RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO

CAPITOLO 10

RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO

10.1 Funzione risposta in frequenza

Si consideri un circuito lineare tempo-invariante in evoluzione forzata da t= −∞^{, del tipo} illustrato in figura 1. Il circuito è costituito da un generatore, ad esempio, un generatore di tensione e=e(t), resistori, induttori, condensatori, trasformatori ideali, generatori controllati, amplificatori operazionali (modello lineare), giratori e induttori accoppiati. Il generatore di tensione rappresenta l'ingresso, ad esempio, un segnale da elaborare e v(t) è la grandezza di interesse - la cosiddetta

“uscita”-, cioè il segnale elaborato. Sia h=h(t) la risposta all'impulso e si assuma che il circuito sia dissipativo. Allora il circuito è asintoticamente stabile, e quindi la regione di convergenza della funzione di trasferimento H(s)=L_II{ h(t)} contiene l'asse immaginario.

Figura 1 Circuito in esame (a) e schema a blocchi (b).

Si consideri il “segnale” rappresentato dalla somma discreta (e finita)

e(t )= E₁cos(ω₁t+ ϕ₁)+...+E_hcos(ω_ht+ ϕ₁)+...=∑_hE_hcos(ω_ht+ ϕ_h), (1) di funzioni sinusoidali con pulsazioni ω_h e definito per −∞ <t< +∞; E_h e ϕ_h sono, rispettivamente, l'ampiezza e la fase delle singole armoniche che costituiscono il segnale. Il generico termine della (1) può essere espresso come

cos(ω_ht+ ϕ_h)= 1

2[e^i(ωht+ϕh)+e^{−i (ωht+ϕh)}], (2) e di conseguenza la (1) può essere così riscritta:

e(t ) =∑_hc_he^iωht+ c. c., con c_h = 1

2E_he^iϕh (3)

dove “c.c.” sta a indicare il complesso coniugato del termine ∑_hc_he^iωht. In particolare, se

ω_h =hω₀, con h intero, (4)

e(t) è una funzione periodica di periodo T = 2π

ω₀ ^{, (5)}

cioè e(t)=e(t+T) per ogni valore di t.

La somma data dalla (1) (oppure dalla (3)) può essere costituita da un numero finito o infinito di termini. Quando il numero di termini è infinito ed è verificata la (4), la (1) (oppure la (3)) è una serie di Fourier.

Una funzione periodica con periodo T può essere rappresentata attraverso la serie di Fourier dt

t T f c

t e

T

T

t n t

n n

n

∫

∑

+∞ −

−∞

=

=

= ^/2

2 /

i n

i _{0 0}

e ) 1 (

c dove , e )

( ^{ω ω} (6)

se esiste l'integrale definito f(t)

−T/2 T / 2

∫ dt ( cioè se la funzione periodica f=f(t) è assolutamente integrabile). I coefficienti c_n sono complessi e verificano la condizione c_n =c^∗_−n perché f=f(t) è una funzione reale di variabile reale.

Ci sono funzioni che possono essere rappresentate solo tramite una somma continua di funzioni sinusoidali, cioè attraverso l'integrale di Fourier

e(t )= 1

2π E(ω)e^iωt

−∞

+∞∫ dω, (7)

dove E=E(ω) è la trasformata di Fourier della funzione e(t) E(ω)= e(t)e^−iωt

−∞

+∞∫ dt. (8)

La trasformata di Fourier esiste se l'integrale definito e(t)

− ∞

+ ∞∫ dt esiste, cioè se la funzione e=e(t) è

assolutamente integrabile. La trasformata di Fourier E(ω) è una funzione complessa della variabile reale ω e verifica la condizione E(−ω)=E^*(ω) perché e=e(t) è una funzione reale di variabile reale. (In queste lezioni non ci soffermeremo su tutta la problematica connessa con la convergenza della serie e dell'integrale di Fourier).

Il circuito in esame è lineare, e quindi vale la sovrapposizione degli effetti. Pertanto per determinare la “risposta forzata” del circuito a un ingresso espresso attraverso la somma (discreta o continua) di funzioni sinusoidali, basta conoscere la risposta all'ingresso “elementare”, non fisicamente realizzabile,

˜ e (t )=e^iωt. (9)

La risposta v (t)˜ all'ingresso elementare ˜ e (t ), può essere calcolata utilizzando l'integrale di convoluzione,

+∞

∫

∞

−

−

= h(t ²H d² (t)

~v ^{i τ}

. (10)

Operando il cambiamento di variabili

λ =t− τ, (11)

si ottiene

h (t− τ)e^−iωτdτ

− ∞

+ ∞∫ = h (λ)e^iω(t−λ)dτ

−∞

+∞∫ = e^iωt h(λ)e^−iωλdλ

−∞

+∞∫ ^{. (12)}

Siccome la regione di convergenza della funzione di trasferimento H(s)=L_II{ h(t)} contiene l'asse immaginario, il terzo integrale nella (12), (a partire da sinistra), è la trasformata di Laplace bilatera della risposta all'impulso h(t) valutata per s=iω, e quindi è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva,

H(iω)= h(t)e^−iωt

−∞

+∞∫ dt = h(t)e^−iωt

0⁻

+∞∫ dt. (13)

Pertanto si ha

h (t− τ)e^−iωτdτ

− ∞

+ ∞∫ =H(iω)e^−iωτ, (14)

e, quindi, la risposta all'ingresso elementare ˜ e (t ) vale

v (t)˜ =H(iω)e^iωt. (15)

Osservazione

L'equazione (14) sta indicare che e^iωt è un'autofunzione ¹ del sistema ingresso-uscita in esame (rappresentato schematicamente in figura 2), quando è in evoluzione forzata da −∞ e H(iω) è il corrispondente autovalore. È immediato verificare che, in generale, e^st è l'autofunzione e H(s) il corrispondente autovalore, purché s appartenga alla regione di convergenza della funzione di trasferimento.

Figura 2

1 L'integrale di convoluzione ∫_−∞^+∞h( t− τ)x (τ) dτ= l{ x( t)} è un operatore lineare l{⋅} che opera sulle funzioni x=x(t). L'autofunzione di un operatore lineare l{⋅} è una funzione u=u(t) tale che l{u(t )}= λu (t) , dove λ è una costante opportuna che prende il nome di autovalore dell'operatore.

La funzione H=H(iω) prende il nome di funzione risposta in frequenza o risposta armonica del circuito. Essa è una funzione a valori complessi e di solito viene rappresentata attraverso la rappresentazione polare

H(iω)=A(ω)e^iφ(ω), (16)

dove:

- A(ω) è il modulo della funzione complessa H(iω), A(ω)= H(iω);

- φ(ω) è la fase della funzione complessa H(iω), (il valore principale, definito nell'intervallo (−π,π)), φ(ω)=arg[ H(iω)].

