Esercizi di preparazione alla PFB

Universit`a degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica

Esercizi di preparazione alla PFB

A.A. 2012-2013 - Docente: A. Bruno e G. Gentile Tutori: Sara Lamboglia e Maria Chiara Timpone

Parte 1: Analisi Matematica

1. Dato p > 0 provare che lim

n→∞

√n

p = 1.

2. Una funzione f : R → R si dice periodica se esiste T > 0 tale che f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ R.

Dimostrare che se f : R → R `e continua e periodica, allora non esiste lim_x→∞f (x), a meno che f non sia costante.

3. Sia F : R²→ R²tale che F (x, y) = (x 2,my

2 ) con m > 1 per ogni (x, y) ∈ R². Provare che se g ∈ C¹(R, R)

`e tale che F (Γ(g)) ⊆ Γ(g) := {(x, g(x)) : x ∈ R}, allora g `e una funzione costante.

4. Mostrare la seguente identit`a

n

Y

k=0

(1 + x^2k) = 1 − x²ⁿ⁺¹ 1 − x . 5. Calcolare i seguenti limiti:

(a) lim

n→∞

3ⁿ+n² 2ⁿ+n³; (b) lim

n→∞

n

q n!

√n!+n²−√

√ n!

n!+4 ;

(c) lim

n→∞

√ 1

n²+1ln(

√1+e²ⁿ+3ⁿ

√1+16ⁿ+3ⁿ);

(d) lim

n→∞

2

√

ln2 n+ln n2

n²+1 ;

(e) lim

x→0

sin(π cos x) x sin x ; (f) lim

x→0(cos x)^x21 . 6. Determinare il limite delle seguenti successioni definite per ricorrenza:

(a) a₁= 1, a_n= n + a_n−1; (b) a0= ¹₄, an+1= ^2a_4a²ⁿ⁺¹

n (Suggerimento: mostrare che an≥

√ 2 2 );

(c) a₀>√

3, a_n+1=¹₂(a_n+_a³

n);

7. Discutere la convergenza semplice e assoluta (laddove sia necessario) delle seguenti serie:

(a) P

n≥1 1

nsin(_3n+5¹ );

(b) P

n≥2 1 n ln³n;

(c) P

n≥0 1

(³ⁿ_n); (d) P

n≥0 eⁿ²+1

n! ; (e) P

n≥0

√3

n⁵√+2n³+17 n+2 .

8. Discutere la convergenza semplice e assoluta (laddove sia necessario) delle seguenti serie al variare del parametro x ∈ R:

(a) P

n≥0 xⁿ

2+xⁿ; (b) P

n≥0 1

1+e^{n2 x}; (c) P

n≥0 sin(xⁿ)

(1+x)ⁿ; (d) P

n≥0 ln(n²x)

n²+x². 9. (a) Mostrare che ∀x, y > 0 e p, q > 1 tali che 1

p+1

q = 1 si ha xy ≤ x^p p +y^q

q. (Disuguaglianza di Young)

(b) Mostrare che ∀p, q > 1 tali che 1 p+1

q = 1, {an} ∈ `p e {bn} ∈ `q si ha

∞

X

n=0

|anbn| ≤

∞

X

n=0

|an|^p

!¹_{p ∞} X

n=0

|bn|^q

!¹_q .

(Disuguaglianza di Holder)

(Suggerimenti: per il punto (a) trovare il massimo di f (x) = xy −x^p

p , per il punto (b) applicare (a)).

10. Discutere la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni:

(a) f_n(x) = n^x.

(b) fn(x) = χ_[n,n+1]

n .

(c) fn(x) = cos(nx) n²x²+ 1. (d) fn(x) = x

x²+ n.

11. Sia A un aperto di R² tale che ∂A sia una curva regolare γ. Siano u, v ∈ C²(R², R) due funzioni.

(i) Dimostrare che

div(u · ∇u) = h∇u, ∇ui + u · ∆u.

(ii) Verificare la formula d’integrazione per parti Z

A

u∆udxdy = Z

γ

hu∇u, nidσ − Z

A

h∇u, ∇uidxdy.

(iii) Si supponga che u sia identicamente nulla su ∂A, e che ∆u(x) = λu(x) per ogni x in A. Si dimostri che se u non `e identicamente nulla, allora λ < 0.

12. Sia ω la forma differenziale su R³ definita da

ω(x, y, z) = y sin zdx + x sin zdy + xy cos zdz.

(i) Dire se ω `e chiusa;

(ii) Dire se ω `e esatta;

(iii) Se la risposta al punto (ii) `e affermativa, calcolare una primitiva di ω.

13. Per a > 0, calcolare Z

G

zdxdydz con G = {(x, y, z) ∈ R³: x²+ y²+ (z −a 2)²≤a²

4 }.

14. Data la funzione H : R²→ R definita da:

H(x, y) = 1 + (x²− 1)² 1 + y² , si consideri il sistema dinamico planare:

 x =˙ ^∂H_∂y

˙

y = −^∂H_∂x (a) Determinare i punti di equilibrio del sistema.

(b) Discuterne la stabilit`a.

(c) Studiare analiticamente le curve di livello della funzione H(x, y) e darne una rappresentazione grafica.

(d) Utilizzare i risultati precedenti per lo studio qualitativo delle traiettorie del sistema.

(e) Dimostrare che la traiettoria con dati iniziali (x, y) = (0,^√1

3) `e periodica.

(f) Scriverne il periodo T come integrale definito.

15. Si consideri un punto materiale di massa µ soggetto a una forza centrale di energia potenziale V (ρ) = ρ⁴

4 − α 8ρ⁸,

dove α ∈ R. Al variare del parametro α e del momento angolare L, si risponda alle seguenti domande.

(a) Si scriva l’equazione del moto per la variabile ρ e il sistema dinamico associato.

(b) Si determinino i punti di equilibrio.

(c) Si discuta la stabilit`a dei punti di equilibrio.

(d) Si disegni il grafico dell’energia potenziale efficace.

(e) Si analizzino qualitativamente le orbite nel piano (ρ, ˙ρ).

(f) Si determinino le traiettorie periodiche nel piano (ρ, ˙ρ).

(g) Si discutano le condizioni sotto le quali il moto complessivo del sistema `e periodico.

16. Sia dato il sistema gradiente planare

˙

x = −∂V

∂x, y = −˙ ∂V

∂y, V (x, y) = (x²+ y²)(2 − x²).

(a) Determinare i punti di equilibrio;

(b) Studiarne la stabilit`a;

(c) Studiare qualitativamente le traiettorie del sistema;

(d) Stimare il bacino di attrazione di eventuali punti di equilibrio asintoticamente stabