DESTINATARI
Studenti del V anno del Liceo Scientifico con sperimentazione PNI (5 ore settimanali).
L argomento può essere presentato nel II quadrimestre ed è inserito nel blocco tematico Analisi infinitesimale e numerica .
PREREQUISITI
Per poter affrontare lo studio di tale unità è richiesta la conoscenza dei seguenti argomenti:
Calcolo algebrico
Equiscomponibilità tra poligoni Trasformazioni geometriche
Conoscere il concetto di successione e le relative proprietà Le funzioni e le loro caratteristiche
Limiti
La derivazione delle funzioni
Il concetto di lunghezza, area e volume
Gli integrali indefiniti e i metodi di integrazione OBIETTIVI GENERALI
Acquisire le conoscenze, competenze e capacità previste dall U.D.
Affinare le capacità logiche
Educare ai procedimenti di astrazione e di formalizzazione dei concetti Educare a ragionare induttivamente e deduttivamente
Sviluppare le attitudini sia logiche che sintetiche
Abituare alla precisione del linguaggio e alla coerenza argomentativa
Conoscere e comprendere la nozione di integrale definito acquisendo terminologia e simbologia specifica
Conoscere e comprendere il teorema fondamentale del calcolo integrale Acquisire abilità di calcolo nelle operazioni sugli integrali
Conoscere e sapere applicare tecniche per il calcolo degli integrali Capire il software che si sta utilizzando
Imparare a congetturare Imparare a verificare OBIETTIVI TRASVERSALI
Sviluppare attitudine alla comunicazione e ai rapporti interpersonali favorendo lo scambio di opinioni tra docente e allievo e tra gli allievi.
Proseguire ed ampliare il processo di preparazione scientifica e culturale degli studenti Contribuire a sviluppare lo spirito critico e l attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.
Contribuire a sviluppare capacità logiche ed argomentative Acquisire abilità di studio.
Comunicare in modo efficace OBIETTIVI SPECIFICI
CONOSCENZE
Conoscere il problema che storicamente portò per primo al calcolo degli integrali definiti:
determinazione dell area di superfici curvilinee
Conoscere un metodo generale per determinare l area di una superfice piana qualunque.
Area del trapezoide.
Conoscere il concetto di integrale definito Conoscere le proprietà dell integrale definito Conoscere il teorema della media
Conoscere il concetto di funzione primitiva Conoscere il concetto di funzione integrale
Conoscere il teorema fondamentale del calcolo integrale
Conoscere la formula fondamentale del calcolo integrale: formula di Newton - Leibniz.
COMPETENZE
Saper calcolare l area del trapezoide, indicando chiaramente il metodo seguito Saper definire l integrale definito
Saper enunciare le proprietà dell integrale definito Saper enunciare e dimostrare il teorema della media Saper definire il concetto di funzione primitiva Saper definire il concetto di funzione integrale
Saper enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale
Saper enunciare e dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale: formula di Newton - Leibniz.
CAPACITÀ
Saper determinare la lunghezza l dell arco AB di una curva piana di equazione y f x Saper calcolare l area di una superfice di rotazione
Saper applicare il concetto di integrale definito in altre discipline
Saper estendere la definizione di integrale definito al caso in cui la funzione non sia continua in qualche punto dell intervallo d integrazione (o in un estremo, o in un punto interno) e al caso in cui uno degli estremi, o entrambi siano infiniti
Saper applicare il calcolo integrale per la risoluzione di problemi riguardanti la fisica CONTENUTI
Determinazione dell area di un trapezoide L integrale definito e le sue proprietà
La funzione integrale e il teorema di Torricelli - Barrow La formula per il calcolo dell integrale definito
Il calcolo delle aree
Il calcolo del volume di un solido di rotazione
Il calcolo della lunghezza dell arco di una linea piana Il calcolo dell area di una superficie di rotazione Integrali generalizzati
STRUMENTI UTILIZZATI
Libro di testo Schede studio Lavagna
Software didattico (Derive, Excel) TEMPI
Per la trattazione di tale unità sono previste 22-27 ore.
