5

2 2 5

5 −¹₅) ii. 𝐴₂⁻¹ = (¹³ 0

0 1) iii. 𝐴₃⁻¹ = ( 3 −1

−2 1 )

iv. 𝐴₄⁻¹ = (

1 2 0 0 ¹_{2 10}¹ 0 0 ¹₅

)

v. 𝐴₅⁻¹ = (

−¹

2 0 0

0 1 0

0 0 ¹

3

)

vi. 𝐴₆⁻¹ = (

7 4

7

4 −⁵₄

−³₄ ¹₄ ¹₄

−¹₂ −¹₂ ¹₂ )

Algebra Lineare Gianluca Ferrari Calcolo matriciale

Esercizio 8 – Svolgimento

a. Il determinante della matrice 𝐴 si calcola utilizzando la regola di Sarrus, da cui segue

det 𝐴 = 1 + 2𝑘 − 4 = 2𝑘 − 3 .

Affinché la matrice sia invertibile dev’essere det 𝐴 ≠ 0, quindi è necessario e sufficiente imporre

det 𝐴 = 2𝑘 − 3 ≠ 0 ⟹ 𝑘 ≠3 2 ; ne segue che la matrice 𝐴 è invertibile per ogni 𝑘 ≠ ³₂. b. Per 𝑘 = 1, abbiamo

𝐴 = (1 0 1 1 1 2 0 2 1) , nonché

𝑘 = 1 ⟹ det 𝐴 = 2𝑘 − 3 = 2 − 3 = −1 ≠ 0 . La matrice dei complementi algebrici di 𝐴 è data da

𝐶̃ = (−3 −1 2

2 1 −2

−1 −1 1 ) . Applicando la formula della matrice inversa, si ottiene

𝐴⁻¹ = 1

det 𝐴𝐶̃^𝑡 = − (−3 −1 2

2 1 −2

−1 −1 1 )

𝑡

= ( 3 −2 1

1 −1 1

−2 2 −1) .