Modelli di Reattori Chimici - Prova scritta del 9/2/2011 Nome e Cognome:___________________ Matricola:___________

Modelli di Reattori Chimici - Prova scritta del 9/2/2011

Nome e Cognome:___________________ Matricola:___________

NOTA BENE: nella traccia, n è l’ultima cifra non nulla del numero di matricola del candidato.

1) Si consideri il seguente schema di reazione:

1 2

A B C descritto dalle seguenti espressioni cinetiche:

2 3 -1 -1 -3 -1

1 1 _A con 1 5 m kgmol min ; 2 2 con 2 0.2 kgmol m min

r k C k  r k k 

Queste reazioni avvengono in un PFR con una sezione di raggio R=1 m ed alimentato con una portata volumetrica Q pari a n m³ min^-1, contenente la specie chimica A con una concentrazione di CA0=1 kgmol m^-3 e la specie chimica B con una concentrazione di 0.1 kgmol m^-3.

a) Scrivere tutte le equazioni di bilancio necessarie a caratterizzare il processo. (4) b) Ricavare l’andamento per le specie chimiche A e B lungo l’asse del reattore. (4) c) Essendo interessati alla massimizzazione della produzione di B, ricavare la

lunghezza ottimale del reattore PFR. (4)

2) Il sistema illustrato è costituito da tre reattori con flusso a pistone (PFR) collegati in tre rami in parallelo.

Una soluzione acquosa della specie A alla concentrazione CA0=1 kgmol m^-3 è alimentata al sistema con una portata totale Q = n m³ min^-1, dove mentre i volumi di ciascun reattore sono rispettivamente: V₁=200 l, V₂=500 l e V₃=300 l.

a) Nell’ipotesi che il sistema sia ottimizzato calcolare le portate Q1, Q2 e Q3. (4).

b) Una volta calcolate le singole portate volumetriche, calcolare la concentrazione in uscita dal sistema assumendo che in ciascuno dei tre reattori avvenga la reazione del secondo ordine

3 -1 -1

0.5 m kgmol min

A B k  (4).

3) Un componente A reagisce secondo la reazione autocatalitica elementare:

Si vuole trattare una portata di alimentazione FA0=0.5 mol min^-1 contenente solo A con concentrazione pari a 1 mol l^-1 ottenendo una conversione pari al 80% in un reattore con riciclo.

a) Calcolare il volume del reattore nel caso in cui vi sia un rapporto di riciclo pari a 6 (R=6). (5)

b) Confrontare questo volume con quello di un CSTR in cui avviene la stessa reazione.

(5)

-1 -1

l mol min A R  R R kn

Q₁

V2

V3

V₁

Q₂

Q3

Q

Q₁

V2

V3

V₁

Q₂

Q3

Q

QUESITO 1

a) Le equazioni di bilancio che descrivono il sistema si scrivono a partire dalla equazione (20) degli appunti e cioè:

   

 

0 0

dC S

r C z dz Q

C z C

  



  



Tale equazione si riferisce ad un sistema con una sola reazione irreversibile, ma si può estendere al caso di più reazioni considerando, per ciascuna specie, la somma dei contributi relativi alle reazioni presenti. L’equazione quindi, scritta per le specie A, B e C, fornisce:

 

 

     

1

1 2

2

0 0

0

0

0

0 ; 0 ; 0 0

A

B

C

A A B B C

dC S dz Qr

dC S

r r dz Q

dC S dz Q r

C C C C C

  



    



   



   



Osserviamo inoltre che in ingresso abbiamo una corrente contenente le sole specie A e B a concentrazioni rispettivamente C_A0 e C_B0, e poiché le due reazioni in serie hanno coefficienti stechiometrici unitari (non c’è variazione di moli fra reagenti e prodotti) si ha, in ogni posizione z, che:

0 0

A B C A B

C C C C C

il che ci dice che basta calcolare due delle tre concentrazione, e la terza si calcola per differenza.

b) Ricaviamo ora l’andamento per le specie chimiche A e B lungo l’asse del reattore.

Sostituendo le espressioni per r₁ ed r₂ nelle equazioni di bilancio si scrive:

 

 

2 1

2

1 2

2

0

0

0

A

A

B

A

C

dC S dz Q k C

dC S

k C k dz Q

dC S dz Qk

  



    



  



Si vede che la prima e la terza equazione sono disaccoppiate. La prima si risolve immediatamente, separando le variabili:

2 1 A A

dC S C Qk dz

 

(1)

e, integrando ambo i membri ed applicando la condizione iniziale C_A

 

 

1 1

A A

S k z C z C Q

cioè, ricavando CA

 

 

1 0

A A

A

C z C Q

Q Sk C z

 

La terza equazione si integra ancora più immediatamente:

 

C

C z S k z

Q

Si può quindi scrivere per differenza l’espressione per CB

 

 

   

0 0 0 2

1 0

B A B A C

A B A

A

C z C C C z C z

Q S

C C C k z

Q Sk C z Q

    

   



 

1 0

A

B B A

A

Sk C z S

C z C C k z

Q Sk C z Q

  