METODOLOGIA
Lo svolgimento dell attività didattica avverrà attraverso lezioni dialogate e interattive, dove alle spiegazioni saranno alternate riflessioni collettive, osservazioni, domande flash poste ai singoli alunni. Questo modo di procedere se da un lato contribuisce a mantenere viva l attenzione degli studenti, dall altro consente di intervenire in modo mirato ed individuale qualora fosse necessario.
Per mantenere elevato il livello di attenzione ed interesse della classe verranno proposte attività coinvolgenti e motivanti e in quest ottica è interessante sviluppare un approccio storico al calcolo integrale. Attraverso la storia della matematica si potrebbero creare situazioni problematiche, in cui incentivare gli studenti a scoprire procedimenti risolutivi stimolando così lo spirito della ricerca e della scoperta.
Infine, mediante l utilizzo di software come Cabri, Derive ed Excel si cercherà di stimolare la creatività degli studenti, facendo presente che il laboratorio sarà utilizzato come parte integrante dell attività didattica, dal processo intuitivo a quello della formalizzazione.
VERIFICA E VALUTAZIONE
La fase di verifica e valutazione è parte integrante del processo educativo e permette di monitorare sia il raggiungimento degli obiettivi prefissati, sia l efficacia della strategia didattica attuata.
Le modalità principali di verifica sono:
osservazione dialogica (domande e risposte dal banco);
osservazione del lavoro fatto in classe o a casa (esame dei quaderni, giro tra i banchi);
verifiche al calcolatore (di conoscenza, padronanza dello strumento e del software matematico utilizzato);
Verifiche scritte
Il test di verifica formativa che verrà svolto durante il percorso didattico, consiste in diversi quesiti volti ad accertare da parte dell alunno le conoscenze di base.
Attraverso la verifica sommativa inoltre, si vuole rilevare se gli studenti hanno acquisito e memorizzato i concetti e li sappiano esprimere correttamente.
Gli esercizi proposti durante la verifica, infatti, riguarderanno il complesso degli argomenti trattati e saranno volti a constatare l efficacia dell intervento didattico e del percorso proposto.
Affinché l attività didattica risulti efficace e completa, si prevede di svolgere eventuali attività di recupero.
Per individuare gli argomenti che necessitano di recupero, sia a livello collettivo che a livello individuale, ci si avvarrà della verifica formativa, delle prove orali e delle attività di collaborazione insegnante-allievo.
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Recupero da effettuare in classe durante le ore curricolari, attraverso la ripresa dei concetti non ben compresi e lo svolgimento di esercizi riguardanti tali argomenti
Attività pomeridiane con gli studenti interessati ( corsi di recupero )
Assegnazione a singolo studente di esercizi mirati, in modo da risolvere i suoi problemi e superare le sue difficoltà ( sportello didattico )
SVILUPPO DEI CONTENUTI
Prevedo di introdurre in aula il concetto di integrale definito partendo dal problema di come calcolare l area di una superficie piana delimitata da contorni curvilinei qualsiasi. Si richiamerà quindi il concetto di equiscomponibilità, mostrando come un qualsiasi poligono possa trasformarsi in un plurirettangolo ad esso equivalente e che ciò invece non vale se anche uno solo dei lati delimitanti la figura è curvilineo. L idea è quella di distribuire ai ragazzi una scheda prestampata nella quale è presente una stessa figura curvilinea su tre sfondi quadrettati aventi dimensioni via via decrescenti. Il loro scopo sarà quello di calcolare l area della figura in due maniere differenti:
dapprima contando il numero di quadratini in essa contenuti e successivamente aggiungendo ad essi anche il numero di quadratini intersecati dal contorno della superficie. Avremo quindi due misure, una per eccesso e una per difetto. Su queste due misure calcoleremo l errore assoluto commesso e soprattutto l errore relativo. Ripetendo lo stesso procedimento per la stessa figura disegnata su sfondi aventi una quadrettatura più fitta, noteremo che l errore relativo andrà via via diminuendo, per cui i due valori ottenuti tenderanno ad approssimare sempre meglio il valore reale della superficie. Si potrebbero quindi costruire sue successioni e dimostrare che convergono verso uno stesso valore e questo valore rappresenterà proprio l area cercata. Si daranno solo allora le definizioni di trapezoide, di plurirettangolo inscritto plurirettangolo circoscritto e, seguendo lo stesso ragionamento, si introdurrà l area del trapezoide come il limite comune a cui convergono le successioni delle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti e che tale limite si chiama appunto integrale definito
Introduzione al problema
I FASE Il problema delle aree (ore previste: 3) Problema storico
Per aumentare le motivazioni e l interesse degli studenti intorno all argomento illustrerei per sommi capi come si è sviluppata l analisi matematica, facendo notare agli studenti che il percorso che hanno seguito: studio dei limiti, calcolo differenziale e successivamente calcolo integrale in realtà ha avuto, dal punto di vista storico, un ordine inverso.