Alla funzione A(ω) si dà il nome di risposta in ampiezza e alla funzione φ(ω) il nome di risposta in fase del circuito. La funzione risposta in ampiezza A(ω) è, per costruzione, definita positiva.

La risposta in frequenza può essere descritta anche attraverso la rappresentazione cartesiana:

H(iω)=R(ω)+i X(ω), (17)

dove

R(ω)=A(ω)cosφ(ω),

X(ω)=A(ω) sinφ(ω). ⁽¹⁸⁾

(La scelta dei simboli per rappresentare la parte reale e la parte immaginaria della risposta in frequenza è del tutto casuale; in generale esse non sono dimensionalmente omogenee a una resistenza).

Osservazione

La regione di convergenza di H(s) include l'asse immaginario. Pertanto H(s) è analitica nell'intorno dell'asse immaginario, e quindi la parte reale R(ω) e la parte immaginaria I(ω) di H(iω) devono essere funzioni continue per −∞ < ω < +∞; anche la risposta in ampiezza deve essere una funzione continua di ω, essendo A(ω)= R²(ω)+X²(ω). Invece, la risposta in fase può presentare discontinuità di prima specie, con salti pari a multipli interi di 2π.

- Diagrammi di Bode

Spesso la risposta in ampiezza A(ω) e la risposta in fase φ(ω) vengono rappresentate graficamente usando come variabile indipendente la grandezza adimensionale

x= log(ω/Ω_c), (19)

dove log(⋅) è il logaritmo in base 10 e Ω_c è una pulsazione caratteristica (può essere introdotta solo per rendere adimensionale l'argomento della funzione log(⋅)). Spesso x viene espresso in decadi:

una decade corrisponde all'intervallo di frequenze (ω, 10ω); infatti si ha

log(10ω/ Ω_c)−log(ω /Ω_c)=log(10)=1. (20)

La grandezza x può essere espressa anche in ottave ². Un ottava (oct) é la lunghezza dell'intervallo (ω, 2ω). Siccome

log(2ω/Ω_c)−log (ω/Ω_c)=log(2)≅0. 3, (21)

si ha che

1 ottava ≅ 0.3 decadi^{. (22)}

Nel diagramma di Bode il grafico della risposta in ampiezza è costruito riportando in ordinata la grandezza

y= 20log A(ω)=10log A²(ω). (23)

L'unità di misura di y è il decibel (dB): A(ω2) e A(ω1) differiscono di un decibel se 20log A(ω₂)−20log A(ω₁)=1, cioè se A²(ω₂)=10^{0 .1}A²(ω₁)≅1.26A²(ω₁) e quindi se

A(ω₂)≅1.12 A(ω₁). (24)

Nel diagramma di Bode la fase φ(ω) viene espressa sia radianti che in gradi.

Esempio

Si consideri il circuito del primo ordine illustrato in figura 3. Si determini la risposta in frequenza considerando la tensione v(t) del resistore come grandezza di “uscita”.

Figura 3 Circuito dinamico in esame (a), circuito di impedenze operatoriali corrispondente (b) e circuito nel dominio della frequenza (c).

La funzione di trasferimento del circuito in esame è uguale a (il resistore è in serie all'induttore) H(s)= R

R+sL^{, (25)}

e quindi la risposta in frequenza vale H(iω)= α

α +iω^{, (26)}

dove α = R / L è l'opposto della pulsazione naturale del circuito. L'ampiezza e la fase sono date da A(ω)= α

ω² + α² , φ(ω)= −arctan(ω/α). (27)

2 L'ottava è l'unità di misura adottata in musica: due note distano di un'ottava se il rapporto delle loro frequenze è uguale a due.

In figura 4 è rappresentata graficamente la risposta in frequenza (26), usando in figura 4a la descrizione cartesiana, in figura 4b quella polare e in figura 4c la descrizione di Bode. La riposta in ampiezza assume il valore massimo per ω=0, A(0)=1. Per ω=α si ha A(α)=1 / 2; in decibel, A(α)=1 / 2 ^vale 20 log A(α)=20log(1 / 2)≅ −3: in corrispondenza della pulsazione caratteristica α si ha una attenuazione di 3dB dell'ampiezza. Per questo motivo α prende il nome di pulsazione di taglio a 3dB del circuito.

0

-2α -α 0 α 2α

D

ω R(ω)

X(ω)

−0.5 1

(a)

0

−2α −α 0 α 2α ω

A(ω)

φ(ω) 0.707

1

−π/4

−π/2 π/2

(b) 0

-40 -30 -20 -10 0 10

−π/2

1 10 ω/α 100

log(ω/α)

1

0 2

−π/4

φ(ω)

20logA(ω)

dB rad

(c)

Figura 4 Descrizione cartesiana (a), descrizione polare (b) e diagramma di Bode (c).

10.2 Proprietà della funzione risposta in frequenza

- Proprietà 1.

La funzione risposta in frequenza H(iω) verifica la proprietà

H^*(iω)= H(−iω). (28)

Pertanto la risposta in ampiezza A(ω) è una funzione pari di ω,

A(ω)=A(−ω), (29)

e la fase φ(ω) è una funzione dispari di ω,

φ(ω)= −φ(−ω). (30)

Dimostrazione.

Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che la risposta all'impulso di Dirac di un circuito è una funzione reale. Essendo h(t) una funzione reale, segue che

H^*(iω)= h(t)e^iωt

−∞

+∞∫ dt = h(t)e^−i(−ω)t

−∞

+∞∫ dt=H(−iω), (31)

e quindi

H^*(iω)= H(−iω). (32)

Dalle (16) e (32) si ha anche

H^*(iω)= A(ω)e^−iφ(ω) =H(−iω)=A(−ω)e^iφ(−ω). (33) e quindi dalle equazioni (33) seguono immediatamente le (29) e (30).

Dalle (18), (29) e (30) si ottiene anche che la parte reale di H(iω) è una funzione pari della pulsazione, mentre la parte immaginaria è una funzione dispari,

R(ω)=R(−ω),

X(ω)= −X(−ω). ⁽³⁴⁾

- Proprietà 2

Si assuma che l'ingresso sia il segnale sinusoidale

e(t )= cos(ωt); (35)

allora il segnale di uscita vale

v (t)=A(ω)cos[ωt+ φ(ω)]. (36)

Dimostrazione.

