5 SVILUPPO DI UN MODELLO DI MATERIALE POLICRISTALLINO.
5.1 generalità
Con riferimento ad alcuni articoli reperibili in letteratura, si è deciso di sviluppare un programma che permettesse di eseguire un’analisi tramite un modello di materiale policristallino, così da simulare il comportamento degli intagli in modo più dettagliato. Per fare questo sono stati utilizzati i programmi Matlab ed Ansys in sequenza secondo lo schema di Fig. 5-1. È stato realizzato inizialmente un programma parametrico in Matlab che suddivide la geometria della sottostruttura in un insieme di superfici poligonali rappresentanti ciascuna un grano. La tecnica utilizzata è la tassellazione di Voronoi. Il programma sviluppato permette inoltre di controllare la dimensione media dei grani attorno all’intaglio adattando la “Jeffries’s procedue” (normative ASTM), tecnica generalmente utilizzata per identificare la dimensione media di un grano in una struttura policristallina analizzata al microscopio. Il programma in Matlab fornisce in uscita due matrici, contenenti rispettivamente su ciascuna riga “i-esima” le coordinate in x ed in y dei vertici ordinati del poligono “i-esimo” ( dati di input per Ansys). Risolti alcuni problemi di conversione numerica, le due matrici sono elaborate da Ansys (ovviamente il sistema di riferimento globale nei due programmi risulta coincidente), per ricostruire, attraverso anche operazioni “booleane”, la geometria della sottostruttura stessa tassellata I vari grani poi sono stati suddivisi in elementi in modo controllato così da avere nodi coincidenti in prossimità delle interfacce (utile per definire le proprietà sui bordi). La costruzione dei poligoni e dei nodi d’interfaccia è stata realizzata in modo da avere delle numerazioni sequenziali dei nodi e degli elementi per ciascun grano ed avere quindi un controllo sul tipo d’anisotropia da associare ( per esempio introduzione di difetti in certi punti). I nodi di contatto fra bordo e bordo sono stati uniti attraverso elementi visco-elastici, con proprietà da definire. Il modello è stato costruito in modo da poter introdurre in modo controllato sia proprietà anisotrope del materiale, sia difetti localizzati e quindi risulta adatto per vari tipi d’analisi.
5.2 Tassellazione della sottostruttura : programmazione in ambiente Matlab.
La suddivisione in aree di forma irregolare, per simulare la granulosità del materiale reale, è stata realizzata tramite un programma parametrico in Matlab. La tecnica utilizzata è la tassellazione di Voronoi [27]. Questa tecnica si basa su un algoritmo che, senza entrare nei dettagli, lavora nel seguente modo: definito in una determinata regione un insieme di punti, che può essere sia casuale sia controllato, per ciascun punto il
programma, basandosi sulla distanza Euclidea, genera la bisettrice del segmento che unisce tale punto con quelli confinanti entro una determinata distanza. Le varie bisettrici incontrandosi formano una superficie poligonale chiusa (Fig. 5-2). Quando una bisettrice non incontra altre bisettrici, l’algoritmo considera tale linea all’infinito e non genera un poligono chiuso. Nel nostro caso è stato definito un numero di punti (parametro di input) casualmente distribuito all’interno della regione della sottostruttura. È stata aggiunta anche
una serie di punti esterni alla sottostruttura in modo da forzare l’algoritmo a generare una superficie di “contenimento” e formare solamente dei poligoni chiusi. In figura Fig. 5-4 è rappresentato un esempio della possibile suddivisione della sottostruttura nel caso P=0.5mm ed R=0.05mm. si può osservare come la superficie di contenimento permetta di non avere poligoni aperti. Si può osservare che la suddivisione in grani è estesa anche al di fuori della sottostruttura. In Ansys sono stati importati tutti i tasselli e poi si sono utilizzate operazioni di intersezione fra area del tassello e area della sottostruttura, così da ottenere solo una suddivisione della sottostruttura stessa. Il programma in Matlab sviluppato permette un controllo del posizionamento dei punti casuali tramite i parametri indicati in Fig. 5-3. Questo controllo si è dimostrato molto utile per ridurre, a parità di geometria della sottostruttura e dimensione media del tassello, il numero di tasselli, concentrandoli maggiormente nella regione del raggio intaglio e avere così una riduzione dei tempi di calcolo nelle analisi in Ansys. Il programma sviluppato permette inoltre di controllare la dimensione media dei grani attorno all’intaglio adattando la “Jeffries’s procedue” (normative ASTM [28]), tecnica generalmente utilizzata per identificare la dimensione media di un grano in una struttura policristallina analizzata al microscopio. Questa tecnica si basa sostanzialmente sul conteggio del numero di grani in una determinata regione rettangolare, e ottenuti i grani/mm^2 si confronta il valore con delle tabelle specifiche. Per il nostro caso la tabella è stata incorporata nel programma Matlab.
Fig. 5-2 Esempio di costruzione di un poligono con la tecnica di Voronoi.
Fig. 5-4 Suddivisione in tasselli della sottostruttura. Esempio P=0.5mm;R=0.05mm. Deltainterno+ deltapuntirandom deltapuntirandom 748.5 749 749.5 750 750.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Dimensione media del grano maggiore di 30 micron
OUTPUT:
Matrice coordinate x (matcoordinatex) Matrice coordinate y (matcoordinatey) Vettore dimensione colonna (dimcolonna)
Vettore dimensione riga (dimriga) Matrice dati geometrici utilizzati (matricedati) Parametri geometrici:
Profondità di intaglio (Pint) Raggio intaglio (rr) Angolo intaglio (incli) Diametro del cilindro(Dcil) Distanza radiale lungo la bisettrice fra bordo
sottostruttura e vertice intaglio (L) Distanza fra bisettrice intaglio e bordo in
direzione ortogonale alla bisettrice (H)
Parametri per tassellazione: Numero di punti casuali (num) Distanza punti-bordo (deltainterno) Distanza punti-intaglio(deltapuntirandom)
MATLAB
Nel metodo di conteggio previsto è specificato anche come considerare quei grani che si trovano a cavallo della regione di conteggio.
Il programma Matlab in uscita fornisce sia la matrice di parametri geometrici che due matrici contenenti su ciascuna riga le coordinate rispettivamente in x ed in y del poligono i-esimo. Nel programma è implementato un controllo sulle matrici in modo che esse non abbiano termini di tipo “INF”, cioè vertici all’infinito. Per favorire la conversione fra i dati in uscita di Matlab e quelli in ingresso per Ansys, le matrici sono convertite in vettori colonna che sono poi ricostruite in Ansys conoscendo le dimensioni delle righe e delle colonne delle matrici originarie. Ecco perché in uscita il programma Matlab fornisce anche due vettori in cui sono memorizzate le dimensioni della riga e delle colonne delle matrici di coordinate (Fig. 5-5). Il listato del programma in Matlab è raccolto in Appendice 4.
5.3 Analisi ad elementi finiti: programmazione in ambiente Ansys.
In ambiente ansys è stato sviluppato un programma che si basa sulla tecnica di analisi per sottostrutture. In particolare il programma analizza metà modello (Fig. 5-1) attraverso un modello bidimensionale assialsimmetrico. Il programma è molto simile a quello sviluppato per lo studio con materiale omogeneo ed isotropo mantenendo la stessa possibilità di scelta “interattiva” del tipo di analisi (elastica o plastica) e di controllo della mesh. Vicino all’intaglio è però definita la sottostruttura le cui dimensioni devono essere sufficientemente grandi da non perturbare i risultati. In una prima fase il programma esegue uno studio delle sollecitazioni utilizzando delle mesh grossolane e calcola gli spostamenti nodali sul contorno della sottostruttura, successivamente viene costruita nella stessa posizione geometrica la sottostruttura e viene tassellata secondo i dati di input derivanti da Matlab. Eseguita la suddivisione in tasselli, eseguite le operazioni d’intersezione per avere solo tasselli interni ed associate le proprietà del materiale, viene condotta la meshatura di ciascun tassello, vengono applicati gli spostamenti nodali ricavati dalla analisi precedenti e viene elaborata la soluzione.
5.3.1 Problema dell’anisotropia.
L’aspetto fondamentale del processo risulta proprio l’anisotropia di un materiale reale. Il programma Ansys è stato realizzato in modo da poter introdurre in modo controllato sia proprietà anisotrope del materiale, sia difetti localizzati. In particolare i vari grani sono stati suddivisi in elementi in modo controllato così da avere nodi coincidenti in prossimità delle interfacce (utile per definire le proprietà sui bordi). La costruzione dei poligoni e dei nodi d’interfaccia è stata realizzata in modo da avere delle numerazioni sequenziali dei nodi e degli
Grano A Grano B EL1 EL2 EL1 EL2
elementi per ciascun grano ed avere quindi un controllo sul tipo d’anisotropia da associare ( per esempio introduzione di difetti in certi elementi conoscendone la numerazione). I nodi di contatto fra bordo e bordo sono stati uniti attraverso elementi visco-elastici, con proprietà da definire (Fig. 5-6).
