Il modello a shell

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Il modello a shell

Lezione 7

Modello a shell

•  Le informazioni ottenute sul potenziale di in- terazione nucleone-nucleone vengono usate concretamente nel modello a shell:

–  si assumono i nucleoni all’interno di un potenziale efficace prodotto

dagli altri nucleoni.

–  Definizione dei livelli energetici –  Spin e momenti magnetici

–  Momento di quadrupolo elettrico

•  Approccio simile alle strutture a shell degli atomi,

•  ma con significative differenze

–  potenziale a breve range

–  non esiste il potenziale coulombiano del nucleo: i nucleoni producono e subiscono il potenziale

–  interazioni spin-spin e spin-orbita molto più rilevanti

Maria Goeppert Mayer J. Hans D. Hensen

Nobel 1963

Numeri magici

•  Uno degli obiettivi del

modello a shell è quello di spiegare la presenza di nuclei fortemente stabili (massimi dell’energia di legame)

•  in corrispondenza di numeri

specifici di neutroni o protoni.

Numeri Magici

Modello a shell atomico

•  Nel modello dell’atomo di idrogeno, l’energia dipende dalla somma n+l

–  stati degeneri con diverso momento angolare

•  La degenerazione è rimossa quando si considerano perturbazioni al puro potenziale 1/r:

–  presenza di altri elettroni che modificano il potenziale

–  interazione spin-orbita (splitting fine)

•  Energia di legame e dimensione

atomica (R decresce all’aumentare di Z) presentano transizioni brusche

quando si passa al livello successivo

E_n = e² 4πε₀!c

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 m_ec²

2(n + l)² =α^{2 mec}

2

2(n + l)²

Raggio atomico [nm] Energia ionizzazione [eV]

Z→

Modello a shell atomico

Potenziale nucleare

•  Il potenziale di base riflette la densità di materia all’interno del nucleo:

–  V₀: profondità della buca –  R: estensione del nucleo

–  a: dimensione dello strato superficiale V (r) = −V₀

1 + exp (r − R) / a[ ]

Compaionio salti a certi valori di nucleoni:

•  Numeri magici Non sono però corretti:

•  40, 58, 92, 112 non sono magici

•  mancano 28, 50, 82,126

Interazione spin-orbita

•  Un nucleone in uno stato con momento orbitale L, vede un momento magnetico:

–  si può vedere, nel sistema di quiete del nucleone, come il momento generato dal resto del nucleo che orbita attorno al nucleone.

•  Questo interagirà con lo spin del nucleone a dare un termine energetico:

•  Ogni livello si divide in due sottolivelli con momento angolare totale:

µ_L ∝µ_NL

U ∝ −L ⋅ S

Interazione tra momenti magnetici

•  Un momento magnetico, immerso in un campo magnetico acquista un’energia potenziale:

•  A sua volta genera un campo magnetico:

•  L’interazione tra due dipoli è dunque della forma:

•  Come ordine di grandezza dell’interazione:

–  per elettroni atomici:

U = −µ ⋅ B

B = µ₀ 4π

3 µ ⋅ ˆr( )^{ˆr − µ}

r³

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

U = − µ₀ 4π

3 µ( ₁⋅ ˆr)(^{µ2 ⋅ ˆr})^{− µ1⋅ µ2}

r³

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

U ≈ µ₀ 4π

µ_N²

r³ = 10⁻⁷

(

)

(1.6 ×10⁻¹⁵m)³ = 6 ×10⁻¹⁶J = 3.4keV

U ≈ µ₀ 4π

µ_B²

r³ = 10⁻⁷

(

)

(1. ×10⁻¹⁰m)³ = 0.9 ×10⁻²¹J= 6 ×10⁻³eV

Interazione spin-orbita

•  Risulta energeticamente favorevole l’allinenamento di spin e momento angolare orbitale.

•  Il valore:

•  La separazione tra i livelli:

–  aumenta all’aumentare di L

–  gli splitting dei livelli con L grande giustificano i numeri magici effettivamente osservati.

•  Interazione spin-spin

–  come abbiamo visto nell’interazione nucleone-nucleone ci deve

essere anche un termine di accoppiamento spin-spin di due nucleoni:

energia di pairing.

–  questo favorisce l’anti-allineamento dei due spin, risultando in uno L ⋅ S = 1

2⎡⎣J² − L² − S²⎤⎦ = 1

2[J(J +1) − l(l +1) − s(s +1)]

Δ L ⋅ S( ) ^{= J}l+s(J_l+s + 1)^{− J}l−s(J_l−s + 1) ^{= l +}

(

) (

)

(

) (

)

(

)

Interazione spin-orbita

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico e vengono introdotti fenomenologicamente.

•  Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono

più stabili quando c’è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z

–  descrive la valle di stabilità

–  Principio di esclusione di Pauli: due particelle con s=1/2 non possono avere gli stessi numeri quantici.

B.E. A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

+ a

Z

A

+ a

( N − Z )

A

a₁ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV a₃ = 0.7103 MeV a₄ = 23.69 MeV

07n ₁⁷H ₂⁷He ₃⁷Li ₄⁷Be ⁷

5B

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Il quinto termine tiene conto del pairing degli spin

–  è nullo per A dispari

–  è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari)

–  è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari–dispari)

B.E. A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

+ a

Z

A

+ a

( N − Z )

A ± a

A

a₁ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV a₃ = 0.7103 MeV a₄ = 23.69 MeV a₅ = 33.6 MeV

Preferito Sfavorito

2 6 10 14

1H 3Li 5B 7N Eccezione sono i nuclei leggeri

Momento di dipolo magnetico

•  Nei nuclei con A-dispari, spin e momento magnetico sono determinati dal nucleone “spaiato”

•  Ripetendo il discorso fatto per il deutone:

•  Per determinare il coefficiente giromagnetico, si può moltiplicare per J/ħ:

–  j=l+1/2

µ = gµ_NJ = g_lµ_NL + g_sµ_NS

gJ² = gl(L ⋅ J) + g_s(S ⋅ J)

g = 1

j( j +1)⎡⎣g_l(L² + L ⋅ S) + gs(S² + S ⋅ L)⎤⎦ = 1 j( j +1)

g_l l(l +1) + 1

2[ j( j +1) − l(l +1) − s(s +1)]

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ +gs s(s +1) + 1

2[ j( j +1) − l(l +1) − s(s +1)]

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

= 1

2 j( j +1) g_l j( j +1) + l(l +1) − 3 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + gs j( j +1) − l(l +1) + 3 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

g = g_l j − 1 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + 1 2g_s

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ µ = gjµ

•  Per nuclei grandi il modello a shell riduce il suo valore predittivo.

•  Eccitazioni dei nucleoni più esterni possono trasferirsi agli orbitali meno legati ed eccitare movimenti degli altri nucleoni.

•  Moti collettivi dei nucleoni.

–  Modi vibrazionali:

•  E=(n+1/2)ħω

•  ΔE=ħω

–  Modi rotazionali

•  E=L²/2I

•  ΔE=[l(l+1)-(l-1)l]ħ²/2I=lħ²/I

Eccitazioni collettive