Essendo

cos(ωt)=1

2(e^iωt +e^−iωt), (37)

utilizzando la sovrapposizione degli effetti e la proprietà (17), si ottiene v (t)= 1

2[ H(iω)e^iωt+H(−iω)e^−iωt] =1

2[H(iω)e^iωt+H^*(iω)e^−iωt]= 1

2A(ω)ei[ωt+φ(ω) ] +c.c.

(38)

Dalla (38) segue immediatamente la (36).

Osservazioni

(i) La risposta in frequenza di un circuito può essere interpretata come il rapporto tra il fasore rappresentativo della grandezza sinusoidale in uscita e il fasore rappresentativo della grandezza

sinusoidale in ingresso, al variare della pulsazione ω. Quindi essa può essere determinata anche attraverso il metodo fasoriale: si consideri il circuito di impedenze corrispondente nel dominio simbolico (basta porre s=iω nelle impedenze operatoriali) e si assuma come ingresso il fasore (di tensione o di corrente, a seconda del tipo di segnale) di modulo unitario e fase nulla. Il fasore corrispondente alla grandezza di uscita dà la risposta in frequenza. Ad esempio, la risposta in frequenza (26) del circuito di figura 3 può essere ottenuta risolvendo il circuito di impedenze nel dominio simbolico illustrato in figura 3c.

(ii) È possibile misurare la risposta in frequenza di un circuito (dissipativo) applicando in ingresso un generatore sinusoidale, misurando la grandezza di uscita quando il circuito è in regime sinusoidale, cioè dopo che il transitorio si è esaurito, e ripetendo le misure per diversi valori delle frequenze del generatore.

- Proprietà 3.

Il quadrato della risposta in ampiezza A²(ω)= H(iω)²di un circuito (a parametri concentrati) è una funzione razionale di ω²,

A²(ω)= x(ω²)

y(ω²)^{, (39)}

dove x (ω²) e y(ω²) sono due polinomi in ω². Dimostrazione.

Nel precedente capitolo è stato mostrato che la funzione di trasferimento di un circuito a parametri concentrati è una funzione razionale di s del tipo:

H(s)= N(s)

D(s) =k∏_h^m₌₁(s−z_h) (s− p_h)

h=1n

∏ ^{. (40)}

I polinomi N(s) e D(s) sono a coefficienti reali e quindi gli zeri z₁,...,z_me i poli p₁,..., p_n sono reali e/o complessi coniugati.

Usando la proprietà (28), il quadrato della risposta in ampiezza può essere espresso nel modo seguente:

A²(ω)≡H(iω)H^*(iω)=H(iω)H(−iω). (41) Usando la (40), si ottiene

A²(ω)=k²∏_h^m₌₁(iω −z_h) (iω −p_h)

h=1n

∏

(−iω −z_h)

h=1

∏m

(−iω −p_h)

h=1n

∏ =k²∏^m_h=1(ω²+z_h²) (ω² +p²_h)

h=1n

∏ =x (ω²)

y (ω²)^{. (42)}

- Proprietà 4

Il quadrato della risposta in ampiezza verifica la relazione 1

2π A²

−∞

+∞∫ (ω)dω = h²(t )

0 ∞

∫ dt. (43)

La (43) si ottiene applicando il teorema di Parseval. La funzione A²(ω) prende il nome di densità spettrale di energia. La risposta in frequenza H(iω) si dice a energia finita se

A²

−∞

+∞∫ (ω)dω < ∞. (44)

Un circuito dissipativo ha una risposta armonica a energia finita se l'uscita è una grandezza di stato;

questa proprietà è diretta conseguenza della (43) e del fatto che la risposta all'impulso, in questo caso, è limitata ovunque e tende a zero con legge esponenziale per t∅ .

- Proprietà 5

La risposta in ampiezza deve verificare la condizione ln A(ω)

1+ ω²

−∞

+∞∫ dω < ∞. (45)

La (45) è una conseguenza di una proprietà notevole delle funzioni analitiche, nota con il nome di condizione di Paley-Wiener.

- Condizione di Paley-Wiener

Tutte le funzioni F(s) analitiche nel semipiano immediatamente a destra dell'asse immaginario e a energia finita sull'asse immaginario, verificano la condizione

ln F(iω) 1+ ω²

−∞

+∞∫ dω < ∞. (46)

La funzione di trasferimento di un circuito dissipativo è analitica nel semipiano immediatamente a destra dell'asse immaginario ed è a energia finita sull'asse immaginario.

La condizione ³ (45) oltre a essere la condizione necessaria affinché una data funzione sia l'ampiezza della risposta in frequenza di un circuito asintoticamente stabile è anche una condizione sufficiente affinché, per una assegnata funzione reale A(ω), esista almeno una funzione H(s) analitica nel semipiano a destra dell'asse immaginario e a energia finita sull'asse immaginario di cui A(ω) è il modulo per s=iω.

Infine tra la parte reale R(ω) e la parte immaginaria X(ω) della risposta in frequenza, così come tra il modulo A(ω) e la fase φ(ω), esistono legami molto stretti dovuti alla natura razionale a coefficienti reali della funzione di trasferimento.

10.3 Analisi dei circuiti attraverso la risposta in frequenza

3 In queste Lezioni non viene dimostrata la condizione di Paley-Wiener (per ulteriori approfondimenti si consulti A. Papoulis, Signal Analysis, McGraw-Hill).

La risposta in frequenza è uno strumento di analisi molto potente. Come poi si vedrà, essa è anche un potente strumento di sintesi.

Innanzi tutto la risposta in frequenza di un circuito può essere usata per determinare la risposta di un circuito quando l'ingresso è rappresentabile tramite una somma (discreta o continua) di armoniche.

Si supponga, ad esempio, che

e(t ) =∑_h=1ⁿ c_he^iωht + c. c. (47)

È già noto che la risposta al generico termine e^iωht è H(iω_h)e^iωht. Pertanto, utilizzando la sovrapposizione degli effetti, si ha

v (t) =∑_h=1ⁿ c_hH(iω_h)e^iωht + c. c. (48)

Una somma di funzioni del tipo (47) e (48) può essere rappresentata graficamente attraverso una sequenza di segmenti verticali, dove la lunghezza di ciascun segmento è uguale all'ampiezza dell'armonica corrispondente, figura 5.

|c

i| Ingresso

ω₁ω₂ ω₃ ω_n ω

A(ω) Risposta in frequenza

ω₁ω₂ ω₃ ω_n ω

|c

i|Α(ω _i) Uscita

ω₁ω₂ ω₃ ω_n ω

Figura 5 Esempio

Si consideri il circuito di figura 6. I parametri circuitali sono R =8kΩ, C = 0.1µF. La tensione in ingresso vale e(t )=10+8 cosω₀t e ω₀ =10⁴. La funzione di trasferimento del circuito è

H(s)= V(s) E(s) =

R / sC R+1 / sC R+ R / sC

R+1 / sC

= 1 / RC

(2 / RC+s)^{, (49)}

e quindi la risposta in frequenza nel caso in esame vale:

H(iω)=α 2

1

(iω + α)^{, (50)}

dove α =2 / RC=2.5⋅10³. Ancora una volta osserviamo che, la risposta in frequenza (50) può essere ottenuta direttamente considerando il circuito di impedenze nel dominio simbolico con un fasore di ampiezza unitaria e fase zero in ingresso.

