(1)

1

LEZIONE 5

In Statistica esiste una importante famiglia di indici, chiamati MOMENTI, di cui fa parte anche la media aritmetica che è stata studiata nella lezione precedente.

I momenti si dividono in

- MOMENTI ORDINARI (O DALL’ORIGINE) - MOMENTI CENTRALI

Questi indici, che possono essere calcolati solo per variabili quantitative (sia discrete, sia continue), consentono di evidenziare diverse caratteristiche della variabile che verranno descritte nelle lezioni seguenti.

(2)

2

Il MOMENTO ORDINARIO (O DALL’ORIGINE) DI ORDINE r corrisponde alla media dei valori della variabile elevati alla potenza r-esima.

Considerata la sequenza di n osservazioni 𝑥₁ , 𝑥₂ , … , 𝑥_𝑛

relative a una variabile X rilevata su n unità statistiche, il generico momento ordinario (o dall’origine) di ordine r corrisponde alla media calcolata non sulla sequenza originaria, ma sulla sequenza dei valori elevati alla potenza r-esima, ossia sulla sequenza dei valori

𝑥₁^𝑟, 𝑥₂^𝑟, … , 𝑥_𝑛^𝑟

Indicato con 𝑚_𝑟 o 𝑚_𝑟𝑥 il momento ordinario di ordine r per una variabile quantitativa X si ha quindi

𝑚_𝑟 = 𝑚_𝑟𝑥 = 1

𝑛∑ 𝑥_𝑖^𝑟

𝑛

𝑖=1

per r = 0, 1, 2, ...

Dalla formula precedente risulta che il momento ordinario di ordine zero (ossia calcolato per r=0) risulta sempre uguale a 1, mentre per r = 1 si ottiene la media delle osservazioni: la media aritmetica, quindi, corrisponde al momento ordinario di ordine 1.

(3)

3

Esercizio

Data la sequenza dei seguenti quattro valori di una variabile discreta X 0 2 3 5

il secondo momento ordinario (o dall’origine) è pari a m₂ =m₂_x = (0+4+9+25)/4 = 9.5

Nel caso di una distribuzione di frequenza relativa a una variabile discreta la formula del generico momento ordinario di ordine r assume forme diverse a seconda che nella tabella compaiano le frequenze assolute o le frequenze relative(così come visto anche nel caso della media).

Indicando con k il numero di valori diversi assunto dalla variabile X e con cj il generico valore della X a cui è associata la frequenza assoluta nj o la frequenza relativa fj le formule del momento di ordine r corrispondono a

𝑚_𝑟 = 𝑚_𝑟𝑥 = 1

𝑛∑ 𝑐_𝑗^𝑟𝑛_𝑗

𝑘

𝑗=1

𝑚_𝑟 = 𝑚_𝑟𝑥 = ∑ 𝑐_𝑗^𝑟𝑓_𝑗

𝑘

𝑗=1

per r = 0, 1, 2, ...

Esercizio

Considerata la seguente distribuzione di frequenza relativa a una variabile quantitativa discreta X

(4)

4

Determinazioni Frequenza relativa

1 0.4

2 0.3

3 0.2

4 0.1

1.0

il momento ordinario di ordine 2 risulta pari a

m₂ =m₂_x = 1×0.4+4×0.3+9×0.2+16×0.1=5

Se la distribuzione di frequenza è relativa a una variabile X continua, nella prima colonna della tabella compaiono le classi di valori. In questo caso per il calcolo si adotta la stessa convenzione utilizzata per la media aritmetica e si utilizza quindi il valore centrale delle classi.

Indicando con 𝑐̅_𝑗 il valore centrale della j-esima classe (per j = 1, 2, …, k) il generico momento ordinario di ordine r calcolato su una distribuzione in classi assume le due forme seguenti (a seconda che nella tabella compaiano le frequenze assolute o le frequenze relative)

𝑚_𝑟 = 𝑚_𝑟𝑥 ≈ 1

𝑛∑ 𝑐̅_𝑗^𝑟 𝑛_𝑗

𝑘

𝑗=1

𝑚_𝑟 = 𝑚_𝑟𝑥 ≈ ∑ 𝑐̅_𝑗^𝑟 𝑓_𝑗

𝑘

𝑗=1

per r = 0, 1, 2, ...

