Comportamento di un plasma in condizioni di equilibrio

Lezione 16 Stabilita’ MHD

G. Bosia

Universita’ di Torino

Comportamento di un plasma in condizioni di equilibrio

Nelle lezioni precedenti si sono studiate le condizioni di equilibrio per un fluido ad alta conduttività immerso in un campo magnetico, e si e’ verificato che ci sono condizioni e geometrie in cui questo equilibrio e’ possibile almeno nel limite della approssimazione MHD ideale.

Per raggiungere temperature di interesse termonucleare, un plasma deve essere mantenuto in equilibrio e riscaldato a milioni di gradi. Durante il processo di riscaldamento, in cui i parametri del plasma variano, e in condizioni di funzionamento stazionario del reattore l’ equilibrio deve essere mantenuto. Questo introduce la necessità di garantire ad ogni istante della stabilità macroscopica e microscopica dell’ equilibrio della colonna di plasma.

Fenomeni di instabilità macroscopica influenzano direttamente la geometria della configurazione magnetica che può modificarsi rapidamente ed assumere una configurazione instabile (distruzioni di configurazione). Il plasma entra allora in contatto fisico con componenti meccanici del sistema di confinamento trasferendo loro la propria energia interna ed auto distruggendosi. Questi eventi sono in particolare da evitare in una configurazione tipo Tokamak, in cui il passaggio di grandi correnti

elettriche e’ una condizione necessaria per l’ equilibrio. Una distruzione della colonna di plasma induce forti correnti e importanti sforzi elettrodinamici nelle strutture metalliche del reattore.

Fenomeni locali di instabilità degradano la perfomance di confinamento del sistema, aumentando il trasporto delle particelle e dell’ energia attraverso le superfici magnetiche e, riducendo il tempo di confinamento dell’ energia (τ_E) diminuiscono le capacità di amplificazione di potenza del reattore

Considerazioni generali sulla stabilità di un sistema

Le posizioni A e B sono entrambi di equilibrio, infatti la forza (proporzionale alla pendenza, secondo la legge f = ∇ V(x)) è zero. La posizione C non è di equilibrio, infatti un corpo, posto in C, risente di una forza che tende a muoverla verso B. Gli equilibri A e B sono però molto diversi tra loro. Un minimo spostamento dalla posizione A provoca la comparsa di una forza che la accelera

allontanandola dal la posizione di equilibrio, mentre se essa si trova in B, un piccolo spostamento causa la comparsa di una forza che la spinge verso la posizione di equilibrio, per compiere

Una importante questione che resta da chiarire, è se la configurazione di equilibrio è stabile o no.

Prima di indagare sul complesso problema della stabilità MHD, è utile richiamare, nei suoi concetti fondamentali, la questione della stabilità in sistemi meccanici semplici.

Consideriamo un sistema un-idimensionale, costituito da una massa puntiforme posta in un campo di potenziale, come in figura. Si può pensare, per esempio, ad una pallina soggetta al campo

gravitazionale verticale, posta sopra una superficie scabra

Figura XII-1

Considerazioni generali sulla stabilità di un sistema

Quindi A è una posizione di equilibrio instabile e B di equilibrio stabile. Dato che un piccolo spostamento non può mai essere evitato in pratica, è chiaro che, in pratica, l'equilibrio instabile A non è migliore della mancanza di equilibrio C. Un modo altrettanto valido per saggiare la stabilità, anziché spostare il corpo dalla sua posizione di equilibrio con velocità iniziale nulla, è lasciarlo nella sua posizione iniziale di

equilibrio e applicare una piccola spinta. In A il corpo con una piccola velocità iniziale si allontanera’ dalla posizione, mentre in B esso oscillerà. Questo test, 'dinamico' della stabilità equivale ad uno spostamento nello spazio della velocità anziché uno spostamento nello spazio delle coordinate.

La stabilità dipende dal comportamento del sistema quando è soggetto a piccoli spostamenti (infinitesimi).

La posizione D è quindi considerata stabile, indipendentemente dal fatto che uno spostamento grande può provocare un allontanamento da D, ed E è instabile anche se la pallina si sposta di poco.

Un metodo per determinare la stabilità di una posizione di equilibrio è basato sulla soluzione

dell'equazione del moto nelle immediate vicinanze del punto di equilibrio. Se la coordinata dell'equilibrio è x e la forza è F(x), si trova, sviluppando F(x) in serie di Taylor.

