y x Figura 1: (a) Posizione dei vettori E e B nel piano xy. (b) Andamento qualitativo del campo elettrico lungo la direzione di propagazione.

Esercizio 1. Onda piana polarizzata linearmente

Un’onda piana, monocromatica, polarizzata linearmente, si propaga nel vuoto lungo ˆz con frequenza f = 3.75 · 10¹⁴ Hz. Il campo elettrico `e inclinato di α = π/6 come in figura rispetto l’asse ˆx e in modulo vale E<sub>o</sub> = 1 kV/m. Scrivere l’epressione del campo elettrico E e del campo magnetico B. Si calcoli infine l’intensit`a I dell’onda.

x y

B E

z

Boy

Box

o α

x y

z

(a) (b)

Figura 1: (a) Posizione dei vettori E e B nel piano xy. (b) Andamento qualitativo del campo elettrico lungo la direzione di propagazione.

Soluzione 1

Innanzitutto ricaviamo i parametri fondamentali dell’onda:

λo= c

f ∼= 800 [nm] k = 2π λo

∼= 7.85· 10⁶ [rad/m] ω = kc = 2πf ∼= 2.35· 10¹⁵ [rad/s]

Scomponiamo ora il campo elettrico lungo ˆy e ˆz:

(Eox= Eocos(π/6) =√ 3/2

E_oy = E_osin(π/6) = 1/2 [kV /m]

(Ex(z, t) =√

3/2 sin(kz − ωt)

E_y(z, t) = 1/2 sin(kz − ωt) [kV /m]

L’espressione del campo elettrico risulta quindi:

E(z, t) = E~ _x(z, t)ˆx + E_y(z, t)ˆy Ricaviamo ora l’espressione analoga per il campo magnetico B:

B =~ z × ~ˆ E c = E_x

c z × ˆx +ˆ E_y

c z × ˆy =ˆ E_x

c y −ˆ E_y c xˆ Quindi per le convenzioni scelte per gli assi x, y







B_ox = −Eoy

c = −1.67 Boy = E_ox

c = 2.89

[µT ]

(Bx(z, t) = −1.67 sin(kz − ωt)

B_y(z, t) = 2.89 sin(kz − ωt) [µT ] L’espressione del campo magnetico risulta quindi:

B(z, t) = B~ x(z, t)ˆx + By(z, t)ˆy Bo= | ~B| =q

B_ox² + B²_oy ∼= 3.33 [µT ] Infine per l’intensit`a dell’onda, scriviamo:

I = 1

2ǫ_ocE_o²= E²_o

2Z_o ∼= 1, 33 [kW/m²]

Esercizio 2. Onda piana polarizzata ellitticamente

Un’onda piana monocromatica `e polarizzata elliticamente con Eoy =√

3Eox. Avente intensit`a I = 20 W/m² si propaga lungo z in un mezzo di indice di rifrazione n=1.5 dove esibisce una lunghezza d’onda λ = 400 nm. Si scriva l’espressione del campo elettrico dell’onda.

x y

z

Eoy

x y

z

(a) (b)

Figura 2: (a) Posizione dei vettori E e B nel piano zy. (b) Andamento qualitativo del campo elettrico lungo la direzione di propagazione.

Soluzione 2

k = 2π

λ = 15.7 · 10⁶ [rad/m] ω = kv = kc/n = 31.4 · 10¹⁴ [rad/s]

I = n 2Zo

[E_oy² + E_ox² ] = n 2Zo

[3E_ox² + E_ox² ] = 2n Zo

E_ox²







E_ox =r ZoI

2n ∼= 50.13 Eoy =√

3Eox∼= 86.83

[V /m]

(Ex(z, t) = Eoxsin(kz − ωt)

Ey(x, t) = Eoysin(kz − ωt ± π/2) [V /m]

E(z, t) = E~ _x(z, t)ˆx + E_y(z, t)ˆy

Analogamente le corrispondenti componenti del campo magnetico si troveranno con:

B =~ z × ~ˆ E v Esercizio 3. Pressione della radiazione

Un laser emette un fascio a λo = 532 nm (nel vuoto) assimilabile ad un’onda piana monocromatica con polarizzazione ellittica tale per cui E_oy =√

2E_ox. La radiazione incide perpendicolarmente su una superficie circolare completamente riflettente di raggio r=10 cm e massa m=1 g. Determinare Eoy e Eox in modo tale che il cilindretto “galleggi” in aria e scrivere l’espressione dell’onda. Quale potenza P dovrebbe emettere una lampadina per realizzare la stessa condizione ad una distanza d=1 mm?