Il risultato così ottenuto è ovviamente approssimato e, nel caso in cui si disponesse della sequenza originaria delle osservazioni, il momento andrebbe calcolato sulla sequenza, in modo da ottenere un risultato esatto.

(5)

5

Esercizi

1) Considerata la seguente distribuzione in classi

Determinazioni Frequenza assoluta

-2 − 0 5

0 − 2 25

2 −  20

50 il terzo momento dall’origine corrisponde a

m₃ =m₃_x = (-1³×5+1³×25+4³×20)/50=26

0 − 4 0.05

4 − 10 0.25

10 −  0.50

20 −  0.20

1.00 il secondo momento dall’origine corrisponde a

m₂ =m₂_x = 2²×0.05+7²×0.25²+15²×0.5+35²×0.2=369.95

(6)

6

Il MOMENTO CENTRALE DI ORDINE r corrisponde alla media degli scarti dalla media della variabile elevati alla potenza r-esima.

Considerata la sequenza delle n osservazioni 𝑥₁ , 𝑥₂ , … , 𝑥_𝑛

relative a una variabile X rilevata su n unità statistiche, il generico momento centrale di ordine r corrisponde alla media calcolata sulla sequenza degli scarti dalla media 𝑥̅, ossia sulla sequenza

(𝑥₁ − 𝑥̅)^𝑟, (𝑥₂ − 𝑥̅)^𝑟, … , (𝑥_𝑛 − 𝑥̅)^𝑟

Indicato con 𝑚̅_𝑟 o 𝑚̅_𝑟𝑥 il momento centrale di ordine r per una variabile quantitativa X si ha quindi

𝑚̅_𝑟 = 𝑚̅_𝑟𝑥 = 1

𝑛∑(𝑥_𝑖 − 𝑥̅)^𝑟

𝑛

𝑖=1

per r = 0, 1, 2, ...

Per r = 0 il risultato è sempre pari a uno, mentre per r = 1 si ottiene la media della variabile scarto che, come si è visto nella lezione precedente, è sempre pari a zero.

Come si vedrà in seguito, i momenti centrali più utilizzati sono quelli di ordine 2, 3 e 4: ognuno di tali momenti fornisce informazioni diverse sulla struttura distributiva della variabile.

(7)

7

Esercizio

Data la sequenza dei seguenti quattro valori di una variabile discreta X 0 2 3 5

calcolarne il terzo momento centrale.

La media, corrispondente al primo momento ordinario, è pari a m₁ =𝑥̅ = (0+2+3+5)/4=2.5

per cui il terzo momento centrale risulta uguale a

𝑚̅₃ = 𝑚̅_3𝑥=¹

4[(0 − 2.5)³+ (2 − 2.5)³+ (3 − 2.5)³+ (5 − 2.5)³] = 0

Nel caso di una distribuzione di frequenza la formula del generico momento centrale di ordine r assume forme diverse a seconda che nella tabella compaiano le frequenze assolute o le frequenze relative.

Indicato con k il numero di valori diversi assunto dalla variabile X, con cj il generico valore della X a cui è associata la frequenza assoluta nj o la frequenza relativa fj , le formule del momento centrale di ordine r corrispondono a

𝑚̅_𝑟 = 𝑚̅_𝑟𝑥 =1

𝑛∑(𝑐_𝑗 − 𝑥̅)^𝑟𝑛_𝑗

𝑘

𝑗=1

𝑚̅_𝑟 = 𝑚̅_𝑟𝑥 = ∑(𝑐_𝑗 − 𝑥̅)^𝑟𝑓_𝑗

𝑘

𝑗=1

per r = 0, 1, 2, ...

dove 𝑥̅ indica la media della X.

