10. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 2
Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.
1. Sia f (x) funzione definita in R con f(x) · x 0 per ogni x2 R e derivabile in x0 = 0. Posto g(x) =|f(x)|, si ha che
A. g(x) `e continua in x0 = 0.
B. g(x) non `e derivabile in x0 = 0.
2. Sia f (x) una funzione derivabile inR con f0(x)6= 0 per ogni x 2 R, allora A. l’equazione f (x) = 0 non ammette soluzioni
B. l’equazione f (x) = 0 ammette al pi`u una soluzione C. l’equazione f (x) = 0 ammette almeno una soluzione
3. Sia f (x) funzione derivabile inR tale che f0(x)6= 0 per ogni x 2 R. Allora A. f (x) `e iniettiva
B. Im f (x) =R C. esiste lim
x!+1f (x)
Stabilire dove risultano derivabili le seguenti funzioni e, dove esiste, calcolarne la derivata 4. f (x) = x arctanxlog x2 x
5. f (x) =p4
(cosh x 1)3 6. f (x) =p3
| sin x|
7. f (x) = log(1 + x2) sinh|x2 x|.
8. f↵(x) = 2x2 xsinh↵|x| al variare di ↵ > 0
. Risolvere gli esercizi 1-10 del libro di testo
Determinare il numero di soluzioni delle seguenti equazioni.
9. arctanp
x = 1 x2 10. exe =|x 1|
11. (↵ + x)e x = 1 al variare di ↵2 R 12. log(1 ↵x) = 1x al variare di ↵ > 0
13. ↵x2 log(1 + x2) = 0 al variare di ↵2 R
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Determinare l’immagine delle seguenti funzioni 14. f (x) = log(x + 1) x2
15. g(x) = x| log x| x
16. f↵(x) = (↵ x)ex al variare di ↵2 R 17. f↵(x) = ↵ + log x
1 log x al variare di ↵2 R
. Risolvere gli esercizi 28-45 del libro di testo(g)
Risolvere i seguenti problemi di ottimizzazione
18. Determinare il valore minimo della somma dei coseni di due angoli acuti la cui somma `e l’angolo retto.
19. Tra i perimetri di tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza di raggio r > 0, determinare quello massimo.
20. Determinare l’altezza del cono circolare retto di volume massimo che pu`o essere inscritto in una sfera di raggio 2 (si ricorda che il volume di un cono di raggio r e altezza h `e ⇡3r2h).
. Risolvere gli esercizi 46-55 del libro di testo
(g)negli esercizi 37 e 42 limitare lo studio per ↵ > 0
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