L attenzione verrà quindi focalizzata sugli integrali.
Per introdurre tale concetto si prenderà in considerazione uno dei problemi che hanno portato alla formalizzazione degli integrali: il calcolo delle aree.
Tale problema risale all antico Egitto. Infatti ad ogni straripamento del fiume Nilo, si presentava il problema di ridefinire i confini dei campi cercando di mantenere la stessa area.
Tra i matematici famosi che si sono occupati del problema del calcolo delle aree vi è Eudosso da Cnido (408?-355? a.C.), allievo di Platone.
Prima di presentare alla classe il procedimento proposto da Eudosso ed il metodo di esaustione messo a punto da Archimede (287-212 a.C.), sarà chiesto agli studenti di tentare di risolvere la questione senza fare ricorso a formule note. L obiettivo di questa attività è quello di stimolare la fantasia e l intuizione dei ragazzi, che, possedendo già la nozione di limite, potrebbero scoprire il ragionamento che sta alla base del metodo di esaustione; la discussione su tali questioni rappresenterà un buon punto di partenza per illustrare i procedimenti di approssimazione.
Il problema fu affrontato in modo organico e rigoroso da Archimede (287-212a.C.).
Archimede, attraverso il metodo di esaustione, riuscì a "racchiudere" l'area del cerchio tra due successioni: quella delle aree dei poligoni regolari inscritti e quella delle aree dei poligoni regolari circoscritti al cerchio. Partendo dal triangolo equilatero, e raddoppiando via via il numero dei lati, spinse i propri calcoli sino a poligoni regolari, inscritti e circoscritti, di 96 lati, Inoltre Archimede sapeva già calcolare l'area di un segmento di parabola moltiplicando per 2 3 l'area del rettangolo ad essa circoscritto. Verso la fine del 1500 e l inizio del 1600 Bonaventura Cavalieri (1598-1647) che introdusse il metodo degli indivisibili.
Tale metodo ha sostituito, dopo quasi due millenni, il classico metodo di esaustione, che aveva mostrato i suoi limiti sia perché non consentiva di scoprire risultati ma dimostrava soltanto tesi intuite, sia perché la sua applicazione risultava, agli occhi dei matematici del XVI e XVII secolo, spesso lunga e difficoltosa.
Secondo il metodo degli indivisibili , una figura piana è concepita come un fitto accostamento di linee, o indivisibili.
Si continua la trattazione storica osservando che la messa a punto dei concetti dell analisi infinitesimale risale essenzialmente ai lavori di Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), anche se occorre attendere il 1823 per avere ad opera di Cauchy (1789-1857) una definizione rigorosa di integrale, molto simile alla formulazione che ancora oggi viene utilizzata.
Aree di superfici piane ed altri problemi
A questo punto potremo procedere illustrando il procedimento generale per determinare l area di una superficie limitata da contorni curvilinei qualsiasi (area del trapezoide).