(8)

8

Se la distribuzione è in classi, si utilizzano le stesse formule precedenti, sostituendo però ai valori 𝑐_𝑗 i valori centrali 𝑐̅_𝑗 delle k classi. Anche in questo caso i risultati ottenuti saranno solo approssimati e il calcolo andrebbe effettuato sulla sequenza originaria dei valori, se disponibile.

Esercizi

1) Considerata la seguente distribuzione di frequenza relativa a una variabile quantitativa discreta X

1 0.4

2 0.3

3 0.2

4 0.1

1.0 calcolare il momento centrale di ordine 2

La media risulta pari a

𝑥̅ = 1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2 per cui il secondo momento centrale è pari a

𝑚̅_2𝑥 = (1 − 2)²× 0.4 + (2 − 2)²× 0.3 + (3 − 2)²× 0.2+(4 − 2)²× 0.1 = 1

Determinazioni Frequenza assoluta

-2 − 0 5

0 − 2 25

2 −  20

50

(9)

9

calcolare il terzo momento centrale.

La media è pari a

𝑥̅ =¹

50(−1 × 5 + 1 × 25 + 4 × 20)=2 per cui il terzo momento centrale è pari a

𝑚̅_3𝑥 = 1

50[(−1 − 2)³× 5 + (1 − 2)³× 25 + (4 − 2)³× 20] = 0

(10)

10

Proprietà dei momenti centrali

Considerata la sequenza delle n osservazioni 𝑥₁ , 𝑥₂ , … , 𝑥_𝑛

relativa a una variabile quantitativa X ed indicato con 𝑚̅_𝑟𝑥 il suo momento centrale di ordine r, si dimostra che il momento centrale di ordine r di una trasformazione lineare del tipo

Y = a + bX risulta

𝑚̅_𝑟𝑦 = 𝑏^𝑟𝑚̅_𝑟𝑥

Esempio

Data una variabile X il cui momento centrale di ordine 3 è pari a 𝑚̅_𝑟𝑥 =12.5, il momento centrale di ordine 3 della variabile trasformata Y=4-2X è pari a 𝑚̅_𝑟𝑦 = (−2)³× 12.5 = −100.

Anche per questa dimostrazione si parte dalla definizione di momento centrale di ordine r della Y e si effettuano poi le opportune sostituzioni, tenendo presente che dalla relazione lineare esistente fra X e Y risulta che

- i singoli valori di Y sono una trasformazione lineare dei valori assunti dalla X, ossia 𝑦_𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑥_𝑖 (per ogni i =1, 2, …, n)

- la media della Y si ottiene dalla trasformazione lineare della media di X, ossia 𝑦̅ = 𝑎 + 𝑏𝑥̅

(11)

11

Dimostrazione

Per definizione, il momento centrale di ordine r della Y corrisponde a

𝑚̅_𝑟𝑦 = 1

𝑛∑(𝑦_𝑖 − 𝑦̅)^𝑟

𝑛

𝑖=1

Effettuando le sostituzioni

𝑦_𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑥_𝑖 e

𝑦̅ = 𝑎 + 𝑏𝑥̅

si ottiene

𝑚̅_𝑟𝑦 = 1

𝑛∑[𝑎 + 𝑏𝑥_𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥̅)]^𝑟

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛∑(𝑏𝑥_𝑖 − 𝑏𝑥̅)^𝑟

𝑛

𝑖=1

Portando fuori dalla sommatoria la costante 𝑏^𝑟 si ottiene infine

𝑚̅_𝑟𝑦 = 𝑏^𝑟 × 1

𝑛∑(𝑥_𝑖 − 𝑥̅)^𝑟

𝑛

𝑖=1

= 𝑏^𝑟𝑚̅_𝑟𝑥

dato che, per definizione, 1

𝑛∑(𝑥_𝑖 − 𝑥̅)^𝑟

𝑛

𝑖=1

= 𝑚̅_𝑟𝑥

I momenti di ordine r sono quindi invarianti per cambiamenti dell’origine della scala di misura, ma variano al variare dell’unità di misura