Soluzione 3

Richiamiamo innanzitutto la formula della pressione P_rad esercitata dalla radiazione su una superficie completamente riflettente:

P_rad = 2I

c = F_em

A = F_em πr² [P a]

Poich`e il corpo deve stare in equilibrio in aria la somma delle forze applicate deve essere nulla:

(a) (b) F

F m

g x

Laser

F

F m

g

Figura 3: (a) Laser e cilindretto in aria (b) Lampadina ideale e cilindretto.

Fem = Fg → 2πr²I

c = mg → I = cmg

2πr²

Ricavata l’intensit`a necessaria a far “galleggiare” in aria il cilindretto, esprimiamola in funzione delle componenti del campo elettrico dell’onda:

I = n 2Zo

[E_oy² + E²_ox] = 3E_ox² 2Zo

= cmg

2πr² [W/m²] Ricaviamo come di consueto i parametri fondamentali dell’onda:

k = 2π

λ_o = 11.8 · 10⁶ [rad/m] ω = kc = 35.4 · 10¹⁴ [rad/s]

Da cui l’espressione finale:







Eox =r Zocmg 3πr² ∼= 108 Eoy =√

2Eox ∼= 153

[kV /m]

(E_x(z, t) = E_oxsin(kz − ωt)

Ey(z, t) = Eoysin(kz − ωt ± π/2) [kV /m]

La potenza che dovrebbe emettere una lampadina per mantere sospeso in aria lo stesso cilindretto ad una distanza di d =1 mm si ricava come segue:

I = cmg 2πr² = P

4πd² P = 2cmgd²

r² ∼= 588 [W ] Esercizio 4. Soluzione equazione delle onde.

Sia data la seguente funzione ξ(x, t) = 1/[(x − t)²+ 1]. Si disegni la funzione assegnata, si determini la velocit`a di v di propagazione e si verifichi che rappresenta una soluzione per l’equazione delle onde.

Soluzione 4

Rappresentiamo l’andamento di ξ in due istanti di tempo (ad esempio t = 0 e t = 3 s):

ξ(x, 0) = 1

x²+ 1 ξ(x, 3) = 1 (x − 3)²+ 1

La curva trasla verso destra come vt con v = 1 m/s come si osserva anche in figura sottostante.

Perch`e rappresenti una soluzione per l’equazione delle onde deve soddisfare:

∂²ξ

∂x² = 1 v²

∂²ξ

∂t² → ∂²ξ

∂x² = ∂²ξ

∂t² Quindi a primo membro abbiamo:

4 2 2 4 6 8 0.2

0.4 0.6 0.8

Figura 4: Impulso al tempo t = 0 s in blu, impulso all’istante t = 3 s in rosso. Si pu`o osservare come dopo 3 secondi la curva si sia spostata di 3 m verso destra.

∂²ξ

∂x² = ∂

∂x

 ∂ξ

∂x



= ∂

∂x

 −2(x − t) [(x − t)²+ 1]²



= 4(x − t)²− 2 [(x − t)²+ 1]³ Mentre a secondo membro abbiamo:

∂²ξ

∂t² = ∂

∂t

 ∂ξ

∂t



= ∂

∂t

 2(x − t) [(x − t)²+ 1]²



= 4(x − t)²− 2 [(x − t)²+ 1]³

I due risultati sono equivalenti. La funzione ξ(x, t) rappresenta effettivamente una soluzione per l’equazione delle onde.

Esercizio 5. Onda piana polarizzata linearmente.

Sia data la seguente espressione del campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana, monocromatica polarizzata linearmente: ~E = 50 cos(10⁸· t + kx)ˆy V/m. a) Si dermini la direzione di propagazione dell’onda; b) si ricavi il vettore d’onda k e si determini il tempo t¹ necessario a percorrere la distanza λ/2; c) disegnare l’onda a t = 0, t = T /4 e t = T /2; d) scrivere l’espressione del campo magnetico B;

e) calcolare l’intensit`a dell’onda I.

Soluzione 5

a) Si propaga nel verso -ˆx b) k = ω/c = 1/3 rad/s

Se il periodo dell’onda `e T , in t = T si percorre la distanza λ. Quindi t1= T /2 = π/ω ∼= 31.42 ns.

c)

t = 0 → E = 50 cos(k · x)ˆy~ t = T /4 → E = 50 cos(k · x + π/2)ˆy~

t = T /2 → E = 50 cos(k · x + π)ˆy~

d) Bo = Eo/c ∼= 167 nT. Quindi, scegliendo la consueta terna destrorsa per gli assi cartesiani (ˆx × ˆy = ˆz):

B = −167 cos(10~ ⁸· t + kx)ˆz [nT ]

e) L’intensit`a risulta:

I = E_o² 2Zo

∼= 3.32 W/m²

-20 -10 10 20

-40 -20 20 40

Figura 5: Grafico dell’onda negli istanti di tempo richiesti al punto c). In ordine: blu, viola, senape.

Si verifica graficamente la direzione di propagazione nella direzione delle ascisse negative.