1 n(1 + n), la serie numericaP nMnconverge

Universit`a degli Studi di Trento

CORSO DI ANALISI MATEMATICA II - LAUREA IN FISICA

DAVIDE PASTORELLO E ANDREA PINAMONTI

Foglio di esercizi 3

Nota preliminare: Le risoluzioni degli esercizi presentati sono volutamente schematiche e vari dettagli sono lasciati al lettore.

Esercizio 1. Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni

∞

X

n=1

1 n(1 + nx²) in [1, +∞).

Soluzione:

Dato che _n(1+nx¹ 2) ∼ _n2¹x² per n → +∞, la serie converge puntualmente per il criterio del confronto asintotico. Definito:

Mn:= sup

x∈[1,+∞)

1 n(1 + nx²)

= 1

n(1 + n), la serie numericaP

nM_nconverge. La serie di funzioni in esame converge totalmente quindi uniformemente.

Esercizio 2. Data la funzione f : R → R cos`ı definita:

f (x) =

 1

2 − |x| |x| ≤ ¹₂ 0 altrimenti studiare la convergenza della serieP∞

n=1

√1

nf (x − n).

Soluzione:

Sia un(x) := ^√1_nf (x − n). Poich´e per ogni x ∈ R esiste al pi`u un valore n0∈ N \ {0} tale che un0(x) 6= 0, si ha la convergenza puntuale in R:

∞

X

n=1

un(x) = un₀(x).

Verifichiamo esplicitamente la convergenza uniforme della successione delle somme parziali:

n→+∞lim sup

x∈R

n

X

k=1

u_k(x) −

∞

X

k=1

u_k     

= lim

n→+∞sup

x∈R

∞

X

k=n+1

u_k(x)     

= lim

n→+∞

1 2√

n + 1 = 0.

La serie converge uniformemente in R.

Esercizio 3. Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:

∞

X

n=1

[n⁻¹xⁿ− (n + 1)⁻¹xⁿ⁺¹], nell’intervallo [−1, 1].

Soluzione:

Si tratta di una serie telescopicaP

n[f_n(x) − f_n+1(x)] quindi la successione delle somme parziali `e semplice da ricavare:

Sn(x) :=

n

X

k=1

[k⁻¹x^k− (k + 1)⁻¹x^k+1] = x − xⁿ⁺¹ n + 1.

2

Dato che lim_n→+∞S_n(x) = x per ogni x ∈ [−1, 1], la serie converge puntualmente a f (x) = x in [−1, 1].

Si verifica immediatemente che la serie converge uniformemente in tale intervallo, in quanto:

n→+∞lim sup

x∈[−1,1]

xⁿ⁺¹ n + 1    

= lim

n→+∞

1 n + 1= 0.

Esercizio 4. Studiare convergenza puntuale e uniforme delle serie di potenze:

∞

X

n=1

(√ⁿ

n − 1)ⁿxⁿ

∞

X

n=1

a

√n(x − 1)ⁿ

∞

X

n=1

n!xⁿ

Soluzione:

Si determina facilmente che il raggio di convergenza della prima serie di potenze ´e R = +∞ da cui si conclude che essa converge puntualmente ∀x ∈ R e uniformemente in [−k, k] ∀k > 0.

Posto y = x − 1 otteniamo che la serie data si riscrive come P∞ n=1a

√nyⁿ. Si determina facilmente che il raggio di convergenza ´e R = 1. Inoltre, ricordando che a

√n = o(1/n²) se n → ∞ abbiamo che la serie numericaP∞

n=1a^√n converge e quindi converge anche la serieP∞

n=1a^√n(−1)ⁿ (perch´e?). Si conclude che la serie data converge puntualmente e uniformemente in [0, 2].

Si determina facilmente che il raggio di convergenza della terza serie di potenze ´e R = 0. Pertanto essa converge puntualmente in x = 0.

Esercizio 5. Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie di potenze:

∞

X

n=1

1

n2ⁿ(x − 1)ⁿ Soluzione:

Il raggio di convergenza `e R = lim<sub>n→+∞</sub><sup>(n+1)2</sup><sub>n2n</sub><sup>n+1</sup> = 2 e quindi, per ora, si pu`o concludere che la serie di potenze converge puntualmente per |x − 1| < 2, ovvero nell’intervallo (−1, 3). Per x = 1, la serie a segno alternoP

n (−1)ⁿ

n converge (criterio di Leibniz) mentre per x = 3 si ottiene la serie armonica che `e divergente. La serie converge uniformemente in ogni intervallo della forma [−1, 3 − ] con 0 <  ≤ 2.

Esercizio 6. Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie di potenze:

∞

X

n=2

1

n log²n(x + 1)ⁿ Soluzione:

Il raggio di convergenza `e R = limn→+∞(n+1) log²(n+1)

n log²n = 1 e pertanto si ha convergenza puntuale in (−2, 0). Negli estremi dell’intervallo si ottengono la serie convergente P

n (−1)ⁿ

n log²n e la serie convergente P

n 1

n log²n. La serie di potenze converge uniformemente in [−2, 0].

Esercizio 7. Studiare convergenza puntuale e uniforme delle serie di potenze:

∞

X

n=1

(sin(n))ⁿxⁿ.

Soluzione:

Poinch´e il limite lim_n→∞ p| sin(n)| non esiste (perch´e?) non possiamo concludere nulla. Per il calcoloⁿ del raggio di convergenza dobbiamo quindi usare la definizione

R = sup{x ∈ R |

∞

X

n=1

(sin(n))ⁿxⁿ converge}.

3

Poich´e la serie di potenze converge puntualmente in |x| < 1 e non converge in |x| ≥ 1 (perch´e?) ne segue che

sup{x ∈ R |

∞

X

n=1

(sin(n))ⁿxⁿ converge} = (−1, 1)

da cui R = 1. La serie converge puntualmente in (−1, 1) e uniformemente in [−k, k] per ogni 0 < k < 1.

Esercizio 8. Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie di potenze:

∞

X

n=1

n³+ n

e²ⁿ+ 2ⁿx²ⁿ(log |x|)ⁿ Soluzione:

Effettuando la sostituzione y = x²log |x| si studia la serie di potenzeP

n n³+n

e²ⁿ+2ⁿyⁿ, il cui raggio di conver- genza `e R = e². Per y = e²si ottiene la serieP

n n³+n

e²ⁿ+2ⁿe²ⁿche non converge dato che limn→+∞ n³+n e²ⁿ+2ⁿe²ⁿ6=

0. Quindi la serie di potenzeP∞ n=1

n³+n

e²ⁿ+2ⁿx²ⁿ(log |x|)ⁿ converge puntualmente in (−e, e) e uniformemente in ogni intervallo [−e + , e − ] con 0 <  < e.