Problema DETERMINARE L'AREA DEL TRAPEZOIDE
Costruiremo i plurirettangoli inscritti e circoscritti costruendo le successioni minoranti sn e maggioranti Sn . Osserviamo che i plurirettangoli inscritti sono contenuti nel trapezoide, mentre i plurirettangoli circoscritti lo contengono; inoltre, al crescere di n, essi tendono a ricoprire il trapezoide. sn S Sn. Sembra quindi logico assumere come area di questa figura proprio il valore comune del limite (Teorema del confronto).
Per convincerci della relazione sopra citata, ricorreremo all utilizzo di una costruzione realizzata con Cabri.
Si è quindi definita l area del trapezoide come il limite comune a cui tendono le successioni s e n S quando nn . A questo punto è opportuno sottolineare che tale limite è un numero che viene indicato con il simbolo, introdotto per la prima volta da Leibniz,
b
a
dx x
f chiamato integrale definito della funzione f(x) relativo all intervallo [a, b].
Introdotta la definizione di integrale definito sarà opportuno chiarire il simbolismo usato.
Quindi si sottolinea il fatto che l integrale è la somma da a a b delle aree di infiniti rettangoli di base infinitesima dx e di altezza che tende alle ordinate dei singoli punti della curva. Si farà poi notare che il simbolo è una S allungata iniziale della parola somma: somma infinita di rettangoli infinitesimi.
Si inviteranno gli studenti a non confondere integrale definito e area. L integrale è il valore di un limite e può essere un valore reale qualsiasi, mentre è sempre rappresentato da un numero positivo o nullo.
Per permettere agli studenti di interiorizzare meglio questi concetti verranno proposte due attività:
dapprima si chiederà di determinare l area del trapezoide in casi particolari molto semplici mediante la definizione di integrale definito come limite di una opportuna sommatoria; successivamente, in ambiente Derive, si cercherà di ripetere il procedimento utilizzato per introdurre il concetto di integrazione definita, visualizzando graficamente i plurirettangoli inscritti e circoscritti ad una regione di piano. I ragazzi potranno notare che, aumentando il numero dei plurirettangoli, le successioni delle somme integrali superiori ed inferiori convergono al valore numerico dell integrale definito.
Problema Abbiamo detto che il limite comune delle due successioni S e n s viene detto integrale n definito da a a b di f(x) e coincide con l area del rettangoloide. Nel caso in cui le funzioni sono non positive in a, b o comunque continue ma di segno variabile coincide ancora il suo valore con l area del rettangoloide individuato dalla funzione in a,b ?
II FASE PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI DEFINITI E TEOREMA DELLA MEDIA (ore previste: 1-2) Attraverso una lezione dialogata, si cercherà di guidare gli studenti a scoprire le proprietà dell integrale definito, invitandoli a ricorrere alla sua interpretazione geometrica come area di una regione di piano. In questo modo gli allievi costruiranno personalmente la propria conoscenza, rielaborando, in modo autonomo, le nozioni acquisite.
Verrà poi presentato e dimostrato il teorema della media e, anche in questo caso, i ragazzi verranno stimolati a proporre l interpretazione geometrica del teorema.
È importante porre una particolare attenzione all uso dei diversi registri rappresentativi (simbolico, grafico, verbale) dello stesso oggetto matematico per giungere ad una comprensione più approfondita del concetto.
I differenti modi di rappresentazione (simbolico, grafico, verbale) si completano a vicenda, perché ognuno di essi puntualizza aspetti del concetto differenti ed insieme contribuiscono ad una rappresentazione completa del concetto stesso.
Le proprietà non saranno dimostrate ma ne verrà data una giustificazione intuitiva accompagnata da una interpretazione geometrica.
Coerentemente con il percorso seguito sino ad ora, sarebbe opportuno precedere alla dimostrazione del teorema della media la sua interpretazione geometrica in modo da chiarire le ragioni per cui essa ha assunto tale forma.
III FASE IL CALCOLO DI UN INTEGRALE DEFINITO (ore previste: 2-3) Problema: Come possiamo calcolare l integrale definito?
