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LEZIONE 5
In Statistica esiste una importante famiglia di indici, chiamati MOMENTI, di cui fa parte anche la media aritmetica che è stata studiata nella lezione precedente.
I momenti si dividono in
- MOMENTI ORDINARI (O DALL’ORIGINE) - MOMENTI CENTRALI
Questi indici, che possono essere calcolati solo per variabili quantitative (sia discrete, sia continue), consentono di evidenziare diverse caratteristiche della variabile che verranno descritte nelle lezioni seguenti.
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Il MOMENTO ORDINARIO (O DALL’ORIGINE) DI ORDINE r corrisponde alla media dei valori della variabile elevati alla potenza r-esima.
Considerata la sequenza di n osservazioni 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
relative a una variabile X rilevata su n unità statistiche, il generico momento ordinario (o dall’origine) di ordine r corrisponde alla media calcolata non sulla sequenza originaria, ma sulla sequenza dei valori elevati alla potenza r-esima, ossia sulla sequenza dei valori
𝑥1𝑟, 𝑥2𝑟, … , 𝑥𝑛𝑟
Indicato con 𝑚𝑟 o 𝑚𝑟𝑥 il momento ordinario di ordine r per una variabile quantitativa X si ha quindi
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝑥 = 1
𝑛∑ 𝑥𝑖𝑟
𝑛
𝑖=1
per r = 0, 1, 2, ...
Dalla formula precedente risulta che il momento ordinario di ordine zero (ossia calcolato per r=0) risulta sempre uguale a 1, mentre per r = 1 si ottiene la media delle osservazioni: la media aritmetica, quindi, corrisponde al momento ordinario di ordine 1.
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Esercizio
Data la sequenza dei seguenti quattro valori di una variabile discreta X 0 2 3 5
il secondo momento ordinario (o dall’origine) è pari a m2 =m2x = (0+4+9+25)/4 = 9.5
Nel caso di una distribuzione di frequenza relativa a una variabile discreta la formula del generico momento ordinario di ordine r assume forme diverse a seconda che nella tabella compaiano le frequenze assolute o le frequenze relative(così come visto anche nel caso della media).
Indicando con k il numero di valori diversi assunto dalla variabile X e con cj il generico valore della X a cui è associata la frequenza assoluta nj o la frequenza relativa fj le formule del momento di ordine r corrispondono a
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝑥 = 1
𝑛∑ 𝑐𝑗𝑟𝑛𝑗
𝑘
𝑗=1
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝑥 = ∑ 𝑐𝑗𝑟𝑓𝑗
𝑘
𝑗=1
per r = 0, 1, 2, ...
Esercizio
Considerata la seguente distribuzione di frequenza relativa a una variabile quantitativa discreta X
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Determinazioni Frequenza relativa
1 0.4
2 0.3
3 0.2
4 0.1
1.0
il momento ordinario di ordine 2 risulta pari a
m2 =m2x = 1×0.4+4×0.3+9×0.2+16×0.1=5
Se la distribuzione di frequenza è relativa a una variabile X continua, nella prima colonna della tabella compaiono le classi di valori. In questo caso per il calcolo si adotta la stessa convenzione utilizzata per la media aritmetica e si utilizza quindi il valore centrale delle classi.
Indicando con 𝑐̅𝑗 il valore centrale della j-esima classe (per j = 1, 2, …, k) il generico momento ordinario di ordine r calcolato su una distribuzione in classi assume le due forme seguenti (a seconda che nella tabella compaiano le frequenze assolute o le frequenze relative)
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝑥 ≈ 1
𝑛∑ 𝑐̅𝑗𝑟 𝑛𝑗
𝑘
𝑗=1
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝑥 ≈ ∑ 𝑐̅𝑗𝑟 𝑓𝑗
𝑘
𝑗=1
per r = 0, 1, 2, ...
Il risultato così ottenuto è ovviamente approssimato e, nel caso in cui si disponesse della sequenza originaria delle osservazioni, il momento andrebbe calcolato sulla sequenza, in modo da ottenere un risultato esatto.
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Esercizi
1) Considerata la seguente distribuzione in classi
Determinazioni Frequenza assoluta
-2 − 0 5
0 − 2 25
2 − 20
50 il terzo momento dall’origine corrisponde a
m3 =m3x = (-13×5+13×25+43×20)/50=26
2) Considerata la seguente distribuzione in classi
Determinazioni Frequenza relativa
0 − 4 0.05
4 − 10 0.25
10 − 0.50
20 − 0.20
1.00 il secondo momento dall’origine corrisponde a
m2 =m2x = 22×0.05+72×0.252+152×0.5+352×0.2=369.95
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Il MOMENTO CENTRALE DI ORDINE r corrisponde alla media degli scarti dalla media della variabile elevati alla potenza r-esima.
Considerata la sequenza delle n osservazioni 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
relative a una variabile X rilevata su n unità statistiche, il generico momento centrale di ordine r corrisponde alla media calcolata sulla sequenza degli scarti dalla media 𝑥̅, ossia sulla sequenza
(𝑥1 − 𝑥̅)𝑟, (𝑥2 − 𝑥̅)𝑟, … , (𝑥𝑛 − 𝑥̅)𝑟
Indicato con 𝑚̅𝑟 o 𝑚̅𝑟𝑥 il momento centrale di ordine r per una variabile quantitativa X si ha quindi
𝑚̅𝑟 = 𝑚̅𝑟𝑥 = 1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)𝑟
𝑛
𝑖=1
per r = 0, 1, 2, ...