La risposta in ampiezza vale:

A(ω)= α 2

1

ω²+ α² , (51)

e la risposta in fase vale:

φ(ω)= −arctan(ω/α). (52) In questo caso la pulsazione di taglio a 3dB è α =2 / RC= 2500.

L'ingresso è costituito da due termini, uno costante e l'altro sinusoidale a pulsazione ω₀. Per determinare l'uscita corrispondente bisogna calcolare H(0) e H(iω₀); essi valgono:

H(0)= 1

2, H(i10⁴)= 1

2+i8 = 1

68e^{−i 1.32...}. (53)

La risposta del circuito vale:

v (t)=5+ 8

68cos(ω₀t−1.32...)^{. (54)}

È interessante notare che la risposta in ampiezza introduce alla pulsazione ω = ω₀ ^una attenuazione molto più forte di quella introdotta a pulsazione zero; ciò è dovuto al fatto che la pulsazione del termine sinusoidale è otto volte la pulsazione a 3dB α. Questo è l'esempio più semplice di filtro. Il circuito introduce un ritardo temporale nel termine sinusoidale in uscita dato da

τ_r = −φ(ω₀) /ω₀ ≅0.13ms.

0 5 10 15 20

-0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 e(t) [V]

t [s]

r R e(t)

+

R

R v(t) C

0 2 4 6 8 10

-0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 v(t) [V]

t [s]

-2 10⁴ -10⁴ 0 10⁴ 2 10⁴ ω [rad/s]

10

8 8

[V]

-2 10⁴ -10⁴ 0 10⁴ 2 10⁴ A(ω)

0.5

ω [rad/s]

α

-2 10⁴ -10⁴ 0 10⁴ 2 10⁴ ω [rad/s]

0.97 [V]

5

0.97

(a) (b) (c)

Figura 6 Segnale di ingresso e corrispondente contenuto armonico (a); circuito in esame e risposta in ampiezza (b); segnale in uscita e contenuto spettrale (c).

Lo studio del comportamento qualitativo della risposta in ampiezza e della risposta in fase, al variare della pulsazione, può essere facilitata se H(iω) è espressa attraverso la forma fattorizzata:

H(iω)= k(iω −z₁)(iω −z₂)...(iω −z_m)

(iω −p₁)(iω − p₂)...(iω −p_n)^{. (55)}

L'ampiezza A(ω) è data da:

A(ω)=k iω −z₁iω −z₂... iω −z_m

iω −p₁iω −p₂... iω −p_n =k(M₁L)(M₂L)...(M_mL)

(N₁L)(N₂L)...(N_nL) ^{, (56)} e la fase φ(ω) è data da:

φ(ω)=[ arg(iω −z₁ )+arg(iω −z₂)+...+arg(iω −z_m)]

− [arg(iω −p₁)+ arg(iω − p₂)+...+arg(iω −p_n)]

= [ϑ₁(ω)+ ϑ₂(ω)+. ..+ϑ_m(ω)]−[θ₁(ω)+ θ₂(ω)+...+θ_n(ω)]

. (57)

Nella (56) (M_iL) rappresenta la lunghezza del segmento orientato applicato nello zero z_i e che termina nel punto L dell'asse immaginario corrispondente a iω, e (N_iL) rappresenta la lunghezza del segmento orientato applicato nel polo p_i e che termina nel punto L dell'asse immaginario corrispondente a iω, Figura 7. Nella (57) arg(a) rappresenta l'argomento principale (definito nell'intervallo (−π,π)), del numero complesso a, e ϑi, θi sono, rispettivamente, gli angoli che i segmenti orientati e formano con l'asse reale. Pertanto, per determinare la risposta in ampiezza basta fare il prodotto delle lunghezze dei segmenti orientati a numeratore e dividere per il prodotto delle lunghezze dei segmenti orientati a denominatore. La risposta in fase è eguale alla somma degli angoli dei segmenti orientati meno la somma degli angoli dei segmenti orientati

.

Figura 7

10.3.1 Risposta in frequenza di circuiti del primo ordine: filtro passa-basso e filtro passa-alto

Si consideri un circuito del primo ordine (cioè con un solo bipolo dinamico) e si supponga che la funzione di trasferimento H(s) non abbia zeri (per esempio, i due circuiti di figura 8 in cui l'uscita è la tensione sul condensatore nel circuito RC e la tensione sul resistore nel circuito RL). In questi casi H(s) ha un solo polo ed è del tipo

H(s)= k

s+ α e quindi H(iω) = k

iω + α^{. (58)}

L'ampiezza e la fase valgono, rispettivamente:

A(ω)= A(0)

ω² + α² = A(0)

(NL), (59)

φ(ω)= −arctan(ω/α)= −θ(ω). (60)

In questo caso la distanza tra il polo s₁= −α e il punto s=iω cresce con legge monotona allorché ω cresce da zero all'infinito, figura 9a. Di conseguenza, A(ω) assume il valore massimo per ω=0 e decresce con legge monotona al crescere della pulsazione, in valore assoluto. Si noti che per

ω = α, (NL)= α 2. In corrispondenza di questa pulsazione si ha

A²(α)=A²(0) / 2, (61)

e quindi α è la pulsazione di taglio a 3dB nel diagramma di Bode: la differenza, in decibel, tra il valore dell'ampiezza per ω=0 e quello per ω=α è uguale a 3dB. In figura 10 è rappresentata la fase.

La spiegazione dell'andamento qualitativo della risposta in ampiezza dei circuiti rappresentati in figura 3 è molto semplice. Nel circuito RC in figura 3b per ω →0 l'impedenza del condensatore tende all'infinito e quindi la tensione in uscita è proprio quella impressa dal generatore e per ω → ∞ l'impedenza del condensatore tende a zero e quindi l'uscita tende anche essa a zero. Nel circuito RL in figura 3b per ω →0 l'impedenza dell'induttore tende a zero e quindi la tensione in uscita è proprio quella impressa dal generatore, mentre per ω → ∞ l'impedenza tende all'infinito e quindi la tensione sul resistore tende a zero.