Calcolare un integrale definito applicando la definizione è evidentemente una cosa piuttosto faticosa; ci chiediamo allora se non esiste un metodo più efficace e più rapido per risolvere il problema. La risposta a questa domanda è legata, come vedremo, alla determinazione dell'integrale indefinito della funzione f.
Viene introdotta la funzione integrale; sì pone cioè
x
a
dt t f x F
II legame esistente fra la funzione f(x) e la sua funzione integrale F(x) è espresso dal teorema fondamentale del calcolo integrale.
Nota Ancora una volta cercherei di introdurre il teorema in modo intuitivo.
Si proporranno numerosi problemi in modo da indurre gli studenti a scoprire il legame che esiste tra l operazione di integrazione e quella di derivazione: se si integra la f(x) si ottiene F(x), d altra parte se si deriva la F(x) si ottiene f(x).
Attraverso alcuni esempi si cercherà di far scoprire agli studenti il legame che esiste tra l operazione di integrazione e quella di derivazione.
Quale sarà la primitiva della funzione y = cos x ? Il calcolo di tale primitiva è immediato.
E quale sarà la primitiva di y x2? In questo caso occorre procedere per tentativi per dare una risposta corretta
Potremo concludere che Le pr imit ive di una f unzione sono inf init e e dif f er iscono t r a lor o per una costante additiva.
Il problema sarà risolto con l applicazione del teorema di Torricelli Barrow, grazie al quale per calcolare il valore di un integrale definito, basta individuare una primitiva della funzione integranda e calcolare la differenza dei valori che essa assume rispettivamente nell estremo superiore ed inferiore.
A questo punto si formalizzerà tale risultato, presentando e dimostrando il teorema di Torricelli - Barrow, dal nome dei due matematici che per primi si accorsero del legame tra l operazione di derivazione e quella di integrazione.
Teorema (di Torricelli - Barrow) Se la funzione f(x) è continua in un intervallo [a,b], la sua funzione integrale
x
a
dt t f x
F è derivabile e la sua derivata in ogni punto x di [a,b] è uguale alla funzione nello stesso punto, cioè F x f x ) x a,b
IV FASE LA FORMULA PER IL CALCOLO DELL'INTEGRALE DEFINITO (ore previste: 2-3)
L'importanza del teorema fondamentale del calcolo integrale sta nel fatto che con esso si stabilisce una relazione fra le primitive e l'integrale definito di una funzione; abbiamo infatti dimostrato che la funzione integrale
x
a
dt t f x
F è una primitiva della funzione f.
Si giunge alla formula di Newton - Leibniz, grazie alla quale potremo calcolare l integrale definito: l'integrale definito fra a e b di una funzione continua f(x) è la differenza fra i valori assunti da una generica primitiva di f nei punti b e a .
V FASE APPLICAZIONI DELL'INTEGRALE DEFINITO (ore previste: 2-3) IL CALCOLO DELLE AREE
Abbiamo già visto che se la funzione integranda f é positiva, il suo integrale definito fra a e b rappresenta l'area della regione di piano delimitata dalla curva stessa, dall'asse x e dalle rette x = a e x = b; sappiamo poi che, negli intervalli in cui la funzione f é negativa, l'area della parte di piano da essa delimitata è l'opposto del suo integrale definito.
Allora il problema di determinare l'area della parte di piano compresa tra una curva e l'asse x in un determinato intervallo si può risolvere con il calcolo di uno o più integrali definiti.
Vediamo qualche esempio.
Affrontiamo adesso il problema di determinare l'area S della regione di piano delimitata da due o più curve.
Attraverso opportune considerazioni, partendo inizialmente da funzioni solo positive e in seguito considerando anche funzioni che possano assumere in un certo intervallo valori negativi, concluderemo che: date due funzioni f(x) e g(x), continue in un intervallo [a,b] e tali che
x g x
f per ogni x a,b , l'area S della parte di piano delimitata dai loro grafici e dalle rette x = a e x = b è
b
a
dx x g x f
S .
In particolare la formula trovata rappresenta l'area della superficie racchiusa fra due curve f(x) e g(x) che si intersecano nei punti di ascissa a e b. Faremo notare che nel caso di più curve, occorre applicare le proprietà degli integrali definiti.