Per r = 0 il risultato è sempre pari a uno, mentre per r = 1 si ottiene la media della variabile scarto che, come si è visto nella lezione precedente, è sempre pari a zero.
Come si vedrà in seguito, i momenti centrali più utilizzati sono quelli di ordine 2, 3 e 4: ognuno di tali momenti fornisce informazioni diverse sulla struttura distributiva della variabile.
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Esercizio
Data la sequenza dei seguenti quattro valori di una variabile discreta X 0 2 3 5
calcolarne il terzo momento centrale.
La media, corrispondente al primo momento ordinario, è pari a m1 =𝑥̅ = (0+2+3+5)/4=2.5
per cui il terzo momento centrale risulta uguale a
𝑚̅3 = 𝑚̅3𝑥=1
4[(0 − 2.5)3+ (2 − 2.5)3+ (3 − 2.5)3+ (5 − 2.5)3] = 0
Nel caso di una distribuzione di frequenza la formula del generico momento centrale di ordine r assume forme diverse a seconda che nella tabella compaiano le frequenze assolute o le frequenze relative.
Indicato con k il numero di valori diversi assunto dalla variabile X, con cj il generico valore della X a cui è associata la frequenza assoluta nj o la frequenza relativa fj , le formule del momento centrale di ordine r corrispondono a
𝑚̅𝑟 = 𝑚̅𝑟𝑥 =1
𝑛∑(𝑐𝑗 − 𝑥̅)𝑟𝑛𝑗
𝑘
𝑗=1
𝑚̅𝑟 = 𝑚̅𝑟𝑥 = ∑(𝑐𝑗 − 𝑥̅)𝑟𝑓𝑗
𝑘
𝑗=1
per r = 0, 1, 2, ...
dove 𝑥̅ indica la media della X.
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Se la distribuzione è in classi, si utilizzano le stesse formule precedenti, sostituendo però ai valori 𝑐𝑗 i valori centrali 𝑐̅𝑗 delle k classi. Anche in questo caso i risultati ottenuti saranno solo approssimati e il calcolo andrebbe effettuato sulla sequenza originaria dei valori, se disponibile.
Esercizi
1) Considerata la seguente distribuzione di frequenza relativa a una variabile quantitativa discreta X
Determinazioni Frequenza relativa
1 0.4
2 0.3
3 0.2
4 0.1
1.0 calcolare il momento centrale di ordine 2
La media risulta pari a
𝑥̅ = 1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2 per cui il secondo momento centrale è pari a
𝑚̅2𝑥 = (1 − 2)2× 0.4 + (2 − 2)2× 0.3 + (3 − 2)2× 0.2+(4 − 2)2× 0.1 = 1
2) Considerata la seguente distribuzione in classi
Determinazioni Frequenza assoluta
-2 − 0 5
0 − 2 25
2 − 20
50
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calcolare il terzo momento centrale.
La media è pari a
𝑥̅ =1
50(−1 × 5 + 1 × 25 + 4 × 20)=2 per cui il terzo momento centrale è pari a
𝑚̅3𝑥 = 1
50[(−1 − 2)3× 5 + (1 − 2)3× 25 + (4 − 2)3× 20] = 0
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Proprietà dei momenti centrali
Considerata la sequenza delle n osservazioni 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
relativa a una variabile quantitativa X ed indicato con 𝑚̅𝑟𝑥 il suo momento centrale di ordine r, si dimostra che il momento centrale di ordine r di una trasformazione lineare del tipo
Y = a + bX risulta
𝑚̅𝑟𝑦 = 𝑏𝑟𝑚̅𝑟𝑥
Esempio
Data una variabile X il cui momento centrale di ordine 3 è pari a 𝑚̅𝑟𝑥 =12.5, il momento centrale di ordine 3 della variabile trasformata Y=4-2X è pari a 𝑚̅𝑟𝑦 = (−2)3× 12.5 = −100.
Anche per questa dimostrazione si parte dalla definizione di momento centrale di ordine r della Y e si effettuano poi le opportune sostituzioni, tenendo presente che dalla relazione lineare esistente fra X e Y risulta che
- i singoli valori di Y sono una trasformazione lineare dei valori assunti dalla X, ossia 𝑦𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑖 (per ogni i =1, 2, …, n)
- la media della Y si ottiene dalla trasformazione lineare della media di X, ossia 𝑦̅ = 𝑎 + 𝑏𝑥̅
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Dimostrazione
Per definizione, il momento centrale di ordine r della Y corrisponde a
𝑚̅𝑟𝑦 = 1
𝑛∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)𝑟
𝑛
𝑖=1
Effettuando le sostituzioni
𝑦𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑖 e
𝑦̅ = 𝑎 + 𝑏𝑥̅
si ottiene
𝑚̅𝑟𝑦 = 1
𝑛∑[𝑎 + 𝑏𝑥𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥̅)]𝑟
𝑛
𝑖=1
= 1
𝑛∑(𝑏𝑥𝑖 − 𝑏𝑥̅)𝑟
𝑛
𝑖=1
Portando fuori dalla sommatoria la costante 𝑏𝑟 si ottiene infine
𝑚̅𝑟𝑦 = 𝑏𝑟 × 1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)𝑟
𝑛
𝑖=1
= 𝑏𝑟𝑚̅𝑟𝑥
dato che, per definizione, 1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)𝑟
𝑛
𝑖=1
= 𝑚̅𝑟𝑥
I momenti di ordine r sono quindi invarianti per cambiamenti dell’origine della scala di misura, ma variano al variare dell’unità di misura
