e gli assi cartesiani;

(1)

1 . (1996) Date le funzioni

f(x)=x 4

?

17

^x²⁺

16

g(x)=x 2

?4

a) Calcolare i punti di itersezione tra

^y⁼^f⁽^x⁾

e gli assi cartesiani;

b) stabilire per quali valori reali di

^x

:

^f⁽^x⁾^>⁰

; c) stabilire per quali valori reali di

^x

:

^fg⁽(x)^x)

0

; d) risolvere in

^R

:

^p^f⁽^x⁾⁼

1 0

^? ^x²

2. (1996) È data la funzione :

f(x)= x

2

+(3?a)x?3a

j x+3j

a) Determinare per

^a⁼⁶

l'intersezione tra i graci di

^f⁽^x)

e

^g(^x⁾⁼^x²^?^x^?

10;

b) per quali valori del parametro

^a

ci sono due intersezioni tra i graci di

^f⁽^x⁾

e di

^h(^x⁾⁼^?²^x^?¹

3. (1997) Un falegname desidera costruire una nestra ad arco formata da un rettangolo con sovrapposto un

semicerchio (di medesima larghezza). La nestra deve soddisfare due condizioni:

il perimetro della nestra deve misurare 4 metri la supercie della parte rettangolare sia massima.

Si domanda:

a) determinare la funzione: area del rettangolo =

^f

(larghezza della nestra) se la prima condizione deve essere soddisfatta;

b) calcolare gli zeri della funzione

^f

; c) rappresentare

^f

gracamente;

d) determinare le dimensioni del rettangolo anché, le due condizioni sopra elencate siano soddisfatte.

4. (1998) Si hanno due bottiglie da un litro: la prima, che chiameremo

^A

, completamente colma di vino e la seconda, che chiameremo

^B

, vuota. Travasiamo una quantita arbitraria

^x

di vino dalla bottiglia

^A

nella bot- tiglia

^B

, e poi niamo di colmare

^B

con acqua. Dopo aver mescolato la miscela di acqua e vino, travasiamo parte di questa miscela nella bottiglia

^A

no a colmarla.

a) Rappresentare gracamente la funzione

^y⁼ ^f^(x⁾

indicando con

^x

la quantità di vino che si travasa e con

^y

la quantità di vino contenuta nalla miscela della bottiglia

^A

alla ne dei travasi indicati.

b) Dimostrare che in ogni caso alla ne di queste due operazioni , nella bottiglia

^A

non possono mai esserci meno di tre quarti di litro di vino.

[ 1 . a)

⁽^0;

1 6

⁾

,

⁽^4;⁰⁾

,

⁽¹^;⁰⁾

, b)

^x²^]^?¹^;^?^4[^[^]^?¹^;¹^[^[^]^4;¹^[

, c)

^x²^]^?^1;^?^4]^[^]^?^2;^?¹^]^[^[¹^;²^[^[^[^4;¹^[

, d) im p. ; 2 . a)

¹^p⁵^;^?⁵^p⁵

b)

^a^>²

; 3 . a)

^f⁽^x)⁼^?²⁺^x²⁺²^x

, b)

^x¹⁼⁰

,

^x2⁼ ⁸

, c) . . . d)

^x⁼ ⁴

,

^y⁼¹

; 4. a)

^y⁼^x²^?^x⁺¹

, b)

^ym i n⁼^y(

0 . 5

⁾⁼

e gli assi cartesiani;

1 . (1996) Date le funzioni

17

16

a) Calcolare i punti di itersezione tra

e gli assi cartesiani;

b) stabilire per quali valori reali di

:

; c) stabilire per quali valori reali di

:

; d) risolvere in

:

1 0

2. (1996) È data la funzione :

a) Determinare per

l'intersezione tra i graci di

e

10;

b) per quali valori del parametro

ci sono due intersezioni tra i graci di

e di

3. (1997) Un falegname desidera costruire una nestra ad arco formata da un rettangolo con sovrapposto un

semicerchio (di medesima larghezza). La nestra deve soddisfare due condizioni:

il perimetro della nestra deve misurare 4 metri la supercie della parte rettangolare sia massima.

Si domanda:

a) determinare la funzione: area del rettangolo =

(larghezza della nestra) se la prima condizione deve essere soddisfatta;

b) calcolare gli zeri della funzione

; c) rappresentare

gracamente;

d) determinare le dimensioni del rettangolo anché, le due condizioni sopra elencate siano soddisfatte.

4. (1998) Si hanno due bottiglie da un litro: la prima, che chiameremo

, completamente colma di vino e la seconda, che chiameremo

, vuota. Travasiamo una quantita arbitraria

di vino dalla bottiglia

nella bot- tiglia

, e poi niamo di colmare

con acqua. Dopo aver mescolato la miscela di acqua e vino, travasiamo parte di questa miscela nella bottiglia

no a colmarla.

a) Rappresentare gracamente la funzione

indicando con

la quantità di vino che si travasa e con

la quantità di vino contenuta nalla miscela della bottiglia

alla ne dei travasi indicati.

b) Dimostrare che in ogni caso alla ne di queste due operazioni , nella bottiglia

non possono mai esserci meno di tre quarti di litro di vino.

[ 1 . a)

1 6

,

,

, b)

, c)

, d) im p. ; 2 . a)

b)

; 3 . a)

, b)

,

, c) . . . d)

,

; 4. a)

, b)

0 . 5

0 . 75 ]

esercizi su funzioni varie tratti da esami passati #1

l'intersezione tra i graci di

ci sono due intersezioni tra i graci di

3. (1997) Un falegname desidera costruire una nestra ad arco formata da un rettangolo con sovrapposto un

semicerchio (di medesima larghezza). La nestra deve soddisfare due condizioni:

il perimetro della nestra deve misurare 4 metri la supercie della parte rettangolare sia massima.

(larghezza della nestra) se la prima condizione deve essere soddisfatta;

gracamente;

d) determinare le dimensioni del rettangolo anché, le due condizioni sopra elencate siano soddisfatte.

, e poi niamo di colmare

no a colmarla.

a) Rappresentare gracamente la funzione

alla ne dei travasi indicati.

b) Dimostrare che in ogni caso alla ne di queste due operazioni , nella bottiglia