Universit` a degli Studi di Trento

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CORSO DI ANALISI MATEMATICA II - LAUREA IN FISICA

DAVIDE PASTORELLO E ANDREA PINAMONTI

Foglio di esercizi 2

Nota preliminare: Le risoluzioni degli esercizi presentati sono volutamente schematiche e vari dettagli sono lasciati al lettore.

Esercizio 1. Calcolare (se esiste) il seguente limite:

lim

(x,y)→(0,0)

y log(1 + x ² + 3y ² ) x ² + 5y ² Soluzione:

Consideriamo la funzione ristretta alla retta y = mx con m ∈ R e calcoliamo il limite:

x→0 lim

mx log(1 + x ² + 3m ² x ² ) x ² + 5m ² x ² = lim

x→0

mx(x ² + 3m ² x ² ) x ² (1 + 5m ² ) = lim

x→0

mx + 3m ³ x 1 + 5m ² = 0.

Se il limite esiste allora ` e nullo. Si deve verificare che per ogni  > 0 esiste δ > 0 tale che se k (x, y) k< δ allora:

y log(1 + x ² + 3y ² ) x ² + 5y ² − 0

< .

Lo si pu` o verificare considerando le semplici maggiorazioni:

y log(1 + x ² + 3y ² ) x ² + 5y ²

≤ |y|(x ² + 3y ² ) x ² + 5y ² ≤ |y|.

Come conseguenza del teorema del confronto il limite vale 0.

Esercizio 2. Calcolare (se esiste) il seguente limite:

lim

(x,y)→(0,0)

x sin(xy) x ² + y ² Soluzione:

Consideriamo la funzione ristretta alla retta y = mx con m ∈ R e calcoliamo il limite:

x→0 lim

x sin(mx ² ) x ² (1 + m ² ) = lim

x→0

mx 1 + m ² = 0.

Se il limite esiste allora ` e nullo. Riscrivendo il problema utilizzando le coordinate polari:

ρ→0 lim

ρ cos ϑ sin(ρ ² cos ϑ sin ϑ) ρ ²

e osservando che:

ρ cos ϑ sin(ρ ² cos ϑ sin ϑ) ρ ²

≤ | sin(ρ ² cos ϑ sin ϑ)|

ρ ≤ ρ ² | cos ϑ sin ϑ|

ρ ≤ ρ −→ 0,

si pu` o concludere che lim ρ→0 f (ρ, ϑ) = 0 uniformemente in ϑ ∈ [0, 2π) e quindi il limite in questione esiste nullo.

Esercizio 3. Calcolare (se esiste) il seguente limite:

lim

(x,y)→(0,0)

y ²

x

2

Soluzione:

Considerando la restrizione alla retta y = 0 si ottiene la funzione che vale identicamente 0. Mentre considerando la restrizone a A = {(x, y) ∈ R ² : x ≥ 0, y = √

x} si ottiene:

lim

(x,y)→(0,0) f _|A (x, y) = lim

x→0

x

x = 1 6= 0, di conseguenza il limite considerato non esiste.

Esercizio 4. Stabilire per quali valori di α ∈ R esiste il seguente limite:

lim

(x,y)→(0,0)

|y| ^α cos x p x ² + y ² Soluzione:

In coordinate polari:

ρ→0 lim ρ ^α−1 | sin ϑ| ^α cos(ρ cos ϑ)

se α > 1 il limite esiste e vale 0. Nel caso α ≤ 1 il limite non esiste in quanto lim _ρ→0 f (ρ, ϑ = 0) 6=

lim _ρ→0 f (ρ, ϑ = π/2).

Esercizio 5. Si verifichi esplicitamente che:

lim

k(x,y)k→∞ x ⁴ + y ⁴ − x ² − y ² + xy = +∞

Soluzione:

Per dimostrarlo basta esibire una funzione g = g(ρ) ben definita tale che f (ρ cos ϑ, ρ sin ϑ) ≥ g(ρ) → +∞

per ρ → +∞.

f (ρ, ϑ) = ρ ⁴ cos ⁴ ϑ + ρ ⁴ sin ⁴ ϑ − ρ ² cos ² ϑ − ρ ² sin ² ϑ + ρ ² cos ϑ sin ϑ =

= ρ ⁴ (cos ⁴ ϑ + sin ⁴ ϑ) − ρ ² (cos ² ϑ + sin ² ϑ − cos ϑ sin ϑ).

Osserviamo che cos ² ϑ + sin ² ϑ = 1, cos ϑ sin ϑ = ^sin(2ϑ) ₂ e quindi ¹ ₂ ≤ 1 − cos ϑ sin ϑ ≤ ³ ₂ . Inoltre la funzione h(ϑ) := cos ⁴ ϑ + sin ⁴ ϑ ` e continua in [0, 2π] e strettamente positiva quindi ammette valore minimo m > 0 su [0, 2π] in virt` u del teorema di Weiestrass. La funzione g pu` o cos`ı essere definita come g(ρ) = mρ ⁴ − ³ ₂ ρ ² .

Esercizio 6. Si calcoli il limite : lim

k(x,y)k→∞ x ³ ye ^−xy con (x, y) ∈ X := {(x, y) ∈ R ² : x ≥ 0, x ≤ y ≤ 2x}

Soluzione:

(x, y) ∈ X =⇒ x ² ≤ xy ≤ 2x ² =⇒ e ^−2x

≤ e ^−xy ≤ e ^−x

e x ⁴ ≤ x ³ y ≤ 2x ⁴ =⇒ x ⁴ e ^−2x

≤ x ³ ye ^−xy ≤ 2x ⁴ e ^−x

.

Poich´ e lim x→+∞ x ⁴ e ^−2x

= lim x→+∞ 2x ⁴ e ^−x

= 0, il limite ` e uguale a 0.

Esercizio 7. Si calcoli (se esiste) il limite : lim

(x,y,z)→(0,0,1)

xy(z − 1) x ² + y ² + (z − 1) ² Soluzione:

Osserviamo che 0 ≤

xy(z − 1) x ² + y ² + (z − 1) ²

≤    

xy x ² + y ²

|z − 1| ≤ |z − 1|

2 ∀(x, y, z) ∈ R ³ \ {(0, 0, 1)}

da cui

lim

(x,y,z)→(0,0,1)

xy(z − 1)

x ² + y ² + (z − 1) ² = 0.

3

Esercizio 8. Dire se la seguente funzione:

f (x, y) =

 xy

x

+y

(x, y) 6= (0, 0) 0 x = y = 0

`

e continua in (0, 0).

Soluzione:

Basta verificare che

lim

(x,y)→(0,0)

xy x ² + y ² = 0.

Restringendo la funzione alla famiglia {(x, x) | x ∈ R \ {0}} otteniamo che essa ha limite per x → 0 uguale

a ¹ ₂ . Questo implica che la funzione non ´ e continua nel punto (0, 0).