Riconoscimento di funzioni Quali delle seguenti relazioni sono funzioni : a) la relazione che ad ogni numero razionale ba fa corri- spondere il numero intero a+b b) la relazione f: R→R tale che f(x

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♦ Funzioni

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♦ Immagine e controimmagine

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♦ Funzioni iniettive, surgettive, bigettive

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.1

6 ottobre 2009

ESERCITAZIONI : martedì ore 14 -16 , aula 509 E:mail: [email protected]

Homepage: http://www.dima.unige.it/~baratter

(~ SI FA PREMENDO ALT+126) ESERCIZIOC1.

Riconoscimento di funzioni Quali delle seguenti relazioni sono funzioni :

a) la relazione che ad ogni numero razionale _b^a fa corri- spondere il numero intero a+b

b) la relazione f: R→R tale che f(x) = ³ x c) la relazione f: R→R tale che f(x) = x .

• f è una funzione se ad ogni elemento dell’insieme di par- tenza ( dominio) fa corrispondere uno ed un solo ele- mento dell’insieme di arrivo ( codominio) .

a) Q = {^m_n ^{|m ,n∈Zen≠0}}. Questa relazione da Q in Z per essere funzione deve soddisfare alla proprietà:ad ogni_b^a ∈Q corrisponde un unico a+b∈Z . Falso : ₂^{1 =} ₄² ma 1+2 ≠2+4 b) la legge f: R→R tale che f(x) = ³ x

Ad ogni numero reale x corrisponde un unico numero reale

3 x : vero.

c) la legge f: R→R tale che f(x) = x .

Falso: ad es. se x è il numero reale -1 , f(-1) non esiste !

ESERCIZIOC2.

Funzioni – Immagini e controimmagini Sia f: ZxZ→ N la relazione definita da f(a,b) = |ab|.

a) Verificare che f è una funzione.

b) Determinare f(0,1), f(1,0), f(2,-3) ( = immagini di elementi di ZxZ).

c) Determinare l’immagine del sottoinsieme NxN di ZxZ d) Determinare f ^–1(0) (controimmagine di 0∈N tramite f),f ¹(1).

e) Determinare f ^–1(T) con T = {0,1}⊆ N

a) •ZxZ : prodotto cartesiano di due insiemi

Il prodotto cartesiano AxB di due insiemi A e B è per def. l’insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con a∈A e b∈B. Ad es. (1,0) è diverso da (0,1) !!

Ad ogni (a,b)∈ZxZ la nostra f fa corrispondere |ab|, il valore assoluto del prodotto di a per b, che è sem- pre un unico numero naturale ( fissati a e b in Z ).

b) f : ZxZ → N definita da f (a,b) = |ab|.

Determinare f(0,1), f(1,0), f(2,3) f(0,1) = ? ZxZ → N

(0,1)→ |0⋅1| = 0 ⇒ f(0,1) =0 f(1,0) = |1⋅0| = 0 ⇒ f(1,0) =0

f(2,-3) = |2⋅(-3)| = |-6|= 6 ⇒ f(2,-3) =6

c)

f(S)={f(s)| s∈S}= {b∈B | ∃ s∈S , b= f(s) }

f: ZxZ→ N t.c. f(a,b) = |ab| , f(NxN) = ?

♦ Se (a,b) ∈ NxN => f(a,b) = ab∈N ( |ab|=ab ) f(NxN) ⊆ N

♦ Per provare che f(NxN) =N per il Principio di estensio- nalità ( Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi) occorre mostrare anche

l’altra inclusione N ⊆ f(NxN).

