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ROTAZIONE DELL’IPERBOLE EQUILATERA

Data’iperbole equilatera γ , riferita ai propri assi, di equazione ^{x2 y2 2} determinare la sua equazione riferita ai propri asintoti.

Dire che l’iperbole equilatera è riferita ai propri assi significa dire che gli assi dell’iperbole equilatera coincidono con gli assi cartesiani ed il centro dell’iperbole coincide con l’origine degli assi stessi.

Inoltre, bisogna evidenziare che gli asintoti dell’iperbole equilatera sono delle rette tra loro perpendicolari, e che l’equazione ^{x2 y2 2} è definita nel sistema di assi cartesiani ortogonali indicato con xOy.

Per determinare l’equazione dell’iperbole equilatera γ, riferita ai propri asintoti, si considera un nuovo sistema di assi cartesiani ortogonali, denominato XOY, avente gli assi del piano coincidenti con gli asintoti dell’iperbole equilatera, inoltre, avente la stessa origine e la stessa unità di misura del sistema xOy, cioè si vuole eseguire una rotazione di assi di 45 gradi.

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Sia P un punto generico dell’iperbole equilatera γ e siano ^(x;y) le sue coordinate rispetto al sistema di assi cartesiani xOy, mentre siano ^(X;Y) le sue coordinate rispetto al nuovo sistema di assi cartesiani XOY.

Dalla figura si evince che:

OQ

x , ^yPQ , ^XOR e YRP .

Inoltre, osservando sempre la figura, si deduce che il triangolo ORS è rettangolo isoscele, dove ^OS è l’ipotenusa, mentre OR e RS sono i cateti congruenti.

Pertanto, sussistono le seguenti relazioni:





 ^{2 2}

2 OR RS

OS OS² 2OR²OSOR 2 OSX 2.

Analogamente, si deduce che il triangolo SQP è rettangolo isoscele, dove SP è l’ipotenusa, mentre PQ e SQ sono i cateti congruenti.

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Pertanto, sussistono le seguenti relazioni:





 ^{2 2}

2 PQ SQ

SP SP² 2PQ² SPPQ 2 SPy 2. Essendo ^OQOSSQ si ottiene:

y 2 X

x  .

Essendo ^RP^RS^SP si ottiene:

2 y X

Y  .

Ponendo a sistema queste due ultime relazioni, cioè:



 











2 y X Y

2 X y x

e risolvendo il sistema rispetto alle incognite x e y si ottengono le seguenti formule di rotazione:

 



 











) X Y 2 ( y 1

) Y X 2 ( x 1

Sostituendo i valori x e d y nell’equazione data dell’iperbole equilatera γ si ottiene:

2 ) X Y 2( ) 1

Y X 2(

1 ² ²

 

 

 

  .

Ossia svolgendo i quadrati si ha:

2 ) XY 2 Y X 2( ) 1 XY 2 Y X 2(

1 2  2   2  2   .

Liberando dal denominatore si ha:

4 ) XY 2 Y X ( XY 2 Y

X²  ²   ² ²  .

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Ossia svolgendo i calcoli si ottiene:

1 XY . In forma esplicita:

X Y 1 .

Cioè l’equazione dell’iperbole equilatera γ riferita ai propri asintoti.

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