Analisi Matematica 1 6 Febbraio 2014 COMPITO 1
1. L’insieme degli z ∈ C tali che
Re(z + 7eiπ2) + Im(z ¯z − 2)
||z| − 2| ∈ R+
`
e dato da
Risp.: A : un semipiano B : un semipiano meno una semicirconferenza C : una circonfe- renza D : tutto il piano meno una circonferenza
2. Il limite
n→+∞lim
nncos n − n2n (n + 2)2n+ n!
vale
Risp.: A : −1 B : e4 C : −e4 D : −e14
3. Sia α ∈ R. Il limite
lim
x→0+
6 ln(1 + 2(x − sin x)) − 4x3 xα
vale
Risp.: A : 0 se α < 3, −2 se α = 3, −∞ se α > 3 B : 0 se α > 3, −2 se α = 3, −∞ se α < 3 C : 0 se α < 3, 2 se α = 3, +∞ se α > 3 D : 0 per ogni α ∈ R
4. Sia α ∈ R. La funzione
f (x) =
(2 + x2)α se x ≤ 0 ln(1 + sin2(2x))
arctan (xα) se x > 0 ammette un punto di salto in x = 0 se e solo se
Risp.: A : α ≤ 2 B : α > 2 C : α < 2 D : α ≥ 2
5. Sia α ∈ R. L’integrale improprio
Z 2 0
1 − cos x xαln(1 +√
x)dx converge se e solo se
Risp.: A : α > 1 B : α > −3 C : α < 52 D : α > 52
6. La media integrale della funzione
f (x) = 1 ex− 1 sull’intervallo [ln 2, ln 3] vale
Risp.: A : ln43
ln32 B : ln4
3 C : ln43
2 D : 0
7. Sia ˜y(x) la soluzione di
y0 =
√ 2
3 (2 + y2)e2x y(0) =√
2 tan13. Allora lim
x→−∞y(x) vale˜
Risp.: A : +∞ B : −∞ C : tan13 D : 0
8. Sia data la funzione f definita da:
f (x) = r |e3 x− 3|
ex− 2 Delle seguenti affermazioni
(a) Il dominio di f `e ] ln 2, +∞[ (b) f ammette asintoto verticale (c) f ammette asintoto obliquo per x → +∞ (d) f ammette asintoti orizzontali (e) f `e positiva
le uniche corrette sono
Risp.: A : (a), (b), (c) B : (b), (d) C : (a), (b), (d) D : (b), (c), (e)
9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni
(a) f0(0) = −13 (b) x = ln 3 `e un punto di minimo relativo (c) f (] ln 2, +∞[) =]1, +∞[ (d) f `e illimitata inferiormente (e) x = ln 3 `e un punto di cuspide
le uniche corrette sono
Risp.: A : (a), (b), (e) B : (a), (c), (d) C : (b), (d), (e) D : (b), (c), (d), (e)
10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.
