Analisi Matematica 1 3 Settembre 2012 COMPITO 1
1. Siano dati gli insiemi
A = {z ∈ C : z4+ 24 = 0} e B =
z ∈ C : Im z −1
2|Re z| < 0
. Allora l’insieme A ∩ B contiene
Risp.: A : un punto B : due punti C : tre punti D : quattro punti
2. Il limite
n→+∞lim
1 + 1 n2
n
− 1
log n2 vale
Risp.: A : e−2 B : +∞ C : 0 D : e
3. Il limite
x→+∞lim
log(1 + 2x) log2x
1 − cos log x
√x
vale
Risp.: A : log 22 B : log 2 C : 0 D : +∞
4. Sia α ∈ R. Allora la serie numerica
+∞
X
n=2
(−1)n(n32 + 1) nα[p
n + log2n −√ n]
converge assolutamente se e solo se
Risp.: A : α > 3 B : α ≥ 4 C : α ≥ 3 D : α > 4
5. Sia f : R → R una funzione. Delle seguenti affermazioni
(a) se f `e pari, allora f non `e invertibile (b) se f `e dispari, allora f `e invertibile (c) se f `e strettamente crescente, allora f `e invertibile (d) se f `e decrescente, allora f ◦ f `e crescente le uniche corrette sono
Risp.: A : (a), (b) B : (c), (d) C : (a), (c), (d) D : (b), (d)
6. L’integrale improprio
Z +∞
1
log(2x) (x + 1)2 dx vale
Risp.: A : +∞ B : log 22 C : 0 D : log 22 + log 2
7. Sia y la soluzione del problema di Cauchy (y0+
1
x−x+11
y = x + 1 , y(1) = 2
Allora y(√ 2) vale Risp.: A : 3(
√2+1) 2√
2 B : √
2 + 1 C : √ 1
2(√
2+1) D :
√ 2+1 2√
2
8. Sia data la funzione
f (x) = log 2 +
r | sin x|
2 + cos x
!
Delle seguenti affermazioni
(a) Il dominio di f `e ]0, +∞[ (b) f `e pari (c) f `e periodica di periodo 2π (d) lim
x→+∞f (x) non esiste (e) f ammette asintoto orizzontale per x → −∞
le uniche corrette sono
Risp.: A : (a), (d) B : (c), (d) C : (b), (c), (e) D : (b), (c), (d)
9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni
(a) f `e derivabile sul suo dominio (b) x = π `e punto di cuspide (c) f0(π/2) = 1
4(2√ 2+1)
(d) minRf = 0 (e) maxRf = log 2 + √41
3
le uniche corrette sono
Risp.: A : (a), (c), (d) B : (b), (c), (e) C : (a), (c), (e) D : (b), (d), (e)
10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.