(XVI-1)

Dato che x_qe una posizione di equilibrio sarà necessariamente F(x₀) = 0. Per piccoli spostamenti è lecito trascurare termini di ordine superiore e conviene introdurre la quantita’

....

) )(

( ' ) ( )

( _{0 0 0}

2

2 = F x = F x +F x x− x +

dt x md

) (x−x₀

ξ

=

Considerazioni generali sulla stabilità di un sistema

L'equazione del moto che ne risulta e:

(XVI-2)

Nel punto A della figura precedente è F’(x₀) >0 ; l'equazione (XVI-2) ammette come soluzione:

quindi lo spostamento cresce esponenzialmente nel tempo.

In B, F'(x₀) <0, quindi la (XVI-2) diventa una equazione di moto armonico con pulsazioni ω²= - F'(x₀)/m, che da soluzioni oscillanti.

La soluzione della ((XVI-2)) può essere scritta, indipendentemente dal segno di F(x), nella forma:

(XVI-3)

dove ω e sempre dato da ω²= -F'(x₀)/m. La stabilità e caratterizzata dal segno di ω² : Se ω²>0 l’equilibrio è stabile, se ω²< 0 è instabile, se ω²= 0 l’ equilibrio e’ indifferente.

Un'altro modo di esprimere il criterio di stabilità si ottiene, per forze conservative, dalla F(x) = - V'(x). Se V’’(x₀) è positivo, F'(x₀) è negativo e ω² è positivo, quindi l'equilibrio è stabile, mentre V"(x₀) < 0 indica instabilità.

Questo può essere visto anche direttamente dal principio dell'energia: dato che il sistema e conservativo, la somma dell'energia potenziale e cinetica e costante. Se V" e positiva all'equilibrio (il fondo di una buca), segue che uno spostamento in una qualunque direzione provoca un aumento dell'energia potenziale e quindi un calo dell'energia cinetica. Quindi una pallina in equilibrio statico (energia cinetica nulla) non può uscire dalla buca senza un intervento esterno. Sulla sommità di una collina invece (V"< 0), più la pallina

ξ ξ

) ( ' ₀

2 2

x dt F

md =

)) (

exp( ' ⁰

0 m

x

ξ

F

ξ

=

)

0

exp( i ω t ξ

ξ =

Considerazioni generali sulla stabilità di un sistema

Consideriamo ora un sistema conservativo a due dimensioni

Fra le possibili posizioni di equilibrio si possono ora trovare dossi (a), buche (b) "e punti sella (e) e (d). In (a)

e

sono entrambe negative, in (b) sono entrambe positive, in (e) la prima è positiva e la seconda negativa e in (d) il contrario.

E¹ chiaro che solo la posizione (b) e stabile, mentre nelle altre tre configurazioni vi è almeno uno spostamento che da luogo a soluzioni instabili (crescenti nel tempo). Ora noi abbiamo due equazioni del moto, una per ξ = x-x₀ed una per η = y-y₀

Se il sistema di coordinate e scelto opportunamente, in maniera che gli assi siano diretti nelle direzioni di discesa (e salita) più ripida ("coordinate normali") le due equazioni sono dis-accoppiate, una dipende solo da ξ e l'altra da η,

In questa maniera si ottengono due valori di ω per un equilibrio. Se entrambi sono reali, l’equilibrio è stabile; in qualunque altro caso è instabile. Dato che una ω reale è anche qui associata ad una derivata seconda positiva di. V, il sistema è stabile se e solo se le derivate seconde

sono entrambe positive; come nel caso (b).

2 2

x V

∂

∂

2 2

y V

∂

∂

2 2

x V

∂

∂

2 2

y V

∂

∂

Figura XII-2

Considerazioni generali sulla stabilità di un sistema

Una ulteriore generalizzazione al caso di più di due gradi di libertà porta alla stessa conclusione: la condizione necessaria e sufficiente per la stabilità è che tutti i valori di ω siano reali, cioè che tutte le siano positive.

