ANALISI MATEMATICA I — A.A. 2005-2006 Ingegneria Elettrica & Ingegneria Energetica
Prof. Daniela Sforza
Testo consigliato.
Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica – Note di Analisi Matematica. Funzioni di una variabile – Pitagora Editrice Bologna.
Altri testi consigliati.
Sergio Campanato – Analisi matematica 1 – Pellegrini.
Gianni Gilardi – Analisi matematica di base – McGraw-Hill.
Enrico Giusti – Analisi matematica 1 – Bollati Boringhieri.
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone – Analisi Matematica, vol. 1 – Liguori.
Testi di esercizi consigliati.
Giuseppe Buttazzo, Giovanni Gambini, Ettore Santi – Esercizi di Analisi Matematica 1 – Pitagora Editrice Bologna.
Sergio Campanato – Esercizi di analisi matematica 1 – Pellegrini.
B. P. Demidoviˇc – Esercizi e problemi di Analisi Matematica – Editori Riuniti.
Enrico Giusti – Esercizi e complementi di analisi matematica 1 – Bollati Boringhieri.
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone – Esercitazioni di Matematica, volume I, parte prima e seconda – Liguori.
Esercizi d’esame di anni accademici precedenti sul sito internet http://www.dmmm.uniroma1.it/∼sforza/
PROGRAMMA
Preliminari. La teoria degli insiemi. Sottoinsiemi. Operazioni con gli insiemi: unione, intersezione e complementare. Valore assoluto. Esempi ed esercizi.
I numeri reali. I numeri reali: gli assiomi algebrici. Intervalli. Maggioranti e minoranti. Estremo superiore, estremo inferiore e assioma di continuit`a. Massimo e minimo. Esempi ed esercizi.
Le funzioni reali. Il concetto di funzione. Grafico. Funzioni surgettive, iniettive. Funzione composta.
Funzione inversa. Le funzioni elementari e i loro grafici. Estremo superiore e inferiore. Esempi ed esercizi.
Continuit`a. Funzioni continue di variabile reale. Teorema degli zeri (senza dimostrazione). Continuit`a della funzione inversa. Funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Esempi ed esercizi.
La nozione di limite. Limite finito. Limiti infiniti e all’infinito. Propriet`a del passaggio al limite:
unicit`a, localit`a, restrizione e giunzione. Dal limite alla funzione: limitatezza e permanenza del segno. Il calcolo dei limiti. Criterio del confronto. Cambiamento di variabili. Limiti di funzioni monot`one. Esempi ed esercizi.
Il tasso di variazione e la derivata . La definizione di derivata. Retta tangente al grafico. Funzioni non derivabili. Esempi ed esercizi.
Il calcolo delle derivate. Derivazione di somme e prodotti. Derivazione di funzioni composte.
Derivata della funzione inversa. Derivate di funzioni elementari. Derivate successive. Esempi ed esercizi.
Massimi e minimi. Punti critici. Il teorema di Fermat. Il teorema di Weierstrass (senza di- mostrazione). Conseguenze del teorema di Weierstrass. Esempi ed esercizi.
Il teorema di Lagrange. Il teorema di Rolle. Il teorema del valor medio o di Lagrange. Crescenza e decrescenza. Grafici di funzioni. Qualche limite notevole. I teoremi di de l’Hˆopital. Esempi ed esercizi.
L’integrale. L’integrale di Riemann. Propriet`a dell’integrale. L’integrale orientato. Funzioni mono- t`one. Funzioni continue. Esempi ed esercizi.
Il teorema fondamentale del calcolo. Funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (senza dimostrazione). Media integrale. Teorema della media integrale. Primitive. Grafici di funzioni. Esempi ed esercizi.
Funzioni logaritmo e esponenziale. Logaritmo. Il numero di Nepero e. Esponenziale. Esponenziale e logaritmo in base a > 0. Potenze ad esponente reale. Esempi ed esercizi.
Integrali indefiniti e primitive. Il calcolo degli integrali definiti. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. La ricerca delle primitive. Integrale indefinito. Una tabella di integrali indefiniti. Integrali indefiniti per parti. Integrali indefiniti per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali: denominatori di grado al pi`u due. Sostituzioni razionalizzanti. Esempi ed esercizi.
Funzioni convesse. Funzioni convesse (senza dimostrazioni). Stime. Esempi ed esercizi.
La formula di Taylor. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con resto di Lagrange (senza di- mostrazione). Il numero di Nepero e. Esempi ed esercizi.
Sviluppi asintotici. Formula di Taylor con resto di Peano (senza dimostrazione). Le notazioni di Landau f = o(g) e f = O(g). Il calcolo degli sviluppi. Esempi ed esercizi.
Interi e successioni. Numeri naturali e principio di induzione. Definizioni ricorsive. Proposizioni ricorsive. Successioni e loro limiti. Calcolo dei limiti di successioni. Limiti di successioni e limiti di funzioni.
Il teorema di collegamento (senza dimostrazione). Sottosuccessioni. Limiti notevoli. Esempi ed esercizi.
