Introduzione alle SERIE di FOURIER

(1)

(2)

Polinomi trigonometrici

Si dicepolinomio trigonometricouna funzione della forma

a +

n

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx)

dove n ∈ N e a, ak, bk∈ R, k = 1, . . . n, tali valori sono detticoefficienti del polinomio trigonometrico.

Osserviamo che per ogni k ∈ N, a^k, bk∈ R, la funzione akcos(kx) + bksin(kx)

`e funzione periodica di periodo ^2π_k e dunque anche di periodo 2π.

Ne segue allora che ogni polinomio trigonometrico risulta funzione periodica di periodo 2π.

(3)

Serie Trigonometriche

Supponiamo che una successione di polinomi trigonometrici

sn(x) = a +

n

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx), n ∈ N

risulti convergente in ogni x ∈ R, ovvero che laserie trigonometrica

a +

∞

X

k=1

sia convergente in ogni x ∈ R e denotiamo con f (x) la sua somma.

Dato che le somme parziali di tale serie sono funzioni periodiche di periodo 2π, la somma f (x) risulter`a definita in tutto R e periodica di periodo 2π.

(4)

Ci chiediamo se viceversa, data una funzione f (x) definita in R e periodica di periodo 2π, esiste una serie trigonometrica che converge a f (x) in ogni x ∈ R. Altrimenti detto:

data una funzione f (x) definita in R e periodica di periodo 2π, esistono a, ak, bk∈ R tali che risulti

f (x) = a +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx) per ogni x ∈ R?

Se vale un tale sviluppo diremo che la funzione `esviluppabile in serie di Fourier.

I coefficienti a, ak, bk∈ R per cui l’uguaglianza risulta valida dipendono dai valori che la funzione f (x) in un intervallo di ampiezza 2π, per determinarli ragioniamo come, probabilmente, fece Jean Baptiste Joseph Fourier

(5)

Supponiamo che f (x), definita in R e periodica di periodo 2π, sia funzione integrabile in [−π, π]. Osserviamo che in tal caso saranno periodiche di periodo 2π anche le funzioni

f (x) cos(mx) e f (x) sin(mx), ∀m ∈ N.

Supponiamo inoltre che valga

(1) f (x) = a +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx), ∀x ∈ R

e che l’uguaglianza continui a valere anche dopo aver moltiplicato i due membri per sin(mx), con m ∈ N, e integrato termine a termine in [−π, π]

(2) Z π

−π

f (x) sin(mx) dx = a Z π

−π

sin(mx) dx +

+

+∞

X

k=1

ak

Z π

−π

cos(kx) sin(mx) dx + bk

Z π

−π

sin(kx) sin(mx) dx

ne segue che bm= 1 π

Z π

−π

f (x) sin(mx) dx

(6)

Per provarlo, osserviamo innanzitutto che Z π

−π

sin(mx) dx = 0 e Z π

−π

cos(kx) sin(mx) dx = 0, ∀ m, k ∈ N

dato che l’integranda `e funzione dispari e l’intervallo [−π, π] `e simmetrico rispetto all’origine.

Per calcolareRπ

−πsin(kx) sin(mx) dx possiamo integrare per parti due volte ottenendo

Z π

−π

sin(kx) sin(mx) dx =

®0 se m 6= k π se m = k e da (2) ne deduciamo che

Z π

−π

f (x) sin(mx) dx = bm· π ⇒ bm= 1 π

Z π

−π

f (x) sin(mx) dx

(7)

Allo stesso modo, moltiplicando

(1) f (x) = a +

+∞

X

k=1

per cos(mx) con m ∈ N ∪ {0} e integrando termine a termine in [−π, π], supponiamo che valga l’uguaglianza

(3) Z π

−π

f (x) cos(mx) dx = a Z π

−π

cos(mx) dx +

+

+∞

X

k=1

ak

Z π

−π

cos(kx) cos(mx) dx + bk

Z π

−π

sin(kx) cos(mx) dx

Dalla precedente uguaglianza, otteniamo che am= 1

π Z π

−π

f (x) cos(mx) dx ∀m ∈ N e a = 1 2π

Z π

−π

f (x) dx

Nota: per uniformit`a si pone a0= 1 π

Z π

−π

f (x) dx = 1 π

Z π

−π

f (x) cos 0 dx, dunque a =^a₂⁰.