Dalla fig.XII-1 si vede che nel caso uni-dimensionale il numero di equilibri stabili e di quelli instabili e circa uguale, il che significa che dopo aver trovato un equilibrio, ci si può aspettare a priori, non conoscendo il segno di V^’’(x), che questo equilibrio possa essere stabile con il 50% delle

probabilità. Nel caso di due dimensioni, possiamo trovare con la stessa probabilità casi come (a), (b), (e) e (d). Quindi ci si può‘ aspettare che in non più del 25% dei casi i sistemi siano stabili. Nel caso di n gradi di libertà, la probabilità che un equilibrio sia stabile si riduce a 2^-n.

Quindi in un plasma confinato, o in un magneto-fluido con n→ ∞, la probabilità a priori di trovare una configurazione di equilibrio stabile è molto piccola.

Di qui la necessità di criteri generali di stabilità, in modo che si possano subito individuare gli equilibri stabili. Come esempio di un sistema con un numero infinito di gradi di libertà, consideriamo due fluidi incomprimibili in un campo gravitazionale in equilibrio idrostatico (fig XII-3)

Se la superficie di separazione dei due fluidi è un piano orizzontale, le forze sono in equilibrio in tutti i punti. La questione della stabilità può essere posta considerando il comportamento del

sistema in seguito a spostamenti di piccole parti di fluido dall'equilibrio, e precisamente spostamenti che modificano i contorni (la superficie di separazione dei due fluidi, oppure la superficie superiore del fluido II).

2 2

xi

V

∂

∂

Considerazioni generali sulla stabilità di un sistema

Consideriamo una ondulazione nella superficie di separazione, dal punto di vista del principio dell'energia.

Se i pesi specifici dei fluidi sono diversi (per esempio acqua e mercurio), questa ondulazione comporta una variazione dell'energia potenziale del sistema. Infatti rispetto alla situazione di equilibrio, una certa quantità di fluido II si trova più in basso e un volume uguale di fluido I si trova più in alto. Se la densità del fluido I è più grande di quella del fluido II (

ρ

_I

^> ρ

_II), l’ energia potenziale è aumentata, mentre se il fluido che sta sopra è più pesante (

ρ

_II

^> ρ

_I), l'energia potenziale è diminuita. Nel primo caso lo spostamento è seguito da oscillazioni stabili attorno all'equilibrio, nel secondo caso da una crescita nel tempo dell’

ampiezza delle oscillazioni, che porta alla fine al rovesciamento delle posizioni dei due fluidi, in modo da ristabilire così un equilibrio stabile. E' abbastanza

intuibile che qualunque pìccola perturbazione della superficie di separazione porti, allo stesso risultato.

L'instabilità che si ha per (

ρ

_II

^> ρ

_I) viene chiamata instabilità di Rayleiqh-Tavlor.

Vale la pena notare che in questo esempio

l'applicazione del principio dell'energia ha permesso di rispondere in maniera immediata alla domanda se e quando il sistema è stabile o instabile. Il procedimento di scrivere è risolvere le equazioni del moto sarebbe stato molto più lungo; esso avrebbe portato

naturalménte agli stessi risultati ed in più avrebbe dato i valori delle frequenze nel caso stabile e dei tassi di crescita nel caso instabile.

Figura XII-3

Instabilità di

Instabilità di Rayleigh Rayleigh - - Taylor Taylor

Figura XII-3

Integrale dell’ energia

Nell'ipotesi che il fluido MHD sia isolato dallo spazio circostante, come si e’ visto, vale l'equazione di stato adiabatica (XII-9c):

Utilizzando questa equazione, si può ricavare, con l'aiuto dell’ equazione di continuità (XII-1)

la relazione:

(XII-1)

Nell’ ipotesi di conduttività infinita, si può dedurre Ia legge di conservazione dell 'energia per un fluido MHD (del tutto analoga alla (X-18)), che si scrive:

(XVI-4) :

Si può dedurre questa equazione partendo dalla equazione del moto (XII-10), moltiplicandola scalarmente per v,e ricorrendo ad una serie di passaggi formali che per brevità omettiamo.

Se si integra questa equazione sull'intero volume occupato dal fluido più il vuoto circostante, il termine di divergenza dà un integrale di superficie, dove i primi due termini sono nulli dato che ρ, P e v sono nulli fuori dal fluido. Il restante termine di superficie rappresenta il flusso del vettore di Poynting.

