Geometria sferica: sperimentazioni didattiche ed approfondimenti teorici

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Struttura della tesi Attivit`a didattica Esito della verifica finale Questionario di valutazione dell’attivit`a didattica Approfondimenti teorici

Geometria sferica: sperimentazioni didattiche ed approfondimenti teorici

Erika Martini

Relatore: Prof . Giorgio Ottaviani

11 luglio 2007

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Struttura della tesi:

Didattica della geometria sferica Approfondimenti teorici

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Struttura della tesi:

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Struttura della tesi:

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Suddivisione dell’attivit`a didattica Obiettivi

Idee per migliorare la comprensione Contenuto delle lezioni

Suddivisione dell’attivit` a didattica

L’attivit`a didattica `e stata svolta presso la classe IIE del Liceo classico Michelangelo grazie e sotto la supervisione della Prof.ssa Laura Gori.

Sono state svolte:

∗ Ascolto e di comprensione dello svolgimento delle lezioni tenute dalla Prof.ssa Gori

∗ Test di ingresso

∗ Svolgimento delle lezioni

∗ Verifica finale

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Suddivisione dell’attivit` a didattica

Sono state svolte:

∗ Verifica finale

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Suddivisione dell’attivit` a didattica

Sono state svolte:

∗ Verifica finale

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Suddivisione dell’attivit` a didattica

Sono state svolte:

∗ Verifica finale

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Suddivisione dell’attivit` a didattica

Sono state svolte:

∗ Verifica finale

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Suddivisione dell’attivit` a didattica

Sono state svolte:

∗ Verifica finale

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Obiettivi

Gli obiettivi di questa attivit`a sono:

? Introduzione di una nuova geometria rispetto a quella

“usuale” euclidea

? Migliorare la comprensione della geometria euclidea tramite riflessioni sulla geometria sferica

? Aumentare la capacit`a di immaginazione tridimensionale geometrica

? Mostrare i principali risultati sulle geometria sferica, anche in relazione agli analoghi in geometria euclidea

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Obiettivi

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Obiettivi

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Obiettivi

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Obiettivi

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Obiettivi

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Idee per migliorare la comprensione

Per migliorare la comprensione della geometria sferica sono stati seguiti i seguenti spunti:

Divisione della classe in gruppi

Utilizzo di sfere bianche sulle quali poter disegnare e tracciare circonferenze massime e utilizzo di sfere colorate

Consegna di schede contenenti lo schema della lezione svolta e degli esercizi

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Idee per migliorare la comprensione

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Idee per migliorare la comprensione

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Idee per migliorare la comprensione

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Contenuto della prima lezione:

Lezione 1:

? Introduzione alla geometria sferica ed analogie con la Terra

? Definizione di sfera e superficie sferica

? Intersezione tra la superficie sferica ed un piano

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Contenuto della prima lezione:

Lezione 1:

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Contenuto della prima lezione:

Lezione 1:

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Contenuto della prima lezione:

Lezione 1:

(25)

Contenuto della prima lezione:

Lezione 1:

(26)

Contenuto della prima lezione:

Lezione 1:

(27)

Contenuto della seconda lezione:

Lezione 2:

? Definizione di retta e confronto con la retta euclidea

? Rette passanti per due o tre punti

? Osservazioni sull’intersezione di rette

(28)

Contenuto della seconda lezione:

Lezione 2:

(29)

Contenuto della seconda lezione:

Lezione 2:

(30)

Contenuto della seconda lezione:

Lezione 2:

(31)

Contenuto della terza lezione

Lezione 3:

? Distanza e geodetica

? Misura degli angoli

? Fusi e doppi fusi sferici

(32)

Contenuto della terza lezione

Lezione 3:

(33)

Contenuto della terza lezione

Lezione 3:

(34)

Contenuto della terza lezione

Lezione 3:

(35)

Contenuto della quarta lezione

Lezione 4:

? Triangolo sferico e sua area A = R²(α + β + γ − π)

? Osservazioni sull’area di un triangolo sferico

(36)

Contenuto della quarta lezione

Lezione 4:

? Triangolo sferico e sua area

A = R²(α + β + γ − π)

(37)

Contenuto della quarta lezione

Lezione 4:

(38)

Contenuto della quarta lezione

Lezione 4:

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Argomenti della verifica

Somma degli angoli interni di un triangolo Risultati inaspettati

Argomenti della verifica

concetto di sfera e di superficie sferica e loro differenze definizione di retta e confronto con la retta euclidea rette passanti per due o tre punti

osservazioni sull’intersezione di rette geodetica e distanza

formula per determinare l’area di un triangolo somma degli angoli interni di un triangolo

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Domanda 11. Dato un triangolo con angoli interni α, β, γ, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere nelle due geometrie (sf.,eucl.):

1 La somma degli angoli interni `e minore di π.

Risp. corretta: FF Indicata da: 18/19

2 La somma degli angoli interni `e uguale a π.

Risp. corretta: FV Indicata da: 16/19

3 La somma degli angoli interni `e maggiore di π.

Risp. corretta: VF Indicata da: 16/19

(41)

Domanda 11. Dato un triangolo con angoli interni α, β, γ, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere nelle due geometrie (sf.,eucl.):

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Domanda 11. Dato un triangolo con angoli interni α, β, γ, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere nelle due geometrie (sf.,eucl.):

(43)

Domanda 11. Dato un triangolo con angoli interni α, β, γ, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere nelle due geometrie (sf.,eucl.):

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Domanda 11. Dato un triangolo con angoli interni α, β, γ, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere nelle due geometrie (sf.,eucl.):

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Domanda 11. Dato un triangolo con angoli interni α, β, γ, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere nelle due geometrie (sf.,eucl.):

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Domanda 11. Dato un triangolo con angoli interni α, β, γ, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere nelle due geometrie (sf.,eucl.):

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Commenti sull’esito della verifica finale: risultati inaspettati

∗ buona acquisizione dei concetti fondamentali

∗ capacit`a di analisi dei casi particolari

∗ predisposizione di un atteggiamento riflessivo e curioso verso la materia

∗ scarsa inclinazione allo studio delle formule

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Commenti sull’esito della verifica finale: risultati inaspettati

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Commenti sull’esito della verifica finale: risultati inaspettati

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Commenti sull’esito della verifica finale: risultati inaspettati

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Commenti sull’esito della verifica finale: risultati inaspettati

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Domande generiche

Argomenti piaciuti maggiormente

DOMANDE DI VALUTAZIONE DELL’ATTIVIT ` A

! Sapevi che esistono altre geometrie oltre a

quella euclidea?

4 9 3 3

Gli argomenti delle lezioni svolte sono stati in- teressanti?

0 0 10 9

E stato impegnativo seguire le lezioni?` 1 10 6 2 Gli argomenti introdotti in ogni lezione erano

proporzionati con il tempo disponibile?

0 4 8 7

Le attivit`a svolte sono state utili per capire meglio la geometria sferica?

0 0 3 16

Pensi che questo argomento ti sar`a utile per 0 4 8 7

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Domande generiche

Argomenti piaciuti maggiormente

Introduzione ed analogie con la Terra 99K5

La retta in geometria sferica e differenze con il caso euclideo 99K11 Il triangolo sferico, la sua area ed osservazioni 99K4

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Domande generiche

Argomenti piaciuti maggiormente

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Domande generiche

Argomenti piaciuti maggiormente

(56)

Domande generiche

Argomenti piaciuti maggiormente

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Triangolo polare Teorema di dualit`a polare Corollari

Relazioni circa l’area di un triangolo sferico

Triangolo polare

Consideriamo il lato AB, questo appartiene^÷ ad una circonferenza massima avente due poli: uno di essi sta dalla stessa parte del vertice rimanente (C ) rispetto al latoAB.^÷ Questo polo (C⁰) `e un vertice del triangolo polare (A^î⁰B⁰C⁰).

Definizione

Dato il triangolo sfericoABC , il suo^ì triangolo polare`e il triangolo sferico i cui

(58)

Triangolo polare

Definizione

(59)

Triangolo polare

Definizione

(60)

Verso il Teorema di dualit` a polare

Proposizione

SeA^î⁰B⁰C⁰ `e il triangolo polare diABC ,^ì alloraABC `^ì e il triangolo polare diA^î⁰B⁰C⁰.

(61)

Teorema di dualit`a polare

I lati e gli angoli del triangolo polare sono rispettivamente supplementari degli angoli e dei lati del triangolo sferico.

Triangolo sferico

Triangolo polare

a, b, c → lati

a⁰, b⁰, c⁰→ lati

α, β, γ → angoli

α⁰, β⁰, γ⁰ → angoli

F 8<

:

a⁰= (π − α)R b⁰ = (π − β)R c⁰ = (π − γ)R

8<

:

α⁰ = π −_R^a β⁰= π −_R^b γ⁰ = π − ^c

(62)

Triangolo sferico

Triangolo polare

a, b, c → lati

a⁰, b⁰, c⁰→ lati

α, β, γ → angoli

α⁰, β⁰, γ⁰ → angoli

F 8<

:

a⁰= (π − α)R b⁰ = (π − β)R c⁰ = (π − γ)R

8<

:

α⁰ = π −_R^a β⁰= π −_R^b γ⁰ = π − ^c

(63)

Triangolo sferico Triangolo polare a, b, c → lati a⁰, b⁰, c⁰→ lati α, β, γ → angoli α⁰, β⁰, γ⁰ → angoli

F 8<

:

a⁰= (π − α)R b⁰ = (π − β)R c⁰ = (π − γ)R

8<

:

α⁰ = π −_R^a β⁰= π −_R^b γ⁰ = π − ^c

(64)

F 8<

:

a⁰= (π − α)R b⁰ = (π − β)R c⁰ = (π − γ)R

8<

:

α⁰ = π −_R^a β⁰= π −_R^b γ⁰ = π − ^c

(65)

F 8<

:

a⁰= (π − α)R b⁰ = (π − β)R c⁰ = (π − γ)R

8<

:

α⁰ = π −_R^a β⁰= π −_R^b γ⁰ = π − ^c

(66)

Corollari del Teorema di dualit` a

Teorema di Carnot sferico:

8>

<

>:

cos(α) sin_R^bsin_R^c= cos_Râ− cos_R^bcos_R^c cos(β) sin_R^csin_Râ= cos_R^b− cos_R^ccos_Râ cos(γ) sin_Râsin_R^b= cos_R^c− cos_Râcos_R^b

Teorema di Carnot polare:

8>

<

>:

cos_R^asin β sin γ = cos α + cos β cos γ cos_R^bsin γ sin α = cos β + cos γ cos α

(67)

Corollari del Teorema di dualit` a

8>

<

>:

cos(α) sin_R^bsin_R^c= cos_Râ− cos_R^bcos_R^c cos(β) sin_R^csin_Râ= cos_R^b− cos_R^ccos_Râ cos(γ) sin_Râsin_R^b= cos_R^c− cos_Râcos_R^b Teorema di Carnot polare:

8>

<

>:

(68)

Corollari del Teorema di dualit` a

8>

<

>:

cos(α) sin_R^bsin_R^c= cos_Râ− cos_R^bcos_R^c cos(β) sin_R^csin_Râ= cos_R^b− cos_R^ccos_Râ cos(γ) sin_Râsin_R^b= cos_R^c− cos_Râcos_R^b Teorema di Carnot polare:

8>

<

>:

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Corollari del Teorema di dualit` a

Quarto criterio di uguaglianza per i triangoli sferici Se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali, allora sono uguali

(70)

Formula per determinare l’area di un triangolo in funzione dei soli angoli:

A = R²(α + β + γ − π)

Formula per determinare l’area di un triangolo in funzione dei soli lati:

A = R²arccos

"

cos_R^a− cos_R^bcos_R^c sin_R^bsin_R^c

#

+ R²arccos

"

cos_R^b− cos_R^acos_R^c sin_R^asin_R^c

#

"

cos^c− cos^acos^b^#

(71)

A = R²(α + β + γ − π)

A = R²arccos

"

#

+ R²arccos

"

#

"

(72)

A = R²(α + β + γ − π)

A = R²arccos

"

#

+ R²arccos

"

#

"

(73)

Formula che lega l’area di un triangolo equilatero e l’area del suo triangolo polare:

Apolare = R² 8<

:2π − 3 arccos 2

4 cos^A+πR_3R2²

1 − cos^A+πR_3R2²

3 5

9=

;

(74)

Geometria sferica: sperimentazioni didattiche ed approfondimenti teorici