∀x∈N ∃(1,x)∈NxN⊆ ZxZ t.c. x=f(1,x) => N=f(NxN)

d) f: A → B, x ∈ B : f ^–1(x) = {a∈A| f(a) = x }

f^-1(0) = { (a,b)∈ZxZ | |ab| =0}

⇒ f^-1(0) = { (a,b)∈ZxZ | ab =0 }

(Il valore assoluto di un numero è zero ⇔il numero è zero) = { (a,b)∈ZxZ | a = 0 oppure b = 0}

= { (0,b) | b∈Z } ∪ { (a,0) | a∈Z }

f ^–1(1) ={ (a,b)∈ZxZ | |ab| =1}

= { (a,b)∈ZxZ | a = 1, -1 oppure b = 1,-1}

= { (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)}

e)

f^-1 (T) = {a∈A | f(a) ∈ T }

Nel ns. Ex. :

T = {0,1}⊆ N , f: ZxZ→ N t.c. f(a,b) = |ab|

f^-1 (T)= f^-1(0) ∪ f^-1(1)

= {(0,b)|b∈Z }∪{(a,0)|a∈Z}∪{(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)}

Nella figura sopra in T sono indicati due elementi che hanno controimmagine vuota : fatto che può succedere!

Ma non in questo caso ! perché ?

Fare un esempio in cui si ha : f( f^-1(T)) ≠ T

ESERCIZIO3.

INIETTIVITÀ – SURGETTIVITÀ

Stabilire quali delle seguenti funzioni sono iniettive, surget- tive:

a) f: Z→ ZxZ definita da f(n)=(n²,n) b) f:R→R definita da f(x) = ^|x|

c) f:ZxZ→Z definita da f(x,y)=8x-10y.

d) f:RxR→R definita da f(x,y)=x²+y³

e) f:RxR→RxR definita da f(x,y)= (x+y, 3x-3y) f) f:ZxZ→ZxZ definita da f(x,y)= (x+y, 3x-3y)

DIGRESSIONE:Quali delle seguenti sono funzioni, iniettive, surgettive?

RISPOSTE . A: in,non su - B:su,non in - C:in,su - D:non in,non su- E: non a

b

c

1

2

3

4

a

b

c

d

1

2

3

d c b

a 1

2

3

4

c b a

d 4

3 2

1 a

b

c

4 3 2 1

AA BB C C

D

D EE

• f è iniettiva se trasforma elementi distinti del dominio in elementi distinti del codominio

″ f è iniettiva se due frecce diverse non colpiscono mai lo stesso bersaglio ! ″

Iniettività : x≠y ⇒ f(x) ≠ f(y) (1)

Come possiamo esprimere questa affermazione tramite il segno di ′=′ anziché quello di ′≠′ ? L’affermazione logicamente equivalente è :

f(x)=f(y) ⇒ x=y (2)

La (1) dal punto di vista intuitivo è forse più facile a ca- pirsi, ma nella pratica conviene usare la (2)

Quindi torniamo allo studio della eventuale iniettività di a) f: Z→ ZxZ definita da f(n)=(n²,n) , usando la (2).

Per def. f(x)=(x ,x), f(y)=(y ,y).

Da (x²,x)=(y²,y) segue che

⎩⎨

⎧

=

= y x

y x^{2 2}

quindi ⎩⎨⎧

=

= + y x

0 y) y)(x - (x

⇒ x=y Ok: f iniettiva

• Surgettività: f:A → B è surgettiva se

Im(f) = {f(x)| x∈A } (Immagine di f) coincide con B.

Ciò vuol dire che ogni elemento di B proviene da almeno un elemento di A : ∀ b∈B ∃ a ∈ A t.c. f(a)=b

"f è surgettiva se tutti i bersagli vengono raggiunti."

Quindi in a) si ha : Im(f) = ZxZ ? no, ad esempio (-1,1) ∉ Imf

perché non esiste n∈Z t.c. f(n) = (-1,1)

2 2

b) f:R→R definita da f(x) = ^|x|

Non è iniettiva : 1≠-1, ma f(1)=f(-1)=1

Non è surgettiva : -1 ∈R, ma non esiste x∈R t.c. ^|x|=-1 Osserviamo che questa è una funzione dell’analisi reale e come tale possiamo tracciarne il grafico e visualizzare le ns. informazioni

f non è né iniettiva , né surgettiva

c) f:ZxZ→Z definita da f(x,y)=8x-10y.

♦ iniettività :

f(a,b)=f(c,d)⇒(a,b)=(c,d) per ogni coppia (a,b),(c,d)∈ZxZ ? Si vede facilmente ad es. che f(0,0) = 0 = f(10,8) , quindi f Non è iniettiva: abbiamo nel dominio (0,0) ≠ (10,8) , ma f(0,0)=f(10,8) .

♦ surgettività:

Si nota che 8x-10y è pari, quindi ad es. 1∉ Im(f), cioè f^-1(1)= ∅ ed f NON è surgettiva.

d) f:RxR→R definita da f(x,y)=x²+y³

♦ (1,0)≠(0,1), ma f(1,0)=1=f(0,1). Quindi f NON è IN.

♦ f SU ⇔ ∀ a∈R ∃ (x,y)∈RxR t.c. f(x,y)=a ⇔ ∀ a∈R ∃ (x,y)∈RxR t.c. x²+y³=a

Qui abbiamo una sola equazione nelle due incognite x,y , con termine noto a.

Non c’è una formula risolutiva ! Nell’ambito reale, se ci sono soluzioni, per trovarne una, si assegna un valore ad es. ad y e poi si ricava x in funzione di a , se esiste !

Così facendo l’equazione diventa di II° grado in una sola inco- gnita.

• Fissiamo ad es. y=0 ⇒

x²=a , se a≥0 ha soluzioni x=± a, ma se a<0

l’equazione x²=a NON ha soluzioni ! Così non va !

• Fissiamo ad es. x=0 ⇒ y³=a , equazione di III° grado nell’incognita y, che in R ha l’unica solu- zione y=³ a⇒ ∃ (0,³ a)∈RxR t.c. f(0,³ a)=a Conclusione f è surgettiva.

e) f:RxR→RxR definita da f(x,y)= (x+y, 3x-3y) Proviamo a iniziare dallo studio della surgettività :

f(x,y)= (x+y, 3x-3y) è surgettiva se ∀ (a,b)∈RxR ( codo- minio) ∃ almeno una coppia (x,y) ∈RxR (dominio) t.c.

f(x,y)=(a,b).

Dalla definizione di f ricaviamo che si tratta di stabilire se il sistema

⎩⎨

⎧

=

−

= +

b y 3 3x

a y

x nelle incognite x, y ( con a , b consi-

derati termini noti) ha ALMENO una soluzione, qualunque siano a, b ∈R

Per riduzione :

⎩⎨

⎧

=

= +

b 3y - 3x

a y

x

3R₁ +R₂ : 6x =3a+b

R₁ → 3R₁ +R₂

Moltiplichiamo per 3 la I^a riga e quindi la sommiamo alla II^a riga

⇒ _⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+ =

=

b 3y 6 -

b a 33 x 6

( sostituzione)

⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= +

b 2 6y - b a

3 6

b a x 3

⇒ _⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

= +

6 b - y 3a

6 b a x 3

⇒ Per ogni (a,b)∈RxR ∃ ! (x,y)∈RxR t.c. f(x,y)=(a,b)

In questo caso il sistema è risolubile :

• l’esistenza di almeno una soluzione ci garantisce la surgettività di f ,

• l’unicità di tale soluzione ci garantisce l’iniettività di f.

CONCLUSIONE: f è bigettiva ( iniettiva e surgettiva) N.B. Questo metodo è efficace nel caso di sistemi lineari ( = I° grado)

f) f:ZxZ→ZxZ definita da f(x,y)= (x+y, 3x-3y)

(1,2) ∉ Im f poiché 2 non è del tipo 3(x-y) => f non SU

Per l’iniettività non è possibile seguire la tecnica del si- stema, poiché con i calcoli si finisce fuori Z ! Usiamo la def. di iniettività:

f è iniettiva se

f(x,y)=f(z,w)⇒(x,y)=(z,w) per ogni coppia(x,y),(z,w)∈ZxZ

f(x,y) = (x+y, 3x-3y), g(z,w) = (z+w,3z-3w)

f(x,y)=f(z,w) ⇔

⎩⎨

⎧

−

=

− +

= +

3w 3z 3y 3x

w z y

x riduzione R₂-3R₁

⇒

⎩⎨

⎧

−

=

−

+

= +

6w 6y

w z y x

⇒

⎩⎨

⎧

= +

= +

w y

w z y x

⇒

⎩⎨

⎧

=

= w y

z

x ⇒ (x,y)=(z,w) ⇒ f è IN .