( x − 4 xy + x )( x y ) 14 34 54 ( a − 2 b ) ( a + 2 b ) −( a − ab − b )( a − ab + b )+(− 3 ab ) f ( a )= 3 a +( a − 2 )

VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – 23 aprile 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare entro le ore 12:45

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1 Consideriamo la funzione f (a )=3 a+(a−2)² . Determinare i seguenti valori:

f (6) ; f (−2) ; f (8

3) ; f (0)

2 Eseguire le seguenti operazioni tra monomi, scrivendo il risultato come monomio in forma normale.

1

4a⁴b c−3

4a³b c+a³b c ^;

(a−2 b)²(a+2 b)²−(a²−ab−b²)(a²−ab+b²)+(−3 a b)²

3 In un triangolo la base è 7z e l'altezza relativa è 9

4 z . Determinare l'area. Se la base è diminuita di 3

2z e l'altezza aumentata della sua metà, qual è la differenza tra le due aree?

4 Calcolare le seguenti moltiplicazioni monomio/polinomio in modo da scriverle nella forma del polinomio più semplice possibile.

i (3 x−2 y−z )(5 y ) ii (1

4 x²−4 x y +3 4x²)(5

4x²y³)

5 Calcolare le seguenti moltiplicazioni polinomio/polinomio in modo da scriverle nella forma del polinomio più semplice possibile.

i (3 x+z)(1 3z−3

4 x) ii (2 7a+2

5b)(5 c−a+7 b)

Argomenti: Operazioni con monomi e polinomi. Capitolo 5 del libro di testo. VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecch i

BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it ; Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

1 Consideriamo la funzione f (a )=3 a+(a−2)² . Determinare i seguenti valori:

f (6) ; f (−2) ; f (8

3) ; f (0)

f (6)=3×6+(6−2)²=18+4²=18+16=34

f (−2)=3(−2)+(−2−2)²=−6+(−4)²=−6+16=10 f (8

3)=3(8 3)+(8

3−2)

2

=8+(2 3)

2

=8+4 9=76

9 f (0)=3×0+(0−2)²=0+(−2)²=4

In altre versioni si doveva alternativamente calcolare:

f (1)=4 ; f (2)=6 ; f (3)=10 ; f (4)=16 ; f (5)=24 ; f (7)=46 ; f (8)=60 ; f (9)=76 f (1

3)=34 9 ; f (2

3)=34 9 ; f (4

3)=40 9 ; f (5

3)=46 9 ; f (7

3)=64 9 ; f (8

3)=76 9 f (1

4)=61 16; f (3

4)=61 16; f (5

4)=69 16; f (7

4)=85 16; f (9

4)=109 16

f (−1)=6 f (−3)=16 f (−4)=24 f (−5)=34 f (−6)=46 f (−7)=60 f (−8)=76 f (−9)=94 2 Eseguire le seguenti operazioni tra monomi, scrivendo il risultato come monomio in forma normale.

1

4a⁴b c−3

4a³b c+a³b c ^;

(a−2 b)²(a+2 b)²−(a²−ab−b²)(a²−ab+b²)+(−3 a b)² 1

4a⁴b c−3

4a³b c+a³b c=1

4a⁴b c+1 4a³b c

(a−2 b)²(a+2 b)²−(a²−ab−b²)(a²−ab+b²)+(−3 a b)²=...

Per semplificare i calcoli applico il prodotto notevole somma per differenza sia alla prima moltiplicazione: (a−2 b)(a+2b)=a²−4 b²

e anche alla seconda (con un po' di fantasia): (a²−ab+b²)(a²−ab+b²)=(a²−ab)²−b⁴ ...=(a²−4 b²)²−((a²−ab)²−b⁴)+9 a²b²=(a²−4 b²)²−(a²−ab)²+b⁴+9 a²b²=...

Adesso sviluppo i quadrati utilizzando il prodotto notevole del quadrato del binomio:

...=a⁴−8 a²b²+16 b⁴−(a⁴−2 a³b+a²b²)+b⁴+9 a²b²=...

...=a⁴−8 a²b²+16 b⁴−a⁴+2 a³b−a²b²+b⁴+9 a²b²=...

E finalmente sommo tra loro i monomi simili:

...=17 b⁴+2 a³b

In altre versioni del compito l'espressione della prima riga aveva tutti i monomi simili e cambiavano i coefficienti:

1

3a³b c+3

4a³b c−a³b c= 1

12a³b c 1

3a³b c+5

3a³b c−a³b c=a³b c

1

2a³b c+2

3a³b c−a³b c=1

6a³b c 1

2a²b c−3

2a²b c+a²b c=0 1

5a³b c+5

4a³b c−a³b c= 9

20a³b c 1

3a³b c−2

3a³b c+a³b c=2 3a³b c 1

5a³b c−5

4a³b c+a³b c=− 1

20a³b c 1

3a²b c−2

3a²b c+a²b c=2 3a²b c 1

6a³b c+6

5a³b c−a³b c=11

30a³b c 1

4a⁴b c−5

4a⁴b c−a⁴b c=0 1

4a³b c−3

4a³b c+a³b c=1

2a³b c 1

5a⁵b c−3

5a⁵b c+a⁵b c=3 5a⁵b c 1

7a⁷b c−5

7a⁷b c+a⁷b c=3

7a⁷b c 1

2a²b c−5

2a²b c+a²b c=−a²b c

C'è anche una ulteriore versione con monomi non simili:

1

6a⁶b c−5

6a⁵b c+a⁶b c=7

6a⁶b c−5 6a⁵b c 3 In un triangolo la base è 7z e l'altezza relativa è 9

4z . Determinare l'area. Se la base è diminuita di 3 2z e l'altezza aumentata della sua metà, qual è la differenza tra le due aree?

L'area del triangolo si trova con la formula area=base×altezza 2 Nel nostro caso: 7 z×9

4z ×1 2=63

8 z²

Con le modifiche descritte l'area diventa: (7 z−3 2z )(9

4 z+1 2

9 4z )1

2=11 2 z ×27

8 z ×1 2=297

32 z² Dunque la differenza richiesta è 297

32 z²−63

8 z²=297−252

32 z²=45 32 z² Questa domanda cambiava a seconda della versione del compito.

3 bis In un triangolo la base è 3 a e l'altezza è 6 b . Determinare l'area. Se la base è aumentata di 7 2a e l'altezza diminuita di 2 b , di quanto varia l'area?

L'area del triangolo si trova con la formula area=base×altezza 2

Nel nostro caso: 3 a×6 b×1 2=9 a b

Con le modifiche descritte l'area diventa: (3 a+7

2a)(6 b−2 b)1 2=13

2 a 4 b1

2=13 a b Dunque la differenza richiesta è 13 a b−9 a b=4 a b

3 tris Considerare tre segmenti AB, CD, EF di cui sappiamo che la lunghezza di AB è a, CD è la terza parte di AB, EF è la somma del triplo di AB con il doppio di CD. Determinare la misura dell'area del trapezio MNPQ, sapendo che la sua altezza ha la stessa misura di CD, la base MN ha la stessa misura di EF e la base PQ ha la stessa misura di AB.

Consideriamo i tre segmenti, traducendo le informazioni in formule matematiche.

AB=a ;CD=1

3a ; EF =3 a+2 3a=11

3 a

Passiamo ora al trapezio citato. Le ulteriori lettere MNPQ servono solo a farci confondere, quello che ci interessa sono le misure di base maggiore, base minore e altezza.

altezza :1

3a ;base maggiore :11

3 a ;base minore :a

La formula per l'area del trapezio è area=(base maggiore+base minore)×altezza 2

Nel nostro caso l'area è (11

3 a+a )1 3a1

2=14 9 a²1

2=7 9a²

3 quater Nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore è AB e il lato perpendicolare alla base è AD. Sapendo che la lunghezza di AB e la lunghezza di BC sono entrambe uguali a 5 a e che la lunghezza di CD è uguale ad a, calcolare la misura dell'area del trapezio.

Facciamo un disegno per capire meglio:

La formula per l'area del trapezio è area=(base maggiore+base minore)×altezza 2

Nel nostro caso abbiamo la base maggiore AB=5 a ; la base minore CD=a ma ci manca l'altezza. In compenso ci è stata fornita la misura del lato obliquo BC=5 a . Per ricavare l'altezza potremmo applicare il teorema di Pitagora al triangolo BCC' avendo indicato con C' la proiezione di C sul segmento AB.