0 )

( =

∂ +

∂

^m

div

_m

v

t ρ

ρ

) 0

( ⁻ =

dt P d ρ_m ^γ

0 ) ( = +

∇

⋅

∂ +

∂ v P div v

t

^m

m

γρ

ρ

0 1 )

2 ( 1 2 )

1 2

( 1

²

0 2

2

+ ∧ =

+ − +

− +

∂ +

∂ P B div v v P v E H

t

^m

v

^m

γ

ρ γ µ

ρ γ

Integrale dell’ energia

Per un sistema isolato, anche questo termine è nullo, e si ottiene la legge di conservazione dell'energia nella forma

(XVI-5)

II primo integrale rappresenta l' energia cinetica del fluido, il secondo l'energia interna e l'ultimo l’energia immagazzinata nel campo magnetico.

E' spesso utile separare l’ energia cinetica:

(XVI-6)

dalla rimanente:

(XVI-7)

che gioca così il ruolo di energia potenziale.

Il risultato e’ la legge di conservazione dell’ energia totale del sistema MHD isolato:

(XVI-8)

∫

=

V

m

v dV

K

²

2 1 ρ

∫ ₋ ⁺

=

V

B dV

W P )

2 ( 1

0 2

µ γ

∫ ⁺ ₋ ^{+ = =}

V

m

P B dV U t

v ) cos

2 1 2

( 1

0 2 2

µ ρ γ

t U

W

K + = = cos

Considerazioni generali sulla stabilità di un sistema

con date condizioni iniziali a t = 0. In un istante successivo t, un elemento di fluido, inizialmente a r₀, si sarà mosso a r. Si possono introdurre gli spostamenti ξ(r₀) = r-r₀ come 'coordinate' del sistema. Dati la

distribuzione iniziale di pressione e gli spostamenti di tutti gli elementi di fluido, la nuova distribuzione di pressione è univocamente determinata. Dato che le linee di campo magnetico sono congelate nel fluido, lo stesso vale per il campo magnetico è funzione solo di ξ. Quindi un fluido conduttore che obbedisce alle equazioni della MHD ideale è 'conservativo' nello stesso senso di un sistema meccanico: anche ad esso si può applicare il principio dell'energia per l'analisi della stabilità.

Ciascuno è instabile, ad eccezione del caso con acqua tutta sopra e mercurio sotto.

Nonostante il numero infinito di possibilità, non c'è difficoltà ad individuare quello stabile, in virtù del principio dell'energia.

Un fluido conduttore possiede un integrale dell'energia Questo integrale è stato diviso in due parti, uno da chiamare 'energia cinetica¹e 1'altro,'energia potenziale^’.

Si richiede che l'energia cinetica sia una funzione delle derivate delle coordinate fatte rispetto al tempo e che l'energia potenziale sia funzione solo delle coordinate. Consideriamo un fluido perfettamente conduttore

Figura XII-4

Oltre ai due casi precedenti (acqua sopra e mercurio sotto; mercurio sopra e acqua sotto), si può pensare di realizzare un‘ infinità di configurazioni di equilibrio per il sistema a due fluidi (strati di acqua e di

mercurio con vari spessori (fig XII-4)

Stabilità di sistemi MHD

Quanto detto a proposito delle configurazioni di equilibrio statico in magneto-idrodinamica rappresenta solo un aspetto del complesso problema del confinamento magnetico, dato che l’equilibrio di una configurazione non è a priori necessariamente stabile.

E’ evidente che una configurazione di equilibrio instabile non è di nessuna utilità pratica, perché, un piccolo spostamento (in generale inevitabile) del sistema attorno alla- posizione di equilibrio, fa sì che esso se.ne allontani sempre più, con conseguente rapida distruzione della configurazione di equilibrio di partenza.

Dobbiamo perciò ricercare situazioni di equilibrio stabile. In generale, le instabilità di un plasma possono essere divise in due categorie principali: macroscopiche (o MHD) e microscopiche. Noi qui ci occupiamo di quelle macroscopiche, le quali possono essere trattate dal punto di vista della magnetoidrodinamica e riguardano una modifica dela configurazione geometrica del plasma o del fluido conduttore. Lo studio di queste instabilità ha_;a che fare prevalentemente col problema del confinamento magnetico.

