1;3P.L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita ai propri assi è:

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ESERCIZI SVOLTI SULL’IPERBOLE EQUILATERA

1) Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ, riferita ai propri assi, sapendo che ^a2.

L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita ai propri assi è:

2 2

2 y a

x   .

Pertanto, per determinare l’equazione bisogna trovare il valore del coefficiente a, che esprime la misura della semidistanza tra i vertici della conica. Sapendo che ^a2 si ottiene a² 4, quindi, sostituendo il valore trovato nell’equazione canonica, si ottiene l’equazione dell’iperbole equilatera γ riferita ai propri assi:

4 y x²  ²  .

2) Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ, riferita ai propri assi, sapendo che passa per il punto ^P^3;1.

L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita ai propri assi è:

2 2

2 y a

x   .

Pertanto, per determinare l’equazione bisogna trovare il valore del coefficiente a, che esprime la misura della semidistanza tra i vertici della conica. Sapendo che il punto P appartiene all’iperbole equilatera si sostituiscono nell’equazione canonica le coordinate del punto P, ossia:

2 2

2 ( 1) a

) 3

(    ,

svolgendo i calcoli si ha a²  , 8 quindi, sostituendo il valore trovato nell’equazione canonica, si ottiene l’equazione dell’iperbole equilatera γ :

8 y x²  ²  .

Prof. La Barbera Mauro 1

3) Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ, riferita ai propri assi, sapendo che ha per fuoco il punto ^F





L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita ai propri assi è:

2 2

2 y a

x   .

Pertanto, per determinare l’equazione bisogna trovare il valore del coefficiente a, che esprime la misura della semidistanza tra i vertici della conica. Sapendo che il punto ^F(c;0) è uno dei fuochi dell’iperbole equilatera, si ricava che c 2. Inoltre, ricordando la relazione che intercorre tra il coefficiente a ed il coefficiente c, ossia:c² 2a², si deduce che

 

Sostituendo il valore trovato nell’equazione canonica si ottiene l’equazione dell’iperbole equilatera γ riferita ai propri assi:

1 y x²  ²  .

4) Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ, riferita ai propri asintoti, sapendo che ha per fuoco il punto ^F^2;2 _.

L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è:

k xy .

Pertanto, per determinare l’equazione bisogna trovare il valore del coefficiente k. Sapendo che il punto ^{F( 2k; 2k)} è uno dei fuochi dell’iperbole equilatera, si ricava che 2k 2.

Svolgendo i calcoli si ottiene: ^{2k4k2}.

Sostituendo il valore trovato nell’equazione canonica, si ottiene l’equazione dell’iperbole equilatera γ riferita ai propri asintoti:

2 xy .

Prof. La Barbera Mauro 2

5) Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ, riferita ai propri asintoti, passante per il punto P3;4.

L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è:

k xy .

Pertanto, per determinare l’equazione bisogna trovare il valore del coefficiente k. Sapendo che il punto P appartiene all’iperbole equilatera si sostituiscono nell’equazione canonica le coordinate del punto P, ossia:

k ) 4 )(

3

(   ,

cioè svolgendo i calcoli si ha k 12 , quindi, sostituendo il valore trovato nell’equazione canonica, si ottiene l’equazione dell’iperbole equilatera γ riferita ai propri asintoti:

12 xy .

6) Scrivere l’equazione della retta t, tangente nel punto T1;2 all’iperbole equilatera γ, riferita ai propri asintoti, di equazione: ^xy2.

Per determinare l’equazione della retta t tangente all’iperbole γ nel punto di tangenza T1;2, si applica la seguente formula (regola dello sdoppiamento):

2 k x y 2

y x_{0 0}



 .

Sostituendo nella formula suddetta le coordinate del punto T e sapendo che 2

k , si ottiene:

2 2 x 2 2

y   . Semplificando si ottiene:

2 2 x

y   .

Liberando dal denominatore ed esplicitando rispetto alla variabile y , si ha l’equazione della retta tangente all’iperbole γ , riferita ai propri asintoti, nel punto di tangenza T, ossia:

4 x 2 y :

t   .

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7) Scrivere l’equazione della retta t, tangente nel punto ^T^5;4 all’iperbole equilatera γ, riferita ai propri assi, di equazione: ^{x2 y2 9}.

Per determinare l’equazione della retta t tangente all’iperbole γ nel punto di tangenza T5;4, si applica la seguente formula (regola dello sdoppiamento):

2 0

0 yy a

xx   .

Sostituendo nella formula suddetta le coordinate del punto T e sapendo che

9

a²  , si ottiene:

9 y 4 x

5   .

Esplicitando rispetto alla variabile y , si ha l’equazione della retta tangente all’iperbole γ , riferita ai propri assi, nel punto di tangenza T, ossia:

4 x 9 4 y 5 :

t   .

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