BC ' =5 a−a=4 a AD=CC '=

√

√

√

Dunque l'area del trapezio è 1

2(5 a+a)3 a=1

2(6 a )3 a=9 a² .

3 quinquies Calcolare la misura dell'area di un rettangolo ABCD, di cui si sa che la lunghezza del lato AB è a e che la lunghezza del lato BC è la somma del doppio di AB con il triplo della metà di AB.

Traduciamo in simboli matematici quanto ci viene riferito sui lati del rettangolo.

AB=a ; BC=2 a+3 2a=7

2a

E adesso calcoliamo l'area semplicemente moltiplicando tra loro le lunghezze dei lati.

L'area richiesta è a×7 2 a=7

2a²

4 Calcolare le seguenti moltiplicazioni monomio/polinomio in modo da scriverle nella forma del polinomio più semplice possibile.

i (3 x−2 y−z )(5 y ) ii (1

4x²−4 x y +3 4 x²)(5

4 x²y³)

i (3 x−2 y−z )(5 y )=15 x y−10 y²−5 y z ii (1

4 x²−4 x y +3 4x²)(5

4x²y³)= 5

16x⁴y³−5 x³y⁴+15

16 x⁴y³=5

4x⁴y³−5 x³y⁴

oppure si potevano sommare i monomi simili prima di moltiplicare:

ii (1

4 x²−4 x y +3 4 x²)(5

4 x²y³)=(x²−4 x y)(5

4 x²y³)=5

4x⁴y³−5 x³ y⁴

Nelle versioni alternative:

i (3 x−4 y+z )(3 y)=9 x y−12 y²+3 y z

ii (1

5 x²−5 x y+4 5x²)(3

5x²y³)=3

5x⁴y³−3 x³y⁴

i (4 x−3 y+z )(4 y )=16 x y−12 y²+4 y z

ii (1

7x²−7 x y+3 7x²)(5

7x²y³)=20

49x⁴y³−5 x³y⁴

i (5 x−7 y+z )(5 y)=25 x y−35 y²+5 y z

ii (1

3x²−3 x y+4 3x²)(5

3x²y³)=25

9 x⁴y³−5 x³y⁴

i (3 x+2 y +z )(4 y )=12 x y+8 y²+4 y z

ii (1

2 x²+2 x y−3 2x²)(5

2x²y³)=−5

2 x⁴y³+5 x³y⁴

i (3 x+4 y−z)(3 y)=9 x y+12 y²−3 y z

ii (1

5 x²+5 x y−4 5x²)(3

5x²y³)=− 9

25x⁴y³+3 x³y⁴

i (3 x+2 y−z)(5 y )=15 x y +10 y²−5 y z

ii (5

3x²−3 x y+7 3x²)(3

4x²y³)=3 x⁴y³−9 4 x³y⁴

i (5 x+3 y−z)(3 y)=15 x y+9 y²−3 y z

ii (1

6x²+6 x y−5 6x²)(5

6x²y³)=−5

9x⁴y³+5 x³y⁴

i (5 x−4 y+z)(2 y)=10 x y−8 y²+2 y z

ii (1

6x²−6 x y +5 6x²)(1

6x²y³)=1

6x⁴y³−x³y⁴

i (3 x+5 y−z)(4 y)=12 x y+20 y²−4 y z

ii (1

5 x²+5 x y−4 5x²)(5

4x²y³)=−3

4 x⁴y³+25 4 x³y⁴

i (4 x+5 y−z)(2 y)=8 x y+10 y²−2 y z

ii (1

7x²+7 x y−5 7x²)(3

7x²y³)=−12

49x⁴y³+3 x³y⁴

i (3 x−2 y−z)(5 y )=15 x y−10 y²−5 y z

ii (1

4 x²−4 x y +3 4 x²)(5

4 x²y³)=5

4x⁴ y³−5 x³y⁴

i (4 x−5 y+z)(3 y)=12 x y−15 y²+3 y z

ii (5

7x²−7 x y+3 7x²)(4

7x²y³)=32

49x⁴y³−4 x³y⁴

i (4 x+5 y−z)(3 y)=12 x y+15 y²−3 y z

ii (5

7x²+7 x y−3 7x²)(4

7x²y³)= 8

49x⁴y³+4 x³y⁴

i (3 x+6 y−z)(2 y)=6 x y+12 y²−2 y z

ii (5

9x²−9 x y+3 9x²)(4

9x²y³)=32

81x⁴y³−4 x³y⁴

i (9 x−2 y+z )(5 y )=45 x y−10 y²+5 y z

ii (5

2 x²+2 x y−3 2x²)(3

2x² y³)=3

2x⁴y³+3 x³y⁴

5 Calcolare le seguenti moltiplicazioni polinomio/polinomio in modo da scriverle nella forma del polinomio più semplice possibile.