Le instabilità 'microscopiche¹riguardano invece altri fenomeni (resistività, diffusione, trasporto di calore,..) e solo indirettamente il confinamento. Per descrivere instabilità 'microscopiche' e’

necessario ricorrere alla teoria cinetica, dato che esse sono basate su cambiamenti nelle funzioni di distribuzione delle velocità; questo tipo di informazione, come si sa, è perduta nel modello

idromagnetico.

Illustriamo, dal punto di vista fisico, alcuni esempi molto importanti di instabilità, che si possono presentare in esperimenti che interessano la fusione. Come abbiamo visto, una colonna di fluido conduttore percorsa da una forte corrente (di densità J_z) in senso longitudinale, ammette una configurazione di equilibrio quando il gradiente radiale della pressione del fluido bilancia l'azione

Instabilità di “kink”

B_θ e il campo magnetico azimuthale generato dalla stessa corrente (Z-pinch o pinch lineare). Dal punto di vista

sperimentale, la caratteristica che più colpisce in un Z-pinch e la sua marcata predilezione per piegarsi e storcersi,

prima di distruggersi; si tratta di una configurazione intrinsecamente instabile.

Una instabilità caratteristica dello Z-pinch è quella detta

‘kink instability^’. Per darne una spiegazione intuitiva, immaginiamo di dare alla colonna di fluido una piccola deformazione del tipo di quella illustrata in fig. XII-5.

Osserviamo che le linee di campo magnetico esterno B_θ si infittiscono nel lato concavo della

superficie incurvata, mentre sul lato convesso le linee sono diradate. Dove le linee sono più fitte, il campo magnetico (e quindi la pressione magnetica) è più elevata; perciò questo tipo di

deformazione comporta la comparsa di forze che tendono ad esaltare la deformazione stessa, donde l'instabilità.

Una configurazione del tipo Z-plnch può tuttavia essere resa stabile introducendo ulteriori

componenti di campo magnetico. Facendo avvenire una scarica del tipo Z-pinch in un ambiente dove preesiste un campo magnetico stazionario B_zdiretto secondo lo asse z, si può ottenére una configurazione stabile (‘Z-pinch stabilizzato^”), purché l'intensità di B_z sia scelta opportunamente.

Questo campo assiale è ottenuto in pratica mediante una corrente che circola secondo θ in conduttori esterni in un tempo molto più lungo del tempo di durata della scarica principale.

Figura XII-5

)

)

(

( r e

^{i m −nz}

= ξ

₀ ^θ

ξ

^{m= 1}

Campo assiale stabilizzante

Instabilità di “sausage”

Durante una instabilità del tipo 'kink', anche le linee di campo magnetico intrappolato, dirette secondo z, subiscono una deformazione analoga, ma per le loro proprietà 'elastiche^rnei confronti delle curvature, tenderanno a 'raddrizzarsi' come se fossero delle corde tese. Questo ha un effetto stabilizzante, in quanto tende a riportare il sistema nella sua configurazione originaria, cioè rettilinea.

Un'altra instabilità caratteristica dello Z-pinch, molto affine come natura all'instabilità 'kink', è la così detta 'instabilità a salsiccia'

('sausage. instability' ). Per darne una spiegazione intuitiva, in fig.

XII-6 è mostrata la tipica perturbazione (a simmetria assiale) della configurazione di equilibrio. Dato che il campo B_θ, prodotto dalla corrente, varia come l'inverso di r, la pressione magnetica esterna che agisce sulla superficie del plasma si intensifica dove la

perturbazione produce una strozzatura nel plasma ed è più debole

m= 1

Campo assiale stabilizzante

Per spiegare l'effetto stabilizzante, si deve tener conto del fatto che il plasma si forma in presenza di un campo magnetico preesistente,

quindi ^:la compressione radiale dovuta alla scarica principale avviene in questo caso in un plasma avente già nel suo interno un campo

magnetico diretto secondo z

Questo campo magnetico, anch’ esso 'intrappolato^’dal plasma viene anche intensificato per effetto della compressione radiale, per il fatto che essa comporta un infittimento delle linee di campo (per la nota proprietà di 'essere attaccante ' al fluido).

Stabilizzazione

Questa disuniformità nel campo magnetico esterno che così si viene a creare, fa sì che la perturbazione si esalti; le strozzature si contraggono sempre più fino all'asse, dando al plasma 'un aspetto simile ad una fila.di salsicce, da cui deriva il nome dell'instabilità.

