2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

(1)

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA - 3 febbraio 2011.

Il numero del compito `e dato dal coefficiente di p

x ² + y ² nell’equazione del cono dell’esercizio 2.

COMPITO 1 1. ¹ ₇

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 1; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

³

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 7 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 7 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 7 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a ₀ = ⁷ _π log 2, a ₁ = ¹⁴ _π [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ⁴⁹ _π [2 − ^π ₂ ].

6. y(t) = √ 3t + 1.

7. t ³ cos y e ^y

²

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^y2⁰

^{cos y} ₄

⁰

.

COMPITO 2 1. ¹ ₆

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 2; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

³

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 6 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 6 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 6 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a ₀ = ⁶ _π log 2, a ₁ = ¹² _π [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ³⁶ _π [2 − ^π ₂ ].

6. y(t) = √ 5t + 1.

7. t ⁵ cos y e ^y

²

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale

u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto

orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^y2⁰

^{cos y} ₆

⁰

.

(2)

COMPITO 3 1. ¹ ₅

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 3; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

³

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 5 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 5 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 5 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a ₀ = ⁵ _π log 2, a ₁ = ¹⁰ _π [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ²⁵ _π [2 − ^π ₂ ].

6. y(t) = √ 7t + 1.

7. t ⁷ cos y e ^y

²

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^y2⁰

^{cos y} ₈

⁰

.

COMPITO 4 1. ¹ ₄

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 4; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

³

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 4 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 4 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 4 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a ₀ = ⁴ _π log 2, a ₁ = _π ⁸ [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ¹⁶ _π [2 − ^π ₂ ].

6. y(t) = √ 9t + 1.

7. t ⁹ cos y e ^y

²

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^y2⁰

₁₀ ^{cos y}

⁰

.

COMPITO 5

1. ¹ ₃

(3)

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 5; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

³

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 3 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 3 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 3 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a ₀ = ³ _π log 2, a ₁ = _π ⁶ [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = _π ⁹ [2 − ^π ₂ ].

6. y(t) = √

11t + 1.

7. t ¹¹ cos y e ^y

²

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^y2⁰

₁₂ ^{cos y}

⁰

.

COMPITO 6 1. ¹ ₂

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 6; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

³

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 2 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 2 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 2 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a ₀ = ² _π log 2, a ₁ = _π ⁴ [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = _π ⁴ [2 − ^π ₂ ].

6. y(t) = √

13t + 1.

7. t ¹³ cos y e ^y

²

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA - 3 febbraio 2011.

Il numero del compito `e dato dal coefficiente di p

x 2 + y 2 nell’equazione del cono dell’esercizio 2.

COMPITO 1 1. 1 7

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x 2 + y 2 = 1 nel piano z = 1; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 7 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 7 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 7 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a 0 = 7 π log 2, a 1 = 14 π [1 − √ 2 2 ], b 1 = 0. 1 2 a 2 0 + P ∞

n=1 a 2 n + b 2 n = 49 π [2 − π 2 ].

6. y(t) = √ 3t + 1.

7. t 3 cos y e y

è C 1 (R 2 ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y 0 = π 2 +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y 0 ∈ R.

8. Se − π 2 + 2kπ < y 0 < π 2 + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞; se π 2 + 2kπ < y 0 < 3 2 π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale e

cos y 4

.

COMPITO 2 1. 1 6

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x 2 + y 2 = 1 nel piano z = 2; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 6 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 6 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 6 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a 0 = 6 π log 2, a 1 = 12 π [1 − √ 2 2 ], b 1 = 0. 1 2 a 2 0 + P ∞

n=1 a 2 n + b 2 n = 36 π [2 − π 2 ].

6. y(t) = √ 5t + 1.

7. t 5 cos y e y

è C 1 (R 2 ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y 0 = π 2 +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y 0 ∈ R.

8. Se − π 2 + 2kπ < y 0 < π 2 + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale

u = π 2 + 2kπ per t → ±∞; se π 2 + 2kπ < y 0 < 3 2 π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto

orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale e

cos y 6

.

COMPITO 3 1. 1 5

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x 2 + y 2 = 1 nel piano z = 3; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 5 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 5 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 5 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a 0 = 5 π log 2, a 1 = 10 π [1 − √ 2 2 ], b 1 = 0. 1 2 a 2 0 + P ∞

n=1 a 2 n + b 2 n = 25 π [2 − π 2 ].

6. y(t) = √ 7t + 1.

7. t 7 cos y e y

è C 1 (R 2 ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y 0 = π 2 +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y 0 ∈ R.