IL CALCOLO DEL VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE
Consideriamo una funzione f(x) continua in un intervallo a,b ; supponiamo che in tale intervallo essa sia non negativa e indichiamo con T il trapezoide individuato dalla curva e dall'asse x in a,b . Ruotando attorno all'asse x, T genera un solido di rotazione del quale vogliamo definire e calcolare il volume.
Come procedere?
Possiamo seguire un ragionamento analogo a quello fatto per determinare l'area di un trapezoide;
dividiamo cioè l'intervallo a, b in un numero n di parti uguali. In questo caso però costruiremo un solido di rotazione che prende il nome di pluricilindro ed il suo volume è dato da
n
i
i x
f
1
2
Se ora facciamo tendere n all'infinito, il pluricilindro tende a confondersi con il solido di rotazione.
Il volume di un solido di rotazione si trova dunque con la formula
b
a
dx x f
V 2
Attenzione: il ragionamento è valido anche se la funzione f non è sempre positiva in a,b ; infatti anche quando f x 0, f x 2 si mantiene positiva, quindi
La formula ora determinata sarà utilizzata per scoprire formule già note quali: Volume di un cono;
Volume dell ellissoide di rotazione; Volume della sfera; Volume di un segmento sferico.
LA LUNGHEZZA DI UN ARCO DI LINEA PIANA E L'AREA DI UNA SUPERFICIE DI ROTAZIONE
Oltre alla determinazione di aree e volumi, gli integrali definiti ci permettono di calcolare anche la lunghezza di un arco di linea piana.
Si dimostra poi che tale lunghezza l è data dalla relazione
b
a
dx x f
l 1 2 .
Se facciamo poi ruotare l'arco AB di curva attorno all'asse x, otteniamo una superficie di rotazione la cui area S si dimostra che è data da
b
a
dx x f x
f
S 2 1 2 .
Verranno proposti alcuni esempi di applicazione di tale formula.
ALTRE APPLICAZIONI DELL'INTEGRALE DEFINITO
L'integrale definito trova spazio in moltissime applicazioni di tipo fisico o di carattere tecnico;
vediamone qualcuna.
Calcolo di una legge oraria (moto rettilineo) Quando del moto di un punto materiale è nota la funzione a t dell accelerazione, si può calcolare la variazione di velocità v in un intervallo di tempo t1, t2 mediante la relazione
2
1
t
t
dt t a
v .
Sappiamo infatti che l'accelerazione è la derivata della funzione velocità, cioè at v t ; v t è allora una primitiva di a t e perciò, in base alla formula fondamentale del calcolo integrale
v t v t v dt t a
t
t
1 2
2
1
.
Analogamente, se è nota la funzione v t della velocità di un punto materiale, si può calcolare lo spazio percorso nell'intervallo di tempo t1, t2 mediante la relazione
2
1
t
t
dt t v
s .
Quantità di carica
Sappiamo che la corrente elettrica che passa attraverso la sezione di un conduttore è data dal rapporto fra la variazione della quantità di carica rispetto a quella del tempo; la corrente istantanea è quindi i t q t .Allora la carica elettrica q che attraversa la sezione del conduttore nell'intervallo di tempo t1, t2 vale:
2
1
t
t
dt t i q L'energia cinetica
II teorema dell'energia cinetica afferma che il lavoro fatto da una forza che agisce su un punto materiale è uguale alla variazione della sua energia cinetica (ricorda che l'energia cinetica di un corpo di massa m che ha velocità v è data da 2
1 mv ). 2
Verrà data una dimostrazione di tale teorema attraverso l utilizzo del calcolo integrale.
VI FASE GLI INTEGRALI GENERALIZZATI (ore previste: 2-3)
In tutti i discorsi che abbiamo portato avanti finora sul calcolo delle aree, dei volumi e più in generale di un integrale definito, siamo sempre partiti dal presupposto che la funzione f fosse una funzione continua nell'intervallo di integrazione [a,b].
