Fisica Generale LA N.1
Prova Scritta del 24 Luglio 2006 Prof. Nicola Semprini Cesari
Quesiti
1) L’equazione vettoriale del moto di un punto materiale è espressa in coordinate polari cilindriche dalla formula ( )r t =R t i( )R
. Esprimere il prodotto scalare tra r e v
.
3) Due masse m1 e m2 sono fissate alle estremità di una sottile asticella rigida di massa trascurabile. Nella ipotesi che questa ruoti con velocità angolare costante ω attorno ad un asse ad essa perpendicolare posto a distanza r1 e r2 dalle masse, determinare la forza agente sull’asse.
4) Eseguire il calcolo del momento d’inerzia di un cilindro materiale di raggio R0ed altezza H avente densità ρuniforme rispetto al proprio asse di simmetria.
5) Assumendo la seconda equazione cardinale della meccanica mostrare e commentare i passaggi che conducono alla equazione per il corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso.
6) Fornire la definizione operativa di forza statica e commentare la procedura di taratura del dinamometro.
m1 m2
2) Due masse sono collegate da una funicella inestensibile di massa trascurabile libera di scorrere senza attrito nella scanalatura di una carrucola. Nella ipotesi che sia
1 5
m = Kgdeterminare il valore di m2 affinché questa cada con una accelerazione pari a 1/6 di quella di gravità.
Soluzioni Q1
2 2 2 2
( ) cos sin
( ) ( cos sin ) ( sin cos )
cos sin cos sin sin cos
r t R iR R i R j
v t R R i R R j
r v RR R R R R RR
φ φ
φ φ φ φ φ φ
φ φ φ φ φ φ φ φ
= = +
= − + +
⋅ = − + + =
Q2
Le equazioni del moto sono le seguenti
21 1 1 1
12 2 2 2
R m g m z R m g m z
− =
− =
con le condizioni
21 12
1 2
R R
z z
=
= −
Si ottiene allora sottraendo membro a menbro
2 1 2 1 2
(m m g) (m m z)
− − = +
da cui
2 1
2
2 1
m m
z g
m m
= − − +
otteniamo alla fine
2 1
2 1 2
2 1
1 7
6 5 7
m m
g g m m m Kg
m m
− = − − = =
+ Q3
La forza che l’asse esercita sulla prima massa vale
1
2 1 2
1 1 1 1 1 1 1
1 a m
f m a m v n m r n
r ω
= = =
ed è uguale e contraria a quella che la massa stessa esercita sull’asse che vale
1 1
2
1 1 1
m a a m
f = −f = −m ω r n
. Analogamente per la seconda massa si ha
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 a m
f m a m v n m r n
r ω
= = =
2 2
2 2
2 2 2 2 2 1 ( 2 1)
m a a m
f = −f = −m ω r n =m ω r n n = −n
. Sull’asse dunque si esercita la forza f =m2ω2r n2 1−m1ω2r n1 1=ω2(m r2 2−m r n1 1) 1=Mω2rCM n1
Q4
0
0 2
2 2
0 0 0 2
3 4 2 2 2
0 0 0 0
0 0 0
1 1 1
2 ( )
4 2 2
R H
R H
I r dm R R d dR dz
d R dR dz R H R H R M R
π ω
π
ρ ϕ
ρ ϕ πρ ρ π
= = =
= = = =
