Sistemi di controllo

(1)

Cognome: Nome: N. Matr.:

Sistemi di controllo

Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

Compito del 15 febbraio 2012 - Quiz

Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere pi`u risposte corrette.

I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno met`a delle risposte esatte (punti 5 su 10), diversamente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.

1. Se un sistema dinamico presenta un margine di fase Mf⋆

> 0, chiuso in retroazione unitaria negativa, dar`a luogo a sistema stabile anche in presenza di dinamiche non modellate nell’impianto:

sempre

solo se l’impianto ha grado relativo inferiore a 3

solo se l’impianto ha un ritardo (non modellato) inferiore a Mf⋆

secondi N solo se l’impianto ha un ritardo (non modellato) inferiore a Mf⋆

/ωc secondi (dove ωc`e la pulsazione di incrocio della funzione di anello)

2. Dato il sistema retroazionato, di cui in figura sono riportati i diagrammi di Bode della funzione di anello L(s), l’errore a regime:

N per disturbo “d” a gradino `e nullo N per disturbo “d” a rampa `e nullo

per disturbo “d” a gradino e finito ma non nullo

per disturbo “d” a rampa `e finito ma non nullo

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−120

−100

−80

−60

−40

−20 0 20 40

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

3. Dato il sistema in retroazione unitaria negativa, supposto stabile, composto dall’impianto G(s) = (s + 3) (s²+ 25) e dal regolatore R(s) = 800.15s + 1

s :

N l’errore a regime per ingresso a gradino sar`a nullo l’errore a regime per ingresso a rampa sar`a nullo

N l’errore a regime per ingresso sinusoidale con ω = 5 sar`a nullo N l’errore a regime per ingresso a rampa sar`a finito ma non nullo

4. Il prefiltraggio del segnale di riferimento pu`o essere impiegato per garantire errore a regime nullo in un sistema dinamico?

solo se il segnale di riferimento `e a banda limitata N no, mai

solo se il riferimento `e costante e il prefiltro contiene un polo nell’origine

solo se lo spettro del segnale di riferimento `e interamente contenuto entro la banda passante del filtro 5. Il progetto per cancellazione di una rete anticipatrice:

N se fattibile, consente di eliminare il problema delle code di assestamento per impianti senza zeri N `e possibile se fissata la posizione dello zero la frequenza di attraversamento `e maggiore di quella

desiderata

prevede la cancellazione di un polo del sistema a frequenza maggiore della frequenza di attraversamento

(2)

6. Il tuning in anello aperto di un regolatore PID per un impianto G(s):

si basa su una stima del margine di ampiezza Ma e della pulsazione critica ωf (arg{G(jωf)} = −π) di G(s)

N si basa su una stima del tempo di ritardo T , della costante di tempo τ e del guadagno µ di G(s) N pu`o essere realizzato solo se G(s) presenta una risposta al gradino aperiodica

pu`o essere realizzato anche se l’impianto G(s) `e instabile

7. Nella realizzazione di un controllore tempo-discreto (ottenuto per discretizzazione) la scelta del periodo del periodo di campionamento Ts`e influenzata:

dalla pulsazione critica ωf della funzione di anello

N dallo spettro dei disturbi di misura ‘n’ che eventualmente agiscono sul sistema N dalla massima variazione (negativa) del margine di fase che `e possibile tollerare dalla massima riduzione di banda compatibile con le specifiche

8. Dato un sistema di controllo digitale, al fine di evitare la presenza di disturbi di misura a bassa frequenza

`e utile l’impiego di filtri anti-aliasing con pulsazione di taglio collocata:

a sinistra della pulsazione di incrocio della funzione d’anello N tra la pulsazione di incrocio e la pulsazione di Nyquist

a destra della pulsazione di Nyquist, ma comunque prima della minima pulsazione del disturbo di misura

a destra rispetto alla minima pulsazione del disturbo di misura 9. Il ricostruttore di ordine zero:

N pu`o essere modellato con la funzione di trasferimento 1 − e^−sT s pu`o essere modellato con la funzione di trasferimento 1 − e^−s^T²

s introduce nell’anello di retroazione un ritardo pari a T secondi N introduce nell’anello di retroazione un ritardo pari a ^T₂ secondi 10. Una traiettoria spline cubica che interpola un insieme di n punti qk:

garantisce la continuità di velocità, accelerazione e jerk nei punti intermedi N è la traiettoria interpolante a curvatura minima

permette di imporre il valore di velocit`a desiderato in ciascuno dei punti qk

permette di imporre il valore di accelerazione desiderato in ciascuno dei punti qk

(3)

Cognome: Nome: N. Matr.:

Sistemi di controllo

Compito del 15 febbraio 2012 - Problemi e domande a risposta aperta

Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno met`a dei punti totali (9 su 18), diversamente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova.

1. Illustrare i vantaggi del controllo in cascata e le condizioni di applicabilit`a di tale schema di controllo.

2. Dato l’impianto G(s) = 20 (s + 4) (s + 0.1)(s + 50)

a) Progettare il regolatore R(s) di complessit`a minima che posto in retroazione unitaria soddisfi le seguenti specifiche:

– errore a regime nullo in presenza di disturbi d costanti;

– sorpasso percentuale S 6 5% (si assuma un margine di fase maggiorato di 5^o rispetto al valore minimo per ovviare agli inconvenienti dovuti alla discretizzazione);

– attenuazione di almeno un fattore 10 dei disturbi di misura ‘n’ frequenzialmente collocati nel range [300, 600] rad/s.

SOLUZIONE:

Al fine di verificare le specifiche, il regolatore dovrà avere un polo nell’origine; si ipotizza quindi l’impiego di un regolatore PI, RPI(s) = µ^τ^z^s+1_s , che tra quelli con un polo nell’origine è il più semplice. Per progettare il regolatore, è necessario preliminarmente tradurre le specifiche in vincoli frequenziali:

– errore a regime nullo → polo nell’origine (specifica gi`a considerata con la scelta del tipo di regolatore);

– S% 6 5% → δ = 0.7 → Mf^⋆>100δ + 5^o= 75^o;

– attenuazione di 10 volte del disturbo “n” (ωn = [300, 600] rad/s) → ωc^⋆ una decade a sinistra rispetto alla ωn minima, cio`e ω^⋆_c 6300/10 = 30 rad/s.

Per soddisfare tutte le specifiche occorre imporre al sistema esteso Ge(s) = G(s)

s = 20 (s + 4) s(s + 0.1)(s + 50)

il margine di fase M_f^⋆ = 75^o e la pulsazione di incrocio ω^⋆c = 30 scegliendo opportunamente lo zero e il guadagno del regolatore PI. Dopo aver calcolato |Ge(j30)| = 0.0115 e arg{Ge(j30)} = −128.3674 si evince ϕ^⋆= 23.3674^o da cui

τz= tan ϕ^⋆

ω^⋆ = 0.0144 e

µ = 1

|Ge(j30)| ·p1 + (τzωc^⋆)² = 79.5866.

L’espressione del regolatore PI in grado di soddisfare tutte le specifiche risulta pertanto R_PI(s) = 79.58660.0144s + 1

s .

b) Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze asintotico di L(s) = R(s)G(s). Quindi tracciare il diagramma delle ampiezze approssimato della funzione di sensitivit`a S(s) e valutare (in maniera esatta) l’attenuazione dei disturbi ‘d’ alla pulsazione ωd= 4 rad/s.

SOLUZIONE:

Vedere diagramma in fondo. L’attenuazione dei disturbi ‘d’ alla pulsazione di 4 rad/s pu`o essere valuta calcolando il modulo della funzione di sensitivit`a

|S(jωd)| ≈ 1

|L(jωd)|

con L(s) = RPI(s) · G(s). Svolgendo i calcoli risulta |L(jωd)| = 11.2345 da cui |S(jωd)| ≈ 0.0890.

(4)

c) Supponendo che i disturbi ‘d’ (collocati frequenzialmente intorno alla pulsazione ωd) siano misurabili, progettare un compensatore M (s) che li cancelli completamente e riportare lo schema a blocchi del sistema controllato in retroazione con il compensatore.

SOLUZIONE:

Il compensatore del disturbo misurabile dovr`a avere un’espressione del tipo M (s) = −H(s)G⁻¹(s)

Nel caso in esame H(s) = 1 non essendo presente alcun sistema filtrante sul disturbo, per cui M (s) = −G⁻¹(s)

Come primo passo, si riscrive la funzione di trasferimento nella forma di costanti di tempo

G(s) = 16(¹₄s + 1) (10s + 1)(₅₀¹s + 1).

Dal momento che G(s) ha grado relativo 1, la sua inversa non sarà fisicamente realizzabile. Occorre quindi provvedere a una sua approssimazione nel range frequenziale di interesse (ωd 64 rad/s). In particolare si può notare come il polo in 50 sia al di fuori della banda di interesse (oltre una decade a destra rispetto a ωd) per cui può essere trascurato. Il compensatore del disturbo misurabile può essere quindi ottenuto invertendo

G(s) =ˆ 16(¹₄s + 1) (10s + 1) da cui risulta

M (s) = − 1 16

(10s + 1) (¹₄s + 1).

d) Volendo discretizzare sia il regolatore R(s) che il compensatore dei disturbi misurabili M (s) scegliere il tempo di campionamento pi`u idoneo tenendo in considerazione

– la banda del sistema in anello chiuso al punto b)

– lo spettro del disturbo al punto c) e la banda del compensatore M (s)

– un ulteriore specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 5^o

Assumere lo stesso tempo di campionamento e la pi`u restrittiva delle condizioni suddette e discretizzare entrambi i sistemi con il metodo delle differenze all’indietro.

SOLUZIONE:

Le condizioni per la scelta del tempo di campionamento comportano nell’ordine (a) ωc^⋆= 30 rad/s ⇒ ωs= 10ω^⋆c = 300 rad/s ⇒ T = 2π

ωs

= 0.0209 s

(b) Data la pulsazione del disturbo d ωd= 4 rad/s ⇒ ωs= 10ωd = 40 rad/s ⇒ T = 2π ωs

= 0.1571 s

(c) ∆Mf =T 2ωc

180

π 65^o ⇒ T 6 2π · 5

30 · 180 = 0.0058 s essendo ωc = ω^⋆c = 30 rad/s.

Assumendo la più restrittiva delle specifiche, ovvero quella relativa al ricostruttore di ordine zero (T = 0.0058 s), si può considerare, per semplicità T = 0.005.

Assumendo s = 1 − z⁻¹

T i corrispondenti sistemi discretizzati risultano R(s) = 79.58660.0144s + 1

s ⇒ R(z) = 1.544 − 1.146z⁻¹

1 − z⁻¹ =1.544z − 1.146 z − 1 M (s) = − 1

16

(10s + 1)

(¹₄s + 1) ⇒ M (z) = −2.452 + 2.451z⁻¹

1 − 0.9804z⁻¹ = −2.452z + 2.451 z − 0.9804

e) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai due sistemi discretizzati al punto precedente R(z) = U (z)

E(z) e M (z) = Ud(z) D(z).

(5)

SOLUZIONE:

Interpretando z⁻¹come l’operatore ritardo unitario segue immediatamente che le equazioni alle differenze corrispondenti a R(z) e M (z) sono:

R(z) = 1.544 − 1.146z⁻¹

1 − z⁻¹ =U (z)

E(z) ⇒ uk= u_k−1+ 1.544ek− 1.146e_k−1

M (z) = −2.452 + 2.451z⁻¹

1 − 0.9804z⁻¹ =Ud(z)

D(z) ⇒ udk= 0.9804udk−1− 2.452dk+ 2.451d_k−1 f) Scrivere l’espressione della traiettoria Gutman 1-3 in tempo minimo tra q0 = 0 e q1 = 20 (t0 = 0)

che soddisfi i limiti su velocit`a massima e accelerazione massima vmax = 50 e amax = 90 (i valori massimi di velocit`a e accelerazione della corrispondente traiettoria normalizzata valgono rispettiva- mente qN⁽¹⁾max= 2 e q⁽²⁾Nmax= 5.1296) e il cui spettro sia completamente contenuto nella banda banda passante del sistema retroazionato. Scrivere quindi l’espressione della traiettoria (Gutman 1-3) di ritorno da q0= 20 (t0= T ) a q1= 0 (t1= 2T ).

SOLUZIONE:

L’espressione della traiettoria Gutman 1-3 `e q(t) = h t − t0

T − 15

32πsin 2π(t − t0) T

− 1

96πsin 6π(t − t0) T

+ q0

e (nel caso in cui si consideri una ripetizione periodica) `e caratterizzata da un punto di vista frequenziale da due componenti a pulsazione ^2π_T e ^6π_T . Per far s`ı che lo spettro della traiettoria sia completamente contenuto nella banda passante del sistema retroazionato e necessario imporre che

6π

T 6ω^⋆_c eventualmente con qualche margine da cui risulta

T >6π

30 = 0.6283 s

Dalle altre specifiche su velocit`a e accelerazione massima si ricava invece q⁽¹⁾max= h

Tq^N⁽¹⁾max6 v_max ⇒ T > 202

50 = 0.8 s qmax⁽²⁾ = h

T²q⁽²⁾^Nmax6 a_max ⇒ T >

r

205.1296

90 = 1.0677 s essendo lo spostamento h = q1− q0= 20.

Il vincolo più stringente (che porta la periodo più lungo) è quello sull’accelerazione, per cui si assumerà T = 1.0677 s. Sostituendo nell’espressione della traiettoria si ottiene

qa(t) = 20

t

1.0677 − 15 32π sin

2πt 1.0677

− 1 96πsin

6πt 1.0677

mentre la traiettoria di ritorno `e qr(t) = −20 t − 1.0677

1.0677 − 15

32π sin 2π(t − 1.0677) 1.0677

− 1

96π sin 6π(t − 1.0677) 1.0677

+ 20

(6)

Sistemi di controllo

Compito del 15 febbraio 2012 - Problemi e domande a risposta aperta

Diagrammi di Bode di L(s), F (s) e S(s)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−120

−100

−80

−60

−40

−20 0 20 40 60 80 100 120

Modulo M [db]

L(s) F(s) S(s)