+ bx + c = 0 quando a, b, c sono numeri complessi.

LeLing14: Ancora numeri complessi e polinomi.

A ¯ rgomenti svolti:

• Risoluzione di ax

+ bx + c = 0 quando a, b, c sono numeri complessi.

• La equazione di Eulero: e

= cos(θ) + i sin(θ).

• La equazione x

= a, le coordinate polari e rotazioni.

E ¯ sercizi consigliati: Geoling 15.

Risoluzione di ax ² +bx+c = 0 quando a, b, c sono numeri complessi.

Se i numeri a, b, c ∈ C sono complessi allora per usare la formula

√b²−4ac

2a

dobbiamo spiegare cosa significa il simbolo √

b

− 4ac quando il numero b

− 4ac ha parte immagi- naria non nulla, cioe’ dobbiamo imparare a calcolare radici quadrate di numeri complessi.

Formalmente dobbiamo risolvere:

x

= a , a ∈ C . Ad esempio, cosa significa √

i? Siccome e’ una radice quadrata, sara’ una soluzione della equazione z

= i

.

Ecco un modo di risolvere l’equazione z

= i. Si propone come soluzione z = x + i y e si ottiene:

z

= x

− y

+ 2xy i = i che e’ equivalente al sistema non lineare  x

− y

= 0 ,

2xy = 1 . Siccome x = y , risulta facilmente x = y = ±

2

. Cioe’, √

i = ±

2

.

Vediamo come si risolve l’equazione x

+2x+1 −i = 0. Usando la formula

√b²−4ac 2a

risulta:

−2 ± p4 − 4(1 − i)

2 = −1 ± √

i .

Siccome sappiamo che √

i = ±

2

, risulta che le radici sono

−1 ± √

i = −1 ± 1 + i

√ 2 =

(

√2

+

2

,

−√

√2−1

2

−

.

Esempio 0.1. Ecco un altro esempio: risolviamo z

= 3 + 4 i. Proponendo z = x + y i risulta il sistema  x

− y

= 3 ,

2xy = 4 . Moltiplicando la prima equazione per x

e usando la seconda equazione risulta x

− 3x

− 4 = 0. Dunque x

=

. Siccome x e’ reale

otteniamo x = ±2 e √

3 + 4 i = ±(2 + i) .

Osservare che il metodo ora spiegato conduce a una equazione di grado 4; quindi per risolvere una equazione di secondo grado bisogna risolverne una di quarto, il che non e’

molto efficiente.

Formule

Come risolvere l’equazione x

= 2 + 11 i?, cioe’ come si calcola √

2 + 11 i? Ecco una soluzione: x = 2 + i, cioe’ 2 + i = p

2 + √

−121. Come si risolve la equazione x

= 15x + 4?. Esistono formule

che permetteno di risolvere le equazioni di terzo grado ma non sono molto utili nella pratica. Ecco la soluzione di x

= 15x + 4 usando le formule di del Ferro-Tartaglia-Cardano:

x =

q

2 + √

−121 +

q

2 − √

−121 = 4 .

Dal punto di vista prattico, quando si ha bisogno di calcolare la radice di una equazione algebrica, conviene usare il computer. Ma cosa succede dentro al computer?

I computer usano metodi numerici studiati nel corso di analisi e.g. sviluppi in serie, approssimazione succesive, ecc.

E’ possibile dimostrare che non esiste una formula per risolvere tutte le equazioni di grado n ≥ 5. Questo si chiama Teorema di Abel-Ruffini.

2

Scoperte dai gli italiani Scipione del Ferro (1465-1526) e Niccolo’ Fontana (1499-

1557) conosciuto come Tartaglia e pubblicate da Girolamo Cardano (1501-1576). Vedi

http://www.geocities.com/palestra matematica/matematici/tartaglia.html

L’equazione x ⁿ = a.

Usando le funzioni trigonometriche sin(θ), cos(θ), l’equazione x

= a si risolve abbas- tanza facilmente

. Gia’ nel 1740 Eulero si era accorto che e

= cos(θ) + i sin(θ). Quello che e’ importante da capire in questa formula e’ la seguente identita’ :

e

= e

.e

.

Vediamo che questo si traduce nelle classiche formule di addizione trigonometriche:

 cos(θ

) cos(θ

) − sin(θ

) sin(θ

) = cos(θ

+ θ

) , cos(θ

) sin(θ

) + cos(θ

) sin(θ

) = sin(θ

+ θ

).

Infatti, e

.e

= (cos(θ

) + i sin(θ

))(cos(θ

) + i sin(θ

)) =

= (cos(θ

) cos(θ

) − sin(θ

) sin(θ

)) + (cos(θ

) sin(θ

) + cos(θ

) sin(θ

)) i = cos(θ

+ θ

) + sin(θ

+ θ

) i = e

.

Come conseguenza, ecco le formule di de Moivre.

Proposizione 0.2. Se n ∈ Z allora (e

)

= e

, cioe’

(cos(θ) + i sin(θ))

= cos(nθ) + i sin(nθ)

Ricordiamo che un punto del piano (x, y) si puo’ in- dividuare tramite le sue coordinate polari, cioe’ x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ), dove ρ e’ la distanza dall’origine (0, 0) e θ e’

l’angolo con il semiasse x positivo, che di solito si deter- mina nell’intervallo 0 ≤ θ < 2π , ma qualsiasi θ + k2π an- drebbe ugualmente bene. Dunque z = ρe

, dove ρ = |z|

e’ il modulo di z , cioe’ ρ = px

+ y

.

Questo ci permette di interpretare il prodotto z.w tra due nu- meri complessi . Infatti, se z = ρ

e

e w = ρ

e

risulta z.w = (ρ.ρ

)e

; ossia quando moltiplichiamo due numeri complessi otteniamo un numero complesso il cui modulo e’ il prodotto dei moduli e il suo angolo e’ la somma dei angoli.

3

Formule di de Moivre, matematico francese (1667-1754).

Esempio 0.3. Siccome i = e

, moltiplicare per i equiv- ale a ruotare di 90 gradi in verso anti-orario

. Questo permette facilmente di dimostrare che le tre altezze di un triangolo si incontrano in un punto. Infatti, a +

e’

perpendicolare a b − c i poiche’ i(b − ci) e’ un multiplo reale di a +

.

Allora per risolvere l’equazione x

= a basta scrivere il numero a in forma polare, cioe’ trovare il modulo ρ

e un angolo θ

tale che

a = ρ

e

. Ecco le n soluzioni:

x

= √

ρ

e

k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 . Riassumiamo quanto detto nel seguente teorema.

Teorema 0.4. Se a = ρ

e

allora l’equazione x

= a ha n soluzioni:

x

= √

ρ

e

k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 . Ecco un esempio.

Esempio 0.5. Troviamo le soluzioni dell’equazione x

= i. Siccome i = e

, segue che le tre radici sono:



 



 



x

= e

π 2+0.2π

3

= e

= cos(

) + sin(

) i =

√3+i 2

, x

= e

π2+1.2π

3

= e

= cos(

) + sin(

) i =

√ 3+i

2

,

x

= e

π 2+2.2π

3

= e

= cos(

) + sin(

) i = − i .

4

Questo e’ chiaro pensando al fatto che moltiplicare per i due volte equivale a ruotare di 180 gradi.

Un caso importante si ha quando a = 1; si ottengono le radici n-esime della unita’:

e

, e

, e

, · · · , e

, e

.

Osservare che se chiamiamo ξ = e

allora tutte le altre radici n-esime sono le potenze ξ

, k = 1, 2, · · · , n. Per questo motivo la radice ξ si chiama radice primitiva della unita’. Notare che il numero ξ = e

si puo’ pensare come una rotazione d’angolo

2π

n

in verso anti-orario. Vale a dire, dato un numero w , il prodotto ξ.w si trova ruotando w di un angolo

in verso anti-orario.

Infine si osservi che se x e’ radice di x

= a e ξ e’ una radice n-esima della unita’

allora xξ e’ radice di x

= a. Dunque conoscendo una radice particolare x

di x

= a si possono trovare tutte le altre eseguendo il prodotto ξ

x

dove k = 0, 1, · · · , n − 1 e ξ e’ una radice primitiva della unita’.

Esempio 0.6. Per construire il pentagono regolare serve risolvere l’equazione z

= 1.

Dunque una radice primitiva e’ ξ = e

, cioe’

ξ = e

= cos( 2π

5 ) + sin( 2π

5 ) i = 1

4 (−1 + √ 5) + 1

2 r 1

2 (5 + √ 5) i . Osservare che usando il numero ξ =

(−1 + √

5) +

q

2

(5 + √

5) i e’ facile ruotare

di 72

in verso antiorario. Infatti, basta moltiplicare per ξ .