(8)

Abbiamo quindi che data f (x) funzione definita in R, periodica di periodo 2π e integrabile in [−π, π] , se vale

(1) f (x) = ^a₂⁰+

+∞

X

k=1

e le operazioni di integrazione termine a termine sono lecite , allora ak= 1

π Z π

−π

f (x) cos(kx) dx, ∀k ∈ N ∪ {0}

bk= 1 π

Z π

−π

f (x) sin(kx) dx, ∀k ∈ N

Tali coefficienti sono detticoefficienti di Fourierdi f (x) e la corrispondente serie trigonometrica

a₀ 2 +

+∞

X

k=1

`e dettaserie di Fourierdi f (x)

(9)

Prima di vedere un esempio, osserviamo che in generale

se f (x) `e funzione dispari in [−π, π], allora

ak= ¹_π Z π

−π

f (x) cos(kx) dx = 0 per ogni k ∈ N ∪ {0}

e dunque la serie di Fourier di f (x) conterr`a solo seni,

se f (x) `e funzione pari in [−π, π], allora

bk= ¹_π Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = 0 per ogni k ∈ N

e quindi la serie di Fourier di f (x) conterr`a solo coseni.

(10)

Un esempio notevole: serie di Fourier dell’onda triangolare

IDeterminiamo la serie di Fourier della funzione f (x) definita come f (x) =^π₂ − |x| per x ∈ [−π, π)e prolungata per periodicit`a su tutto R

L’onda triangolare

(11)

La funzione `e pari e dunque bk=_π¹Rπ

−πf (x) sin(kx) dx = 0 per ogni k ∈ N.

Abbiamo poi a0=_π¹

Z π

−π

f (x) dx =_π² Z π

0

(^π₂ − x) dx =_π²_π

2x −¹₂x²^π

0 = 0 mentre, integrando per parti, si ha

ak=_π¹ Z π

−π

f (x) cos(kx) dx =_π² Z π

0

(^π₂ − x) cos(kx) dx

=_π²î

(^π₂ − x)^sin(kx)_k ó^π

0 +_kπ² Z π

0

sin(kx) dx

=_kπ² î

−^cos(kx)_k ó^π

0 =_k²₂_π(1 − cos(kπ)) =

®0 se k `e pari

4

k²π se k `e dispari dato che cos(kπ) = (−1)^k per ogni k ∈ N.

Si ottiene allora che la serie di Fourier dell’onda triangolare `e

+∞

X

k=0 4

π(2k+1)²cos(2k + 1)x =_π⁴

+∞

X

k=0

cos(2k+1)x (2k+1)²

(12)

Convergenza della serie di Fourier

Vediamo ora sotto quali ipotesi la serie di Fourier risulta convergente alla funzione associata.

Data f (x) funzione definita in R, periodica di periodo 2π e integrabile su [−π, π] ci chiediamo se la sua serie di Fourier

a₀ 2 +

+∞

X

k=1

dove ak= ¹_πRπ

−πf (x) cos(kx) dx e bk= ¹_πRπ

−πf (x) sin(kx) dx, converge a f (x), altrimento detto se le somme parziali

sn(x) = ^a₂⁰ +

n

X

k=1

convergono a f (x) per n → +∞.

(13)

Convergenza in media quadratica

Vale il seguente risultato

Teorema (convergenza in media quadratica)

Se f (x) `e funzione periodica di periodo 2π integrabile (secondo Riemann) in [−π, π] allora

Z π

−π

|f (x) − sn(x)|²dx → 0 per n → +∞

e vale l’identit`a di Parseval

1 π

Z π

−π

f²(x) dx = ^a

2 0 2 +

+∞

X

k=1

(a²k+ b²k)

Nota: dall’identit`a di Parseval otteniamo in particolare che la serie a secondo membro `e convergente e dunque che a²_k+ b²_k→ 0 per k → +∞. Per definizione otteniamo allora che

lim

k→+∞

Z π

−π

f (x) cos(kx) dx = lim

k→+∞

Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = 0

Tale risultato `e noto comeLemma di Riemann-Lebesgue

(14)

Convergenza puntuale

Al risultato riguardo alla convergenza puntuale, cio`e in un dato punto x0∈ R, premettiamo la seguente definizione.

Si dice che una funzione f (x) `edi classe C¹ a tratti in un intervallo [a, b] se esiste una partizione a = x0< x1< ... < xn= b tale che

• f (x) risulta derivabile con derivata continua in (xi−1, xi),

• esistono finiti i limiti di f (x) e f⁰(x) per x → x⁺_i−1e per x → x⁻_i per ogni i = 1, . . . , n.

Nota: Una funzione di classe C¹ a tratti in [a, b] sar`a quindi continua in[a, b]

eccetto al più un numero finito di punti dove potrà presentare discontinuità eliminabili o di salto (si dice anche che è continua a tratti in [a, b]). Sarà inoltre derivabile con derivata continua in (a, b) eccetto al più un numero finito di punti dove potrà presentare discontinuità eliminabili o di salto oppure punti angolosi.

Una funzione f (x) `e detta infinedi classe C¹ a tratti in R se risulta tale in ogni intervallo [a, b] ⊂ R.