Anche per questo tipo di instabilità è efficace l'effetto stabilizzante di un campo magnetico assiale

preesistente alla scarica. Ragionando infatti con un campo magnetico interno B_θ, dato che le linee di campo magnetico si possono ritenere 'incollate' al fluido, una strozzatura nella colonna di plasma è accompagnata da un locale, infittimento di linee e, quindi da una intensificazione* del campo magnetico interno e della pressione magnetica interna che si oppone così alla deformazione.

)

)

(

( r e

^{i m −nz}

= ξ

₀ ^θ

ξ

^{m= 0}

a) b) Figura XII-6

Instabilità MHD in un fluido conduttore

Instabilita’ di kink Instabilita’ di sausage

Figura XII-7

Scocca conduttrice

Un altro metodo frequentemente usato in pratica, che contribuisce validamente a limitare gli spostamenti o le deformazioni di una colonna di plasma che trasporta corrente, consiste in un conduttore cilindrico esterno, coassiale alla colonna, detto 'scocca' .(fig.XII-8)..

Esso viene realizzato di solito in rame di spessore opportuno. Dato che il campo azimuthale Β_θ rimane imprigionato nello spazio compreso fra due conduttori ad elevata conducibilità (la scocca ed il

plasma), è intuibile che un eventuale spostamento della colonna provocherà una compressione delle linee, con conseguente intensificazione di Β_θ. L'aumento di pressione magnetica che così si produce, tende ad allontanare la colonna di plasma dalle pareti.

E^’ interessante ricordare che le instabilità di tipo 'salsiccia¹e 'kink¹non sono proprietà esclusive di plasmi di laboratorio, ma sono state osservate anche in esperimenti fatti con fluidi conduttori, come il mercurio.

Figura XII-8

Instabilità in geometria toroidale

Anche in macchine toroidali possono comparire ovviamente instabilità MHD del tipo 'salsiccia¹' e 'kink' e questo potrà accadere in presenza di forti correnti toroidali J (per esempio nei Tokamak).

A causa dell’ andamento elicoidale delle linee magnetiche, 'instabilità di tipo 'kink^’ assume in particolare una struttura elicoidale, che in coordinate toroidali r,θ,φ (vedi Fig. XII-8) potrà essere espressa come una

deformazione del tipo

Notiamo che |m| = 1 implica solo una traslazione della colonna rispetto al suo asse senza deformazione, mentre per |m| >2 si ha una deformazione senza traslazione (fig. XII-9).

Come al solito, un aumento locale di B_θ provoca un piegamento della

colonna e da origine all'instabilità. Un forte campo toroidale B_φ ha un effetto stabilizzante: questo è la base della stabilità nei Tokamaks.

Si deve tener presente però che la struttura elicoidale della perturbazione può avere una conseguenza molto importante, in relazione con

l'andamento pure elicoidale delle linee di campo magnetico

)

)

(

( r e

^{i mθ−nφ}

= ξ

₀

ξ

m = 0, n = 0

m = 0

m = 3

m = 4, m = 1,

m = 2,

Se noi infatti ricordiamo la definizione del 'fattore di sicurezza' q, vediamo che esso è legato al passo delle linee di campo magnetico e

precisamente è uguale al rapporto fra il numero di periodicità secondo θ

Stabilità di sistemi MHD

Se avviene che in una certa superficie dello spazio le linee di campo e la perturbazione hanno lo stesso passo di elica, cioè

q = m/n

quella superficie si dirà una superficie magnetica risonante.

Ora, se la struttura geometrica del modo elicoidale coincide con quella del campo magnetico

imperturbato, il plasma può 'scivolare via¹ come se non vi fosse campo: si crea così una situazione potenzialmente instabile.

Allo scopo di evitare il caso pjù dannoso (n=l,- m=l), deve valere all'interno del sistema (cioè plasma e vuoto circostante, se esiste) la seguente condizione:

(XVI-9) q > 1

Questa disuguaglianza è nota come la condizione di Kruskal-Shafranov ed è di importanza fondamentale per la stabilita’ del Tokamak.

In un Tokamak q(r) ha un andamento minimo al centro della colonna e crescente verso la periferia;

perché la condizione (XVI-9) valga ovunque, si fa in modo che il valore alla periferia sia (XVI-10) 2 < q(a)< 3

La condizione di Kruskal-Shafranov assicura un grado di stabilità molto soddisfacente nel

confinamento del plasma. D’altra parte implica un limite piuttosto severo nella corrente toroidale massima che può circolare nel plasma.