8. Se − π 2 + 2kπ < y 0 < π 2 + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞; se π 2 + 2kπ < y 0 < 3 2 π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale e

cos y 8

.

COMPITO 4 1. 1 4

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x 2 + y 2 = 1 nel piano z = 4; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 4 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 4 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 4 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a 0 = 4 π log 2, a 1 = π 8 [1 − √ 2 2 ], b 1 = 0. 1 2 a 2 0 + P ∞

n=1 a 2 n + b 2 n = 16 π [2 − π 2 ].

6. y(t) = √ 9t + 1.

7. t 9 cos y e y

è C 1 (R 2 ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y 0 = π 2 +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y 0 ∈ R.

8. Se − π 2 + 2kπ < y 0 < π 2 + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞; se π 2 + 2kπ < y 0 < 3 2 π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale e

10 cos y

.

COMPITO 5

1. 1 3

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x 2 + y 2 = 1 nel piano z = 5; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

3. converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = √

x in tutto R. f non `e derivabile in x = 0.

4. Per 0 < α < 3 la serie converge assolutamente in R (usando, ad esempio, il criterio del rapporto asintotico). Per α = 3 la serie converge assolutamente solo in x = kπ con k ∈ Z. Per α > 3 la serie non converge (eccetto che in x = 0).

5. a 0 = 3 π log 2, a 1 = π 6 [1 − √ 2 2 ], b 1 = 0. 1 2 a 2 0 + P ∞

n=1 a 2 n + b 2 n = π 9 [2 − π 2 ].

6. y(t) = √

11t + 1.

7. t 11 cos y e y

è C 1 (R 2 ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y 0 = π 2 + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y 0 ∈ R.

8. Se − π 2 + 2kπ < y 0 < π 2 + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞; se π 2 + 2kπ < y 0 < 3 2 π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = π 2 + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale e

12 cos y

.

COMPITO 6 1. 1 2

2. applicando il teorema di Stokes, si pu`o calcolare l’integrale curvilineo R

x ² + y ² nell’equazione del cono dell’esercizio 2.

COMPITO 1 1. ¹ ₇

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 1; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

5. a ₀ = ⁷ _π log 2, a ₁ = ¹⁴ _π [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ⁴⁹ _π [2 − ^π ₂ ].

7. t ³ cos y e ^y

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^{cos y} ₄

COMPITO 2 1. ¹ ₆

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 2; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

5. a ₀ = ⁶ _π log 2, a ₁ = ¹² _π [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ³⁶ _π [2 − ^π ₂ ].

7. t ⁵ cos y e ^y

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale

u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto

orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^{cos y} ₆

COMPITO 3 1. ¹ ₅

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 3; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

5. a ₀ = ⁵ _π log 2, a ₁ = ¹⁰ _π [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ²⁵ _π [2 − ^π ₂ ].

7. t ⁷ cos y e ^y

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

^{cos y} ₈

COMPITO 4 1. ¹ ₄

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 4; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

5. a ₀ = ⁴ _π log 2, a ₁ = _π ⁸ [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = ¹⁶ _π [2 − ^π ₂ ].

7. t ⁹ cos y e ^y

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ +kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

₁₀ ^{cos y}

1. ¹ ₃

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 5; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

5. a ₀ = ³ _π log 2, a ₁ = _π ⁶ [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = _π ⁹ [2 − ^π ₂ ].

7. t ¹¹ cos y e ^y

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

₁₂ ^{cos y}

COMPITO 6 1. ¹ ₂

Γ F dΓ, dove Γ è la ~ circonferenza x ² + y ² = 1 nel piano z = 6; ~ F è conservativo, quindi l’integrale curvilineo è nullo.

5. a ₀ = ² _π log 2, a ₁ = _π ⁴ [1 − ^√ ₂ ² ], b ₁ = 0. ¹ ₂ a ² ₀ + P _∞

n=1 a ² _n + b ² _n = _π ⁴ [2 − ^π ₂ ].

7. t ¹³ cos y e ^y

è C ¹ (R ² ), ma non è sublineare, quindi esistenza ed unicità locali; per y ₀ = ^π ₂ + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ ^π ₂ + kπ soluzioni stazionarie, quindi a posteriori, esistenza globale per ogni y ₀ ∈ R.

8. Se − ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ^π ₂ + 2kπ, k ∈ Z soluzione u crescente per t > 0, asintoto orizzontale

u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞; se ^π ₂ + 2kπ < y ₀ < ³ ₂ π + 2kπ, k ∈ Z crescente per t < 0, asintoto

orizzontale u = ^π ₂ + 2kπ per t → ±∞. Il limite vale ^e

₁₄ ^{cos y}