Problema Cosa accade quando la funzione ha dei punti di discontinuità?L'integrale definito della funzione esiste ancora? Nei casi in cui la risposta è affermativa, come si fa a calcolarlo? E poi, se uno degli estremi di integrazione tende all'infinito, è ancora possibile calcolare l'area della parte di piano racchiusa dalla curva e dall'asse x? In che modo? Cercheremo di dare una risposta a tutte queste domande nei punti che seguono. Terremo comunque valida l'ipotesi che, se anche la funzio- ne non è continua, essa abbia un numero finito di discontinuità. Integrali definiti di questi tipi, quando esistono, si dicono integrali generalizzati.
Verranno esposti i relativi metodi per risolvere tali tipi di integrali e si porrà l attenzione su un problema paradossale:
1
1dx
x , mentre 1 1
1 2 dx
x . È sorprendente scoprire che è possibile attribuire area finita a regioni illimitate del piano.
VII FASE L'INTEGRAZIONE NUMERICA (ore previste: 2-3)
Sappiamo che, se una funzione f x è continua in un intervallo a,b , esiste sempre la sua primitiva F x e che l'area S della parte di piano delimitata da f e dall'asse x in a,b , se f é positiva, è data da f x dx F b F a
b
a
.
Oss II problema della determinazione della misura delle aree sembra allora completamente risolto.
In realtà le cose non stanno così perché il fatto che la funzione f sia continua garantisce che esista la sua primitiva, ma non garantisce che sia possibile trovarla. Ad esempio, la primitiva di e x2 o la primitiva della distribuzione di probabilità normale non sono determinabili analiticamente con i mezzi a nostra disposizione. In altre situazioni, della funzione f non si conosce l'espressione ana- litica, ma solo il valore che essa assume in un certo numero di punti rilevati sperimentalmente, oppure si conosce solo il suo grafico tracciato mediante opportuni strumenti (pensa ai sismografi e agli apparecchi che registrano il potenziale elettrico cardiaco). È evidente che, in questi casi, risulta difficile, a volte impossibile, trovare il valore esatto di un'area o comunque di un integrale definito;
è però possibile trovare un suo valore approssimato integrando una funzione che approssima quella data e di cui si sa calcolare una primitiva. Il metodo che seguiremo è il seguente:
suddivideremo l'intervallo a,b in un certo numero di parti uguali
cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati integreremo tale funzione nel proprio intervallo
sommeremo le aree così trovate.
La somma ottenuta rappresenterà un valore approssimato dell'area cercata.
Per quanto riguarda la scelta della funzione approssimante ci serviremo di:
un polinomio di grado zero, che in ciascun intervallo ha per grafico una retta parallela all'asse x e che quindi darà luogo ad una funzione a gradini (metodo dei rettangoli)
un polinomio di primo grado, che in ciascun intervallo ha per grafico una retta e che quindi darà luogo ad una spezzata (metodo dei trapezi o di Bezout)
un polinomio di secondo grado che darà luogo ad una successione di parabole approssimanti (metodo delle parabole o di Cavalieri - Simpson).
I primi due metodi verranno affrontati a scuola mentre l ultimo verrà solo enunciato essendo più complesso dei precedenti. Per completare lo studio del metodo dei rettangoli e dei trapezi, sarà opportuno fare alcuni esempi e, a tal fine, si utilizzerà il laboratorio di informatica che ben si presta per la trattazione in oggetto. Attraverso l ausilio dell informatica gli studenti potranno convincersi del fatto che, aumentando il numero di intervalli aumenterà la precisione della valutazione dell area.
Principalmente verrà utilizzato Excel e Derive grazie ai quali sarà possibile applicare i metodi precedenti e determinare l area del trapezoide e fare anche osservazioni sulla precisione dei due metodi. Concluderemo che il metodo dei trapezi ci dà un valore molto più preciso di quello ottenuto con il metodo dei rettangoli per lo stesso valore di n, ossia il numero degli intervalli di suddivisione della nostra funzione.
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