Non ci resta quindi che tracciare il diagramma qualitativo per le specie A, B e C. Pur non avendo disponibile un software per il tracciamento dei grafici delle funzioni, trattandosi di due reazioni in serie il diagramma avrà la seguente forma:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Ca Cb Cc

c) Troviamo il valore di z corrispondente al massimo per C_B. A tale scopo basta calcolare la z in cui r1=r2 (la derivata di CB si annulla), come si vede osservando l’equazione di bilancio per B:





dCB S

r r dz  Q  

. Si trova:

2

1 _A 2 0

k C k

  

cioè

 

1 A opt

C z k

 k

e, sostituendo l’espressione ricavata prima per C_A, otteniamo:

2 0

1 0 1

A

A opt

Q k

C Q Sk C z  k



da cui

1 2

1 0 2

1 1

opt

A

z k

Q Sk C k

 

   

 

Con i dati del problema, il rapporto z_opt /Q vale 0.255 m/(m³ s) e dunque

0.255 m Lopt  Q

Il valore massimo di CB che si ottiene in corrispondenza di Lopt è:

1 0

, 0 0 2

1 0

A opt

B opt B A opt

A opt

Sk C L S

C C C k L

Q Sk C L Q

   



e, sostituendo l’espressione di Lopt ed i valori numerici disponibili:

3.14 5 0.255

0.1 3.14 0.2 0.255

1 3.14 5 0.255

       

  

0.74 mol m-3



Come si vede, C_B,opt non dipende da Q.

QUESITO 2

a) Il sistema è ottimizzato quando i tempi di residenza nei rami sono uguali. Pertanto

1 2 3

1 2 3

V V V

Q Q Q

mentre sappiamo inoltre che

1 2 3

Q Q Q Q

quindi la portata totale va ripartita in proporzione ai volumi dei tre reattori. Detto V il volume totale, si ha ovviamente

i i

Q V Q

V e cioè:

Q₁0.2Q m min ;^{3 -1} Q₂ 0.5Qm min ;^{3 -1} Q₃ 0.3 m minQ ^{3 -1}

b) A parità di tempi di residenza e di concentrazioni in ingresso, le concentrazioni in uscita saranno uguali, quindi basta calcolarne una qualsiasi – oppure considerare il sistema come un unico reattore. Si scrive l’equazione di analisi del PFR per il caso in esame (reazione del secondo ordine):

Da

f 1 Da x 

 , dove Da = kC_A0 .

Il tempo di residenza è 1

i min

i

V V

Q Q Q

  

 , quindi:

0

1 0.5 Da kC_A 0.5 1

Q Q

      , da cui

0.5

f 0.5 x Q



ed infine: ⁰





0.5 0.5

Af A f A

C C x C Q

Q Q

 

       

QUESITO 3

a) Si particolarizza l’equazione di progetto di un reattore tubolare con riciclo al caso in oggetto. L’espressione r(x) si scrive osservando che

A R

r

kC C

e definendo il grado di conversione come al solito

0 0

A A

A

C C

x C

 

si trova

 

0 1

A A

C

C

x

ed inoltre, dalla stechiometria della reazione si vede che

0 0

R R A A

C

C

C

C

perciò, poiché CR0=0, si ha

0

R A

C

C x

da cui

 

2

0 1

r

kC x

x

. L’equazione di progetto

   

0 0

1

1

f

f

x

riciclo

R x R

V dx

C R

Q r x



   



diventa quindi

 

 

0 0

1

1 1

f

f

x

R A

R x

V dx

F R kC x x



 



da cui

 

 

0 2

0

1

1

1

f

f

x

R

A x

R

F R dx

V kC x x



 



Calcoliamo l’integrale con decomposizione in fratti semplici:



 ^A

^B

x x

x x

  se e solo se A B 1, e dunque

 

 

 

 

 

1 1 1

1 1

1 1 ln1

ln ln

1 1 1

1 1

ln1

1 1

ln 1

f f f

f f f

x x x

R R x R

x x R

R R

f f

f f

f f

f f

f f

dx x

x x x x dx x

x Rx

x R x

R x

x

x Rx

R x

R x

  

   

       

      

  

  

 

 



 

 

 

Si continua quindi

   

 

0 2

0

1 1

1 ln

1

f

A f

R x

F R

V kC R x

 

 



Ricordiamo che la portata molare F₀ è data da F₀ = QC_A0 e sostituiamo i valori disponibili:

 

 

1 6 1 0.8

7 2.12

0.5 ln l

6 1 0.8

k k

    

     

quindi:

, 6

2.12 l

PFR R

V ^  k

b) L’equazione di bilancio per un CSTR in cui avviene la reazione in esame è





Q C

C

Vr

VkC C

da cui l’equazione di progetto

   

0 0

0 0 0

1 1

1 1

A A A A

A R A A

V C C C C

Q kC C C kC x x kC x

 

  

 

quindi

 

0 2

0

1 1

0.5 l

1 0.2

CSTR

A

V F

kC x k

 



da cui infine

2.5 l VCSTR

 k

superiore anche se di poco a quello del tubolare con riciclo R=6, che rimane quindi la scelta preferibile.