(15)

Vale allora

Teorema (convergenza puntuale)

Se f (x) `e funzione periodica di periodo 2π di classe C¹ a tratti in R allora per ogni x0 ∈ R si ha

sn(x0) → ^{f (x}

+ 0)+f (x⁻

0)

2 per n → +∞

dove f (x^±₀) = lim

x→x^±₀

f (x).

Nota: Se f (x) `e continua in x0allora sn(x0) converge a f (x0) per n → +∞, altrimenti sn(x0) tende alla media ^{f (x}

+ 0)+f (x⁻₀)

2

I L’onda triangolare f (x) `e funzione continua in R, di classe C¹ a tratti in R pertanto la sua serie di Fourier converge a f (x) in ogni x ∈ R

+ vedi pagina moodle

(16)

Esempi notevoli

I Determiniamo la serie di Fourier della funzionef (x) = x² in [−π, π), prolungata per periodicit`a su tutto l’asse reale. La funzione `e pari e quindi bk= 0 per ogni k ∈ N mentre integrando per parti due volte si ha

ak= ¹_π Z π

−π

f (x) cos(kx) dx =_π² Z π

0

x²cos(kx) dx =

®_2π2

3 se k = 0

(−1)^{k 4}_k2 se k ≥ 1 Si ottiene allora che la serie di Fourier di f (x) `e

π² 3 + 4

+∞

X

k=1 (−1)^k

k² cos(kx)

Essendo f (x) continua e di classe C¹ a tratti in R abbiamo che tale serie converge a f (x) in ogni x ∈ R

+vedi pagina moodle

(17)

L’onda quadra

IConsideriamo la funzione f (x) definita come

f (x) =

®1 se x ∈ [0, π)

−1 se x ∈ [−π, 0)

nell’intervallo [−π, π) ed estesa per periodicit`a su tutto R.

Poich´e la funzione `e dispari avremo ak= 0 per ogni k ∈ N ∪ {0}

mentre

b_k =_π¹ Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = _π² Z π

0

sin(kx) dx =

®0 se k `e pari

4

kπ se k `e dispari Si ottiene allora che la serie di Fourier di f (x) `e

+∞

X

k=0 4

π(2k+1)sin((2k + 1)x) = _π⁴

+∞

X

k=0

sin((2k+1)x) 2k+1

(18)

Essendo la funzione di classe C¹ in (−π, 0) e in (0, π), abbiamo che in tali intervalli la serie converge a f (x)

4 π

+∞

X

k=0

sin((2k+1)x)

2k+1 = 1 ∀x ∈ (0, π) e _π⁴

+∞

X

k=0

sin((2k+1)x)

2k+1 = −1 ∀x ∈ (−π, 0) Osserviamo invece che in x = 0 e x = ±π la serie risulta identicamente nulla. Abbiamo quindi che la serie converge alla somma

g(x) =







1 se x ∈ (0, π)

−1 se x ∈ (−π, 0) 0 se x = 0 e x = ±π La funzione g(x) `e detta regolarizzata della funzione f (x)

(19)

Data una funzione f (x) definita su tutta la retta reale, periodica di periodo 2T e integrabile in [−T, T ], si diceserie di Fourier di f la serie di funzioni

(∗) ^a₂⁰ +

+∞

X

k=1

akcos(kωx) + bksin(kωx)

dove ω =^π_T e

ak=_T¹ Z T

−T

f (x) cos(kωx) dx e bk=_T¹ Z T

−T

f (x) sin(kωx) dx sono detticoefficienti di Fourierdi f .

Come nel caso in cui T = π, si può provare che se f è funzione di classe C¹ a tratti in R, allora la serie (∗) converge a f (x) se x è un punto di

continuità per f , alla media ^{f (x}⁺^{)+f (x}₂ ⁻⁾ se x è un punto di discontinuità (di salto o eliminabile) dove f (x^±) = lim

h→0^±

f (x + h).

(20)

L’onda a dente di sega

IConsideriamo la funzione f (x) definita comef (x) = _Tâx per x ∈ [−T, T )e prolungata per periodicità su tutto R, dove a > 0 è detta ampiezza dell’onda.

La funzione `e dispari, dunque i coefficienti ak saranno nulli mentre per i coefficienti bk, operando la sostituzione t = ωx =_T^πx, abbiamo

b_k= _T¹ Z T

−T a

Tx sin(kωx) dx = _T^2a₂ Z T

0

x sin(kωx) dx = ^2a_π₂ Z π

0

t sin(kt) dt

L’ultimo integrale si pu`o calcolare per parti ottenendo Z π

0

t sin(kt) dt = (−1)^{k+1 π}_k

Ne segue che b_k = ^2a_π ⁽⁻¹⁾_k^k+1 e dunque che la serie di Fourier dell’onda a dente di sega `e

2a π

+∞

X

k=1

(−1)^k+1

k sin(kωx).