Figura 8 Nel circuito RC è α =1 / RCe nel circuito RL è α = R / L(a); circuiti di impedenze corrispondenti nel dominio simbolico (b).

ω)/A(0) ω

α

1/√2 1

2α

s1=−α N

L

(a)

0

−π/2

π/2 s1=−α

N1

L=iω ω

φ(ω) θ

Figura 9 Diagramma dell'ampiezza e della fase della risposta armonica (58).

- Filtro passa-basso

Un circuito con una risposta in ampiezza del tipo (58) è l'esempio più semplice di filtro passa- basso. La sua funzione è quella di sopprimere tutte le componenti ad alta frequenza di un segnale, cioè tutti i termini sinusoidali con pulsazioni al di sopra di una pulsazione di taglio caratteristica Ω (ω > Ω è la banda oscura del filtro passa-basso), consentendo il passaggio di tutte le armoniche con pulsazioni inferiori (0≤ ω < Ωè la banda passante del filtro passa-basso); ad esempio, Ω potrebbe essere due o tre volte la pulsazione di taglio a 3dB α.

Osservazione

Si consideri il circuito del secondo ordine con due condensatori illustrato in figura 10 e si assuma come grandezza di uscita la tensione V(s) sul condensatore di capacità C₂.

Figura 10 Circuito RC del secondo ordine.

In questo caso la funzione di trasferimento è

H(s)= k

(s+ α1)(s+ α2)^{, (62)}

dove α₁ e α₂sono grandezze reali e positive (il lettore calcoli α1, α2 e k). La risposta in frequenza ha un andamento simile a quella che si ha per un circuito del tipo illustrato in figura 9. In particolare la risposta in ampiezza vale

A(ω)= k

(ω²+ α₁²)(ω²+ α₂²) = k

( N₁L)(N₂L). (63)

ω)/A(0) ω

1 s2=−α2

N2

L

(b)

0 N1

s1=−α₁

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

-10 -5 0 5 10

(s+1)

(s+1)(s+5) 1

ω A(ω)/A(0)

1 1

1

Figura 11 A(ω)=1 / [(NL₁)(NL₂)] e confronto tra la risposta in ampiezza di un circuito RC del primo ordine e un circuito RC del secondo ordine.

Siccome (N₁L ) e (N₂L) crescono con legge monotona al crescere di ω, in valore assoluto, essi assumono il valore minimo in ω=0, vedifigura 11. Pertanto A(ω) ha il massimo in ω=0 e decresce con andamento monotono al crescere del valore assoluto della pulsazione. Il grafico della risposta in ampiezza ha una forma a “campana”, simile a quella ottenuta considerando il circuito RC del primo ordine. L'unica differenza sostanziale è che, l'introduzione di un altro polo può rendere più rapida la transizione dalla regione in cui la risposta in ampiezza è massima a quella in cui è praticamente uguale a zero, figura 11.

Il circuito RC di figura (10) si comporta anche esso da filtro passa-basso: la regione di transizione tra la “banda passante” e la “banda oscura” è più netta. Infatti per ω →0 le impedenze di entrambi i condensatori tendono all'infinito e quindi la tensione in uscita è uguale a quella del generatore. Invece per ω → ∞ le impedenze di entrambi i condensatori tendono a zero e quindi la tensione in uscita tende a zero; la tensione in uscita tende a zero per ω → ∞ più velocemente della tensione in uscita che si ha nel circuito di figura (8).

Figura 12 L'uscita è la corrente I(s); α =1 / RC.

Se nel circuito RC di figura 8a si assume la corrente nel condensatore come grandezza di uscita (figura 12), si ha la funzione di trasferimento:

H(s)= αC s

s+ α e quindi H(iω) =αC iω

iω + α^{. (64)}

La funzione di trasferimento (64) ha gli stessi poli della (58) (in generale i poli non dipendono da quali grandezze sono considerate come uscita), ma, a differenza della (58), ha uno zero nell'origine.

A causa di ciò la risposta in frequenza ha un andamento completamente diverso da quello appena descritto.

La risposta in ampiezza è data da A(ω) =αC ω

ω² + α² = αC(M₁L)

(N₁L), (65)

e la risposta in fase vale:

φ(ω) = π

2sgn(ω)−arctan(ω/τ)= ϑ(ω)− θ(ω). (66)

In questo caso, a causa della presenza dello zero nell'origine, la risposta in ampiezza è uguale a zero per ω=0 (questo è anche il valore minimo); A(ω) cresce con legge monotona al crescere della pulsazione (in valore assoluto). Il valore massimo della risposta in ampiezza è A(∞)= αC. Si noti che per ω = α, è

A²(α)=A²(∞) / 2. (67)

Anche in questo caso ω = α è la pulsazione di taglio a 3dB nel diagramma di Bode, perché la differenza, in decibel, tra il valore massimo dell'ampiezza (che si ha per ω → ±∞) e quello per ω=α è uguale a 3dB, figura 13a. La fase è discontinua in ω=0, figura 13b.

A(ω)/A(∞) 1

ω

α

s 1/√2

1=−α N1

L

z1=0 M1

(a) ω

−π/2 π/2 φ(ω)

N1

s1=−α ^M1

z1=0 L θ ϑ

(b)

Figura 13 Risposta in ampiezza (65) (a) e risposta in fase (66) (b).

L'andamento qualitativo della risposta in ampiezza si spiega facilmente in questo modo: per ω →0 l'impedenza del condensatore tende all'infinito e quindi la corrente tende a zero mentre per ω → ∞ l'impedenza tende a zero e l'ampiezza della corrente tende ad assumere il massimo valore.

- Filtro passa-alto

Un circuito con una risposta in ampiezza del tipo (65) è l'esempio più semplice di filtro passa- alto. La sua funzione è quella di sopprimere tutte le componenti a bassa frequenza di un segnale, cioè tutti i termini sinusoidali con pulsazioni al di sotto di una pulsazione di taglio caratteristica Ω, (ad esempio, Ω potrebbe essere uguale a un terzo della pulsazione di taglio a 3dB), consentendo il passaggio di tutte le armoniche con pulsazioni superiori. In questo caso, l'insieme dei valori di ω, tali

che0≤ ω < Ω, è la banda oscura del filtro passa-alto, mentre l'insieme complementare è la banda passante.