Criteri di stabilità

Le proprietà poco favorevoli per^rla stabilità che abbiamo riscontrato nel campo magnetico azimutale B_θ nel confinamento di un plasma cilindrico (Z-pinch), possono avere una interpretazione più generale.

Si può affermare infatti che ogni volta che il campo esterno (il campo che confina il plasma) ha linee che presentano una concavità verso il plasma, qualunque ondulazione del plasma tenderà ad esaltarsi, analogamente a quanto avviene, nelle instabilità a salsiccia e 'kink'.

Viceversa, i campi confinanti che sono 'convessi¹verso il plasma, tendono a smorzare, perturbazioni di questo tipo.

Infatti se immaginiamo una espansione del plasma verso l'esterno, il campo magnetico sulla superficie di contorno risulterà ovviamente intensificato se il grad|B| è diretto verso l'esterno, indebolito se ha direzione opposta..

Nel primo caso, la deformazione fa sì che il campo magnetico esterno prema con una 'pressione magnetica^’ B²/2u₀maggiore contro la‘ superficie del plasma, in maniera da farla tornare indietro (equilibrio stabile).

Nel secondo caso, la forza del campo magmatico decresce e la pressione del plasma non è più equilibrata. Ne segue una rapida espansione (equilibrio instabile). Ora si può prevedere come varia,|B| in vicinanza della superficie di contorno del plasma, semplicemente guardando la geometria delle linee di forza

Configurazione instabile

Configurazione instabile

Figura XII-10 che passano vicino a tale superficie. In particolare, se le linee di forza vicino al

contorno del plasma, giacciono in un piano, |B| cresce verso il loro centro di curvatura, cioè grad |B| è orientato lungo la normale alla linea di forza e diretto verso il centro di

Instabilità di interscambio

Quindi, se il plasma ha una superficie convessa (Fig.XII-10 a), il suo contorno sarà instabile e se la. superficie del plasma è concava (Fig.XII-10 b) esso sarà stabile. In queste condizioni, la

stabilità o,l‘ instabilità ha un carattere locale, dato che essa è determinata dalla geometria del campo esterno in vicinanza di una data porzione di superficie del' plasma.

Quindi si dimostrano molto adatti campi che presentano la 'convessità' verso il plasma, oppure, in altre parole, campi le cui linee di forza hanno il centro di curvatura situato fuori dal plasma,

anziché dentro il plasma.

Il modo tipo 'salsiccia' può anche essere considerato appartenere alla famiglia delle instabilità di interscambio, nel senso che, come si vede dalla fig. XII-11 , è una 'perturbazione' della superficie di contorno che comporta che una parte di fluido (e relativo campò magnetico 'interno') si

trasferisce nella zona 'vuota' e viceversa una parte di zona occupata dal solo campo magnetico 'esterno' prende il posto del fluido. E' intuibile che si potrà fondare un criterio di stabilità su

considerazioni energetiche: se l'interscambio comporta un abbassamento dell'energia totale del sistema, la deformazione tenderà ad esaltarsi e viceversa se l'energia aumenta, la deformazione tenderà a scomparire. Questo è in stretta analogia con quanto detto, a proposito dell'instabilità di Rayleigh-Taylor otteniamo una configurazione di equilibrio instabile quando un fluido di densità

ρ

_II

(

per esempio mercurio) si appoggia sopra un altro fluido meno denso (per esempio acqua, con

ρ

_II

> ρ

_I) in un campo gravitazionale.

Instabilità di interscambio

Assumendo che.all'inizio il contorno fra i due fluidi sia un piano orizzontale, qualunque perturbazione che produca una ondulazione di questa superficie di contorno, comporta un 'interscambio' nelle posizioni di parte dei due fluidi con conseguente calo dell'energia totale del sistema e una rapida crescita dell'ampiezza dell'ondulazione nel tempo.

SÌ può far vedere però che una eventuale 'tensione superficiale^’dei fluidi tende a frenare

l'insorgere e la crescita dell¹instabilità; perturbazioni con lunghezza d'onda inferiori ad una certa lunghezza d'onda, critica vengono stabilizzate per effetto della tensione superficiale.