Una delle metodologie per trattare l’anisotropia della struttura policristallina, con riferimento a vari articoli in letteratura, risulta la seguente: per le proprietà elastiche, ogni singolo grano è trattato come un monocristallo e gli vengono associate le proprietà della corrispondente struttura cristallina (Bcc o Fcc gli Acciai) orientate secondo una certa direzione e, all’interno dell’aggregato, tale direzione è fatta variare in
modo casuale (Fig. 5-7), ruotando i sistemi di riferimento degli elementi associati all’area rappresentante il grano stesso; per le proprietà plastiche del singolo grano è presa come riferimento la teoria della plasticità del cristallo, basata sull’ipotesi che la deformazione sia legata allo scorrimento lungo i piani a massimo impacchettamento e che la trasformazione plastica sia isocorica. In particolare con
riferimento a [31], sono utilizzate delle sub-routine in cui si tiene conto del fatto che ogni sistema di scorrimento del cristallo, porta ad uno scorrimento se si supera una determinata tensione tangenziale critica e durante lo scorrimento il sistema tende ad incrudire secondo una legge che è funzione degli scorrimenti ed incrudimenti avvenuti negli altri sistemi.
Per assegnare le proprietà anisotrope, sono disponibili in Ansys due modelli principali di plasticità (il “Modello di Hill” ed il “modello di plasticità anisotropa”), che permettono di definire le proprietà elasto-plastiche nelle tre direzioni normali e di taglio rispetto al sistema di riferimento del singolo elemento. La differenza fra i due modelli risiede nel fatto che nel caso del
modello di plasticità anisotropa devo definire tutte le costanti per ciascuna direzione, mentre nel modello di Hill si definisce una unica curva del materiale (bilineare o multilineare) che viene
opportunamente scalata in base alla direzione. Nel caso bidimensionale i sistemi di scorrimento risultano due ed, ipotizzando che non ci sia influenza reciproca per quanto riguarda l’incrudimento, si può utilizzare uno dei modelli presenti in Ansys senza subroutine in linguaggio Fortran. Nel caso di modello di plasticità anisotropa si possono associare delle proprietà a taglio in base alle quali in sistema scorre con dei bassi valori di tensione di taglio con comportamento perfettamente plastico (senza incrudimento), mentre per le altre direzioni si
Fig. 5-7 Orientamento dei grani nella struttura policristallina.
possono impostare dei valori di snervamento fittizi da rendere il comportamento puramente elastico.
Il bordo dei grani è trattato spesso come “coerente” utilizzando delle costanti elastiche di valore molto elevato negli elementi visco-elastici. tuttavia esiste la possibilità di introdurre difetti oppure far variare le proprietà in modo casuale come viene fatto in [31] conducendo delle analisi statistiche.
Per le dimensioni dei grani, si trovano in letteratura vari studi in cui si cerca di caratterizzare il modello di materiale policristallino in modo che fornisca mediamente un comportamento molto vicino a quello del materiale considerato isotropo. In generale nel caso di grani di dimensione massime di 15 µm, si ottengono già degli errori nel calcolo delle deformazioni medie e tensioni medie non superiori all’1% [32].
In appendice quattro sono raccolti i listati del programma il file batch per l'analisi in sottostrutture di Ansys e il file .txt per la suddivisione in tasselli in Matlab.
6 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI.
Le analisi svolte con materiale omogeneo isotropo e bilineare, caratterizzano il comportamento di piccoli intagli solo a carattere indicativo, in particolare non si riesce ad identificare bene il ruolo dello snervamento per “l’effetto di saturazione dell’effetto intaglio” sotto determinati raggi di raccordo. Lo sviluppo del modello con suddivisione in grani, getta le basi per future indagini di tipo statistico, magari eseguite anche su cilindri di diametro inferiore valutando quindi sia gli effetti di bordo, in questa prima fase trascurati, sia il comportamento dei diversi intagli in funzione delle dimensioni assolute del pezzo. Potrebbero poi essere utilizzate delle proprietà anisotrope di tipo ciclico, anche se già con proprietà monotone si dovrebbero ottenere buone indicazioni per interpretare il fenomeno di “saturazione” detto.