Possiamo concludere che, il circuito RC illustrato in figura 8 si comporta come un filtro passa- basso quando la grandezza di uscita è la tensione del condensatore, invece si comporta come filtro passa alto quando la grandezza di uscita è la corrente nel condensatore, ovvero la tensione del resistore. Il circuito RL, illustrato sempre in figura, si comporta come un filtro passa-basso se l'uscita è la tensione del resistore (ovvero la corrente nell'induttore) e come un filtro passa-alto se la grandezza di uscita è la tensione dell'induttore (il circuito RC e il circuito RL hanno comportamenti duali). Il filtro passa-alto è caratterizzato da uno zero nell'origine mentre il filtro passa-basso ha uno

“zero all'infinito”.

10.3.2 Risposta in frequenza di un circuito RLC del secondo ordine: filtro passa-banda e filtro taglia-banda

Si consideri ora un circuito RLC del secondo ordine (cioè con un condensatore e un induttore) e si assuma che la funzione di trasferimento non abbia zeri, cioè sia del tipo

H(s)= 1

(s− λ₊)(s− λ₋) = 1

(s² +2αs+ ω₀²)^{. (68)}

dove λ_±= −α ± α² −ω₀² . La (68) è, a meno di un fattore costante, la funzione di trasferimento del circuito illustrato in figura 14, dove la grandezza di uscita è la tensione del condensatore. Infatti applicando il partitore di tensione si ottiene:

V(s) E(s)= 1

LC

1 s²+ R

Ls+ 1 LC

. (69)

In questo caso i parametri α e ω₀ valgono α= R / (2 L), ω₀ =1 / LC.

Figura 14 Circuito RLC serie.

Se α > ω₀>0, la funzione di trasferimento ha due poli reali e negativi, p₁ = −α₁ e p₂= −α₂, dove α₁ e α₂ sono numeri reali positivi, come nel circuito RC del secondo ordine descritto in precedenza. In questo caso il circuito RLC di figura (14) si comporta da filtro passa-basso; la regione di transizione tra la “banda passante” e la “banda oscura” è più netta rispetto a quella che si ha in un circuito RC del primo ordine.

Per ω₀ > α >0 i poli sono complessi coniugati. Posto ω₀² = α²+ β², la funzione di trasferimento può essere così riscritta:

H(s)= 1

(s+ α)²+ β² = 1

(s+ α + iβ)(s+ α −iβ)^{, (70)} e la risposta in ampiezza vale:

A(ω)= 1

(ω²− ω₀²)² +4α²ω² = 1

(N₁L )(N₂L )^{. (71)}

La risposta in ampiezza è rappresentata in figura 15 per diversi valori di β

α = ω₀²

α² −1. (72)

Il comportamento di A(ω) dipende da come varia (N₁L )(N₂L ) quando il punto L si sposta lungo l'asse immaginario.

- Se β ≤ α, (N₁L )(N₂L ) cresce con legge monotona e quindi A(ω) decresce con legge monotona per ω → ±∞, figure 15a e 15b.

- Se β > α, allora (N₁L )(N₂L ) prima decresce, raggiunge un minimo in corrispondenza di

ω_m = β² − α² = ω₀²−2α², (73)

e poi cresce con andamento monotono per ω → ±∞, figure 15c e 15d. In questo caso A(ω) ha un minimo per ω=0, il massimo per ω = ±ω_me poi tende asintoticamente a zero per

ω → ±∞. L'ampiezza massima vale A(ωm)= 1

2αβ, A(ωm) A(0 ) =1

2(β α +α

β). (74)

0 ω)/A(0)

1 ω

N1

N2

β=0.5α

−α β

0 N1

N2

A(ω)/A(0) 1

ω β=α

−α β

(a) (b)

0 N1

N2

A(ω)/A(0) 1

ω β=2α

−α ω_m

1.25 β

0 N1

N2

A(ω)/A(0) 1

ω β=20α

−α

10 β≅ω_m

(c) (d)

Figura 15 Risposta in ampiezza (71) per diversi valori di β.

Gli andamenti illustrati in figura 15 possono essere dedotti, almeno per quanto concerne l'aspetto qualitativo, nel modo di seguito riportato. L'ampiezza A(ω) può essere rappresentata come

A (ω)=A₁(ω)⋅A₂(ω) , (75)

dove

A1(ω)= 1

iω − λ₊ = 1

(ω − β)²+ α² , (76)

A2(ω)= 1

iω − λ₋ = 1

(ω +β)² + α² . (77)

La funzione A₁(ω) assume il valore massimo in corrispondenza di ω = β, e la funzione A₂(ω) assume il valore massimo in corrispondenza di ω = −β, (se i due poli fossero reali, il massimo si troverebbe nell'origine per entrambe le funzioni), figura 16.

A2(ω) A

1(ω)

A(ω)

−β 0 β

−ωm ω

m

ω

Figura 16

Per β − α ≤ ω ≤ β + α, si ha 1

2 ≤ A₁(ω)

A₁(β) ≤1^{. (78)}

Pertanto, si può assumere che, 2α rappresenti, in qualche modo, l'ampiezza dell'intervallo delle pulsazioni, centrato in ω = β, in cui A₁(ω) assume valori “significativamente ” diversi da zero:

questo intervallo potrebbe essere definito come la “banda passante” di A₁(ω); analogamente per A₂(ω), solo che, ora, la banda passante è −β − α ≤ ω ≤ −β + α ed è centrata in ω = −β. Quando β ≤ α, gli intervalli (−β,−β + α) e (β − α,β) contengono l'origine, si sovrappongono completamente e il grafico di A(ω) ha le forme descritta in figura 15a e 15b. In questi casi A(ω) ha il massimo nell'origine. Invece per β > α gli intervalli (−β,−β + α) e (β − α,β) non contengono l'origine, non si sovrappongono e il massimo di A(ω) si trova a ω = ω_m(ω_m=0 quando β = α).

- Filtro passa-banda

Il circuito del secondo ordine in esame si comporta come un filtro anche quando le frequenze naturali sono complesse. Se β ≈ α il circuito si comporta ancora da filtro passa basso, vedi le figure 15a, 15b e 15c. Invece se è (β/α)>>1 il circuito si comporta come un filtro passa-banda. Si ha:

ω_m = β² − α² ≅ β = ω₀²− α² ≅ ω₀, (79) cioè

ω_m ≅ β ≅ ω₀. (80)

Nell'intorno di ω_m, iω −p₂ =i(ω +β)+ α è circa uguale a 2 iβ, e quindi la risposta in frequenza può essere approssimata nel modo seguente:

H(iω)= 1

(iω − p₁)(iω −p₂) ≅ 1

2 iβ[α +i(ω − β)]^{. (81)} Pertanto, la risposta in frequenza, nell'intorno della pulsazione ω_m ≅ ω₀, coincide, a meno di un fattore di scala, con quella di un circuito con un solo polo, traslata in frequenza della pulsazione ω₀. La risposta in ampiezza nell'intorno di ω_m ≅ ω₀ vale, quindi,

A(ω)≅ 1 2β

1

(ω − β)²+ α^{2 , (82)}

e le frequenze di taglio inferiore e superiore a 3dB sono, rispettivamente, ω₋ = ω₀− α e ω₊ = ω₀ + α (per β > α le pulsazioni di taglio a 3dB del circuito sono due, perché il massimo di A(ω) si trova in corrispondenza di ω_m ≠0); nel limite(β/α)>>1 si ha ω_± ≅ ω₀ ± α. La riposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(ω_m) è circa uguale a 1 nell'intorno di ω₀ di ampiezza 2α, ed è uguale all'incirca a 2α/β all'esterno di questo intorno.

Un filtro passa-banda ha la funzione di sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale con pulsazioni all'esterno di una banda baricentrata nell'intorno di una frequenza diversa da zero, lasciando praticamente inalterate le ampiezze delle armoniche con pulsazioni all'interno di quella banda. Nel caso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni esterne alla banda (ω₀− Ω, ω₀ + Ω) centrata in ω₀ (banda oscura del filtro passa-banda), vengono notevolmente attenuate, rispetto alle ampiezze delle armoniche con pulsazioni appartenenti a (ω₀ − Ω, ω₀ + Ω), (banda passante del filtro passa-banda); 2Ω è la larghezza della banda passante del filtro.

Generalmente si sceglie Ω uguale a due o tre volte α; 2α prende il nome di larghezza di banda a 3dB del filtro passa banda. La larghezza di banda a 3dB tende a zero per (β/α)→ ∞.

Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito risonante alla pulsazione ω₀; la pulsazione ω₀ è la pulsazione di risonanza del circuito (ω₀/ 2π è la frequenza di risonanza del circuito). In corrispondenza della pulsazione di risonanza l'impedenza equivalente della serie costituita dall'induttore e dal condensatore è nulla e quindi il modulo dell'impedenza equivalente vista dal generatore è minima (il fenomeno della risonanza in un circuito RLC serie è stato descritto nel Capitolo 8).

Il fattore di merito del circuito risonante è dato da Q=ω₀

2α =ω₀

R L, (83)

e quindi per β/α >>1 si ha Q≅ β

2α ≅ λ₊

2 Re{λ₊} ^{. (84)}

Il circuito risonante serie funziona da filtro passa-banda se il fattore di merito è molto più grande di uno, cioè se i due poli complessi coniugati sono molto vicini all'asse immaginario e molto distanti dall'asse reale. Al crescere del fattore di merito diventa sempre più stretta la regione in cui la risposta, (normalizzata in ampiezza) è all'incirca uguale a 1 e quindi diminuisce la banda passante.

In figura 17 sono riportati due esempi di risposta in fase.

ω φ(ω)

α=1

α=20

0 ω

−ω 0 0

π/2

−π/2

Figura 17 Risposta in fase per ω₀ =10(in unità arbitrarie) del circuito RLC di figura 13 per due diversi valori di α.

Si consideri, ora, la corrente I(s) come grandezza di uscita del circuito RLC descritto in figura 13.

In questo caso la funzione di trasferimento vale:

H_I(s)= I(s)

E(s) = 1

Z_eq(s) = 1 L

s s²+ R

Ls+ 1 LC

, (85)

−ω₀ 0 ω₀

1

Q=10 Q=5 Q=1

1/√2 ω)/A(ω 0)

ω Figura 18

La funzione di trasferimento (85) ha, ovviamente, gli stessi poli di quella ottenuta considerando come uscita la tensione del condensatore e in più ha uno zero nell'origine. La risposta in ampiezza vale:

A_I(ω)= 1

R²+ ω²L² 1− ω₀² ω²



  

 

2 , (86)

dove ω₀ =1 / LC. In questo caso la risposta in ampiezza assume il valore massimo per ω = ω₀, ed è uguale a zero per ω=0 (a causa dello zero nell'origine) e tende asintoticamente a zero per ω → ±∞, figura 18, e quindi il circuito si comporta, per qualsiasi valore di ω, da filtro passa-banda.

La frequenze di taglio a 3dB valgono ω_± ≅(1±1 / 2Q)ω₀ nel limite Q>>1 (la larghezza della banda passante a 3dB è inversamente proporzionale al fattore di merito del circuito).

Se si assume come uscita la tensione dell'induttore, la funzione di trasferimento è data da H_L(s) =V_L(s)

E(s) = s² s²+R

Ls+ 1 LC

. (87)

In questo caso la funzione di trasferimento ha uno zero doppio nell'origine e la risposta in ampiezza tende asintoticamente a 1 per ω → ±∞: il circuito può funzionare da filtro passa-alto se β < α e da filtro passa banda se β >> α

Infine si consideri il circuito del secondo ordine descritto in figura 19. Si assuma come uscita la tensione del resistore. In questo caso la funzione di trasferimento è

H(s)= V(s)

E(s) =R s²+ ω₀²

s²+2αs+ ω₀^{2, (88)}

e la risposta in ampiezza vale:

A(ω)=R

ω² − ω₀²

(ω²− ω₀²)²+ 4α²ω^{2 , (89)}

dove ω₀² =1 / LC e 2α= 1/ RC. La funzione di trasferimento possiede due zeri sull'asse immaginario, z_± = ±iω₀, e quindi la risposta in ampiezza è uguale a zero per ω = ±ω₀; inoltre A(0)=R e A(ω)→R per ω → ±∞.

- Filtro taglia-banda

Questo circuito si comporta come un filtro taglia-banda. Un filtro taglia-banda ha la funzione di sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale con pulsazioni all'interno di una certa banda e lasciare inalterate le ampiezze di tutte le armoniche con pulsazioni all'esterno di quella banda. Nel caso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni interne a un intorno (ω₀− Ω,ω₀ + Ω) di ω₀ (banda oscura del filtro taglia-banda), vengono notevolmente ridotte, rispetto alle ampiezze delle armoniche con pulsazioni esterne a (ω₀− Ω,ω₀ + Ω), (banda passante del filtro taglia-banda); 2Ω è la larghezza della banda oscura del filtro. La larghezza della banda oscura a 3dB vale all'incirca 2α

per ω₀ >> α. La risposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(0) è circa uguale a 0 nell'intorno di ω₀ di ampiezza 2α, ed è uguale all'incirca a 1 all'esterno di questo intorno.

Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito anch'esso risonante alla pulsazione ω₀. Questo circuito ha un comportamento duale a quello del circuito risonante RLC serie con pulsazione ω₀. Nel circuito risonante illustrato in figura 19 alla pulsazione di risonanza l'ammettenza equivalente al parallelo tra l'induttore e il condensatore è uguale a zero e quindi è uguale a zero la tensione sul resistore. Invece per ω →0 e ω → ∞ l'impedenza del parallelo LC tende a zero e quindi la tensione sul resistore è uguale a quella in ingresso.

Figura 19 Circuito RLC anti-risonante.

10.4 Circuiti con amplificatori operazionali e generatori controllati

Ora analizzeremo, attraverso esempi, la risposta in frequenza di circuiti (del primo e del secondo ordine) che utilizzano amplificatori operazionali e generatori controllati. In particolare vogliamo mettere in evidenza due proprietà dell'amplificatore operazionale, che sono fondamentali nelle applicazioni circuitali.

Ricordiamo che l'amplificatore operazionale è un doppio bipolo attivo, non reciproco, che alla porta di uscita si comporta come un generatore di tensione controllato in tensione. Si assuma che, il circuito funzioni in modo tale che l'amplificatore operazionale non vada mai a funzionare in saturazione (la tensione in uscita all'amplificatore operazionale deve essere inferiore a quella di saturazione).

- Un circuito del primo ordine

Si consideri il circuito rappresentato in Figura 20; esso può essere considerato come un doppio bipolo. L'ingresso è la tensione della porta “1” e l'uscita è la tensione della porta “2”. Bisogna determinare la funzione di trasferimento

H(s)= V(s)

E(s)^{. (89)}

Nel dominio s il funzionamento dell'amplificatore operazionale è caratterizzato dalla relazione caratteristica (per il momento consideriamo un guadagno a ciclo aperto finito)

I₊(s)=I₋(s)=0,

V(s)=AV₀(s), (90)

dove A è il guadagno dell'amplificatore.

La corrente I₀(s)è data da:

I₀ =E+V₀

R₀ ^{, (91)}

ed è uguale alla corrente totale che circola nel parallelo costituito dal resistore di resistenza R e dal condensatore. Pertanto la tensione V ˆ del parallelo vale

V ˆ =I₀ R

RCs+1^{. (92)}

Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni alla maglia costituita dalla porta di uscita “2”, dal parallelo R//(1/sC) e dalla porta di ingresso dell'amplificatore operazionale, si ottiene:

V+V +ˆ V₀=0. (93)

Figura 20

Usando la (92) e la (93) e la seconda delle (90), si ha il sistema:

V+ R / R₀ RCs+1+1

  

 V₀ = − R / R₀ RCs+1E, V−AV₀ =0.



 

(94)

Risolvendo il sistema (94), si ottiene V(s)= − R / R₀

RCs+1− 1

A 1+ R / R₀ RCs+1

  

 

 



  E. (95)

Nel limite A→ ∞, la (95) diventa:

H(s)= V(s)

E(s) =k 1

s+ α^{, (96)}

dove

k= − 1

R₀C, α= 1

RC^{. (97)}

Pur avendo il circuito in esame un elemento attivo, il polo della funzione di trasferimento è negativo. Gli effetti dei resistori passivi compensano quelli dell'elemento attivo e globalmente il circuito è dissipativo. Pertanto, il circuito ha una risposta armonica del tipo descritta in §3. Si osservi, innanzi tutto, che è possibile, scegliendo opportunamente R₀, R e C, realizzare, almeno in principio, una risposta in frequenza con una ampiezza massima e una pulsazione a 3dB arbitrarie.

Il circuito considerato, nel caso limite A→ ∞può essere rappresentato attraverso il doppio bipolo equivalente illustrato in figura 21: esso si comporta alla porta “1” come se fosse un resistore di resistenza R₀, (nel limite A→ ∞, V₀→0 e quindi I₀ =E / R₀), e alla porta “2” come se fosse un generatore di tensione controllato in tensione (la tensione della porta “2” è indipendente dalla corrente di uscita). La tensione di controllo è quella applicata in ingresso e la “costante di proporzionalità” è la funzione di trasferimento.

Figura 21

Si considerino, ora, due circuiti del primo ordine, connessi così come è descritto in figura 22 (questo tipo di connessione prende il nome di connessione in cascata).

Figura 22 Connessione in cascata di due blocchi del tipo illustrato in figura 20.

Siccome il circuito N₁ si comporta alla porta “2” come un generatore di tensione controllato dalla tensione V₁, il suo funzionamento è indipendente da ciò che è connesso alla porta “2” (cioè a destra), e quindi

V₂(s) =H₁(s)V₁(s), (98)

dove

H₁(s)=k₁ 1

s+ α₁, k₁ = − 1

R¹₀C₁, α₁=1/ R₁C₁. (99)

La relazione tra V₂ e V₃ è data da:

V₃(s) =H₂(s)V₂(s), (100)

dove

H₂(s) =k₂ 1

s+ α₂, k₂ = − 1

R₀²C₂, α₂ =1 / R₂C₂. (101) Combinando le (98) e (100) si ha la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata:

H(s)= V₃

V₁ =H₁(s)⋅H₂(s). (102)

Allora la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata è uguale al prodotto delle funzioni di trasferimento dei singoli blocchi della cascata. Connettendo m circuiti del primo ordine, del tipo appena descritto, in cascata, è possibile realizzare funzioni di trasferimento con m poli reali e negativi “qualsiasi”.

Osservazione

Si considerino i due circuiti RC illustrati in figura 23a e 23b. Le loro funzione di trasferimento sono H₁(s)= α₁ k₁

s+ α₁, H₂(s)= α₂ k₂

s+ α₂^{, (103)}

dove α₁=1 / R₁C₁ e α₂ =1 / R₂C₂. Si consideri ora il circuito rappresentato in figura 23c ottenuto collegando la porta 2-2' del circuito N1 alla porta 1-1' del circuito N2. Quanto vale la sua funzione di trasferimento H(s)=V₃(s) / V₁(s)? Questa volta il funzionamento del circuito N1 dipende da cosa è collegato alla porta “2”, e quindi è evidente che H(s)≠H₁(s)H₂(s).

Figura 23

Interponendo tra il circuito N1 e il circuito N2 un generatore di tensione controllato in tensione, come illustrato in figura 24, si ottiene