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La determinazione dell’ordine di un filtro passa alto alla Butterworht in base alle specifiche
Determinare l’ordine n di un filtro passa alto alla Butterworth, con pulsazione di taglio ωL, in grado di fornire, per una pulsazione data ωα, un’attenuazione relativa pari ad α.
Svolgimento
Per un filtro passa alto con l’approssimazione di Butterworth il modulo della funzione di trasferimento è dato da:
|𝐴(𝑗𝜔)| = |𝐴0|
√1 + (𝜔𝜔𝐿)2𝑛 Dove |𝐴0| è il guadagno in banda passante.
Dobbiamo determinare l’ordine del filtro che presenti un’attenuazione α alla pulsazione ωα quindi deve essere:
|𝐴(𝑗𝜔𝛼)|
|𝐴0| = 𝛼 = 1
√1 + (𝜔𝜔𝐿
𝛼)2𝑛 Con 𝛼 < 0. Possiamo scrivere:
20 log 1
√1 + (𝜔𝜔𝐿
𝛼)2𝑛
= 𝛼
−20 log √1 + (𝜔𝐿
𝜔𝛼)2𝑛= 𝛼
−10 log [1 + (𝜔𝐿
𝜔𝛼)2𝑛] = 𝛼
log [1 + (𝜔𝐿
𝜔𝛼)2𝑛] =|𝛼|
10
1 + (𝜔𝐿
𝜔𝛼)2𝑛= 10|𝛼|10 (𝜔𝐿
𝜔𝛼)2𝑛 = 10|𝛼|10− 1 Applichiamo il logaritmo in base 10 ad ambo i membri:
log (𝜔𝐿
𝜔𝛼)2𝑛 = log (10|𝛼|10 − 1) 2𝑛 log𝜔𝐿
𝜔𝛼= log (10|𝛼|10− 1)
2 Possiamo determinare il grado del filtro:
𝑛 =log (10|𝛼|10− 1) 2 log𝜔𝜔𝐿
𝛼
Il grado n va arrotondato al numero intero immediatamente superiore.
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Matilde Consales