i (3 x+z)(1 3z−3

4 x) ii (2 7a+2

5b)(5 c−a+7 b)

i (3 x+z)(1 3z−3

4 x)=3

3 x z +1 3z²−9

4 x²−3

4 x z=1

4x z+1 3z²−9

4 x² ii

(2 7a+2

5b)(5 c−a+7 b)=10 7 a c−2

7a²+2 a b+2 b c−2

5a b+14

5 b²=10 7 a c−2

7a²+8

5a b+2 b c+14 5 b²

Nelle versioni alternative

i (4 z−x )(1 2 x+2

3z)=4 3x z−1

2x²+8

3 z² ii (2

3a−2

5b)(3 a−b−2 c)=2 a²−28

15a b+2 5b²−4

3a c+4 5b c

i (2 x +z )(1 4 x−4

3 z)=1 2x²−4

3z²−29

12 x z ii (2

5a−2

3b)(3 b−c+2 a)=−2

5a c+4

5a²−2 b²+2

3b c− 2 15a b

i (4 x−z)(1 2 z+2

3 x)=4 3x z−1

2z²+8

3 x² ii (2

3b−2

5a)(3 b−c−2 a)=2 b²−2

3b c−38

15a b+2

5a c+4 5a²

i (4 x+z )(1 2z−2

3 x)=4 3x z+1

2z²−8

3 x² ii (2

3a−2

5b)(3 b−c−2 a)=14

5 a b−2 3a c−4

3a²−6 5b²+2

5b c

i (3 z+ x)(3 5x−3

4 z)=21 20x z−9

4z²+3

5x² ii (4

7a+4

5b)(3 a+b−6 c)=12

7 a²+104

35 a b−24

7 a c+4

5b²−24 5 b c

i (3 x−z )(3 5x +3

4 z)=9

5 x²+33

20 x z−3

4 z²

ii (3 7a+3

5b)(4 a−b+6 c)=12

7 a²+69

35a b+18 7 a c−3

5b²+18 5 b c

i (2 x +z )(1 3 x−1

4 z)=2 3x²−1

6x z−1

4 z² ii (3

7a−3

5b)(4 a+b+6 c)=12

7 a²−69

35a b+18 7 a c−3

5b²−18 5 b c

i (2 x−z)(1 3x+1

4 z)=2 3x²+1

6x z−1

4z² ii (3

7a+3

5b)(4 a−b−6 c)=12

7 a²+69

35a b−18 7 a c−3

5b²−18 5 b c

i (3 x+z)(1 3z−3

4 x)=−9 4 x²+1

4x z+1

3z² ii (2

7a−2

5b)(5 c−a+7 b)=10 7 a c−2

7a²+8

5a b+2 b c+14 5 b²

i (3 x+z)(1 3x−3

4 z)= x²−23 12x z−3

4 z² ii (2

7a−2

5b)(3 a−b+7 c)=6

7a²+32

35a b+2 a c−2

5b²+14 5 b c

i (3 z−x)(1 3x +3

4 z)=1

4x z +9 4z²−1

3x² ii (2

7b−2

5a)(5 c+b−7 a)=10 7 bc+2

7b²−12

5 a b−2 a c+14 5 a²

i (3 x+z)(1 3z−3

4 x)=−9 4 x²+1

3 z²+3

4 x z ii (2

7a−2

5b)(3 a+b−7 c)=−32 35a b+6

7a²−2 a c−2

5b²+14 5 b c

i (3 z+ x)(1 3x−3

4 z)=1

4x z−9 4 z²+1

3x² ii (2

7b−2

5a)(5 a+b−7 c)=36

35a b+2

7b²−7 b c−2 a²+14 5 a c

i (3 z+ x)(3 5z−1

4 x)=9 5 z²− 3

20 x z−1

4x² ii (4

7a−4

5b)(2 a+b−6 c)=8

7a²−36

35a b−24 7 a c−4

5b²+24 5 b c