Transitorio in un circuito RL

Transitorio in un circuito RL

Marcello Colozzo – www.extrabyte.info

Ad interruttore chiuso (fig. 1), applichiamo il secondo principio di Kirchoff:

V₀ = VR+ VL, (1)

dove: V0 `e il valore della f.e.m.; VR `e la caduta di tensione ai capi della resistenza; VL `e la caduta di tensione ai capi dell’induttanza.

Figura 1: Circuito RL serie.

Dalla legge di Ohm:

V_R = Ri, (2)

essendo i l’intensit`a di corrente che attraversa la serie RL. Siccome L `e il coefficiente di autoinduzione dell’induttanza, si ha:

V_L= Ldi

dt (3)

Quindi

V₀ = Ri + Ldi dt, da cui

di dt +R

Li= V₀

L, (4)

che `e un’equazione differenziale del primo ordine in i (t) (cio`e i (t) `e la funzione incognita). In parti- colare, `e un’equazione lineare. Applichiamo il procedimento standard di risoluzione delle equazioni lineari del primo ordine, trovando il fattore integrante:

I(t) = e^{R Rldt} = e^RLt Moltiplicando primo e secondo membro della (4) per I (t):

e^RLtdi

dt + e^RLtR Li

| {z }

=

=_dt^d

 i(t)e

R Lt

V₀ Le^RLt

Integriamo primo e secondo membro rispetto a t:

Z d dt

h

i(t) e^RLti

dt = V₀ L

Z

e^RLtdt Cio`e

i(t) e^RLt= C + V₀ Re^RLt, 1

essendo C una costante arbitraria (costante di integrazione). Segue i(t, C) = V₀

R + Ce^−RLt (5)

dove abbiamo introdotto a primo membro la dipendenza dalla costante C. Il testo dice che nell’istante iniziale non circola corrente, per cui

i(0, C) = 0 ⇐⇒ V₀

R + C = 0 ⇐⇒ C₀ = −V₀ R

che `e il valore della costante di integrazione che risolve il nostro problema. Sostituendo questo valore nella (5) si trova

i(t) ≡ i (t, C0) = V₀ R



1 − e^−RLt

(6) Esaminiamo il significato delle varie grandezze:

V₀ R

def= i0

`e l’intensit`a di corrente a regime. Infatti, dalla (5):

t→+∞lim i(t) = i0 (7)

Inoltre

R L

def= τ

ha le dimensioni di un tempo; precisamente fissa la scala dei tempi del circuito, giacch`e per t ≫ τ l’esponenziale e<sup>−RLt</sup> = e<sup>−t/τ</sup> `e trascurabilmente piccolo, per cui la (7) `e approssimata da

i(t ≫ τ ) ≃ i₀

Significa che per un intervallo di tempo molto pi`u grande di τ , la corrente ha raggiunto il valore di regime. Notiamo che quest’ultimo `e quello che si ha istantaneamente per L = 0 (circuito puramente ohmico). Con l’introduzione di tali grandezze, la soluzione (6) si riscrive

i(t) = i0 1 − e^−t/τ

Quindi l’andamento della corrente `e una salita esponenziale, ed `e graficata in fig. 2 per particolari valori dei parametri circuitali.

2

0.5 1.0 1.5 2.0 t HsecL 0.5

1.0 1.5 2.0

i HAL

Figura 2: Andamento dell’intensit`a di corrente per V0 = 10 V, R = 5 Ω, L = 1 H.

3