Che cosa accade quando i fluidi sono conduttori ed è presente un campo magnetico? Questo caso generale è piuttosto complicato; ci limitiamo a prendere in considerazione un caso

particolare (che non ha alcun riscontro in dinamica dei fluidi) in cui un piasma perfettamente

conduttore è sostenuto da un campo magnetico contro la gravita, cioè

ρ

II = 0. Supponiamo che la densità del plasma e il campo magnetico siano funzioni di y (vedi fig. XII-11) e che la superficie di separazione sia inizialmente il piano y = 0.

Instabilità di interscambio

che le ondulazioni 'parallele¹(cioè con k//B) sono quelle che crescono più in fretta delle altre.

Supponiamo che la perturbazione della superficie di contorno plasma-vuoto sia un'ondulazione esprimibile come

(XVI-11)

ξξξξ (r,t) = ξξξξ (y) expi( ω t-kx)

e che il fluido sia incomprimibile. Allora, se il campo magnetico (diretto lungo z) è

perpendicolare alla direzione x) lungo là quale si estende l'ondulazione, si può dimostrare che si ha una instabilità del tutto analoga all'instabilità di Rayleigh-Taylor dei fluidi.

Le soluzioni che si ottengono sono instabili per qualunque valore del numero d'onda k e più grande è k (più piccola è la lunghezza d'onda), più rapida è la crescita dell‘ instabilità. Il fatto di non trovare differenze rispetto al caso dei fluidi ordinari, si spiega dal punto di vista fisico, perché la perturbazione non produce distorsioni delle linee di campo e non comporta quindi alcun

cambiamento nell'energia magnetica del sistema.

Questo analogo dell'instabilità di Raileigh-Taylor è noto in magnetoidrodinamica come 'l'instabilità di Kruskal-Schwarzschild'.

Se invece l'ondulazione non è parallela alle linee di campo magnetico (k non perpendicolare a B), il tasso di crescita dell'instabilità risulta diminuito. Questo è comprensibile, dato che le linee deformandosi esercitano una forza stabilizzante, specialmente alle lunghezze d'onda corte.

Questo fatto però non è di alcuna utilità, esso comporta solo

Instabilità di interscambio

Diverso è invece il caso in cui c'è uno 'shear' (scorrimento) nelle superfici magnetiche, in modo tale che il campo cambi di direzione sulle due facce del contorno. Tutte le ondulazioni risentono così delle deformazioni delle linee di campo ed i più grossi tassi di crescita possono effettivamente

venirne ridotti. Si può dire, che lo 'shear' del campo magnetico gioca un ruolo analogo alla 'tensione superficiale‘ in dinamica dei fluidi.

L'interesse per questo tipo di instabilità non risiede tanto nel comportamento instabile di un fluido confinato contro forze di gravità, ma nelle instabilità di sistemi confinati magneticamente contro forze d'inerzia: per esempio, fluidi soggetti ad accelerazioni oppure fluidi che si muovono lungo linee di campo incurvate, che risentono pertanto di forze centrifughe.

Un'altra instabilità della categoria delle 'instabilità di interscambio', che compare tipicamente nel confinamento di colonne di plasma in macchine a specchio, è nota come instabilità 'flute' ('flute instability ' ).

Essa provoca una deformazione del contorno della colonna, che ha di caratteristico di essere costante lungo le linee di B (vedi fig. XII-12a). La forma che ne risulta richiama alla mente una colonna scanalata e da qui deriva il nome dell'instabilità. L'interscambio fra zone occupate dal plasma e zone occupate .dal solo campo magnetico è illustrato nella figura. E' anche interessante ricordare che, a differenza delle instabilità di tipo "salsiccia" e "kink" che nello z-pinch sono dovute alla corrente che percorre il plasma in direzione assiale, le instabilità di tipo "flute" sono alimentate dalla "corrente diamagnetica", che¹permette ad un plasma di avere grad p ≠0 in un campo B

applicato dall'esterno.

Instabilità ‘Flute’

Una spiegazione intuitiva di questa instabilità può essere data con l'aiuto della figura XII-12 : le

protuberanze del contorno sono contrastate da un campo magnetico indebolito, mentre le rientranze contengono linee di campo infittite, quindi con pressione magnetica incrementata. Il risultato è una crescita esponenziale della perturbazione.

Figura XII-12

Instabilità di interscambio