1 . (1996) Un parallelepipedo a base quadrata di lato
xè perfettamente inscritto in un cono come mostra la
gura della sezione che segue :
R x
R 60
a) Determinare il volume del parallelepipedo in funzione di
xe di
R; b) per quale valore di
x(parametro
R) il volume risulta massimo?
2. (1997) Un falegname desidera costruire una nestra ad arco formata da un rettangolo con sovrapposto un semicerchio (di medesima larghezza). La nestra deve soddisfare due condizioni:
il perimetro della nestra deve misurare 4 metri la supercie della parte rettangolare sia massima.
Si domanda:
a) determinare la funzione: area del rettangolo =
f(larghezza della nestra) se la prima condizione deve essere soddisfatta;
b) calcolare gli zeri della funzione
f; c) rappresentare
fgracamente;
d) determinare le dimensioni del rettangolo anché, le due condizioni sopra elencate siano soddisfatte.
3. (1998) Si hanno due bottiglie da un litro: la prima, che chiameremo
A, completamente colma di vino e la seconda, che chiameremo
B, vuota. Travasiamo una quantita arbitraria
xdi vino dalla bottiglia
Anella bot- tiglia
B, e poi niamo di colmare
Bcon acqua. Dopo aver mescolato la miscela di acqua e vino, travasiamo parte di questa miscela nella bottiglia
Ano a colmarla.
a) Rappresentare gracamente la funzione
y= f(x)indicando con
xla quantità di vino che si travasa e con
yla quantità di vino contenuta nalla miscela della bottiglia
Aalla ne dei travasi indicati.
b) Dimostrare che in ogni caso alla ne di queste due operazioni , nella bottiglia
Anon possono mai esserci meno di tre quarti di litro di vino.
[1. a) V=? 3
2 q
x 3
+ 3
p
R x 2
b) x= 2
3 2 p
R; 2. a) f(x)=?
2+
4
x 2
+2x, b) x1=0, x2= 8
2+
, c) ... d) x= 4
2+
, y=1; 3. a) y=x 2
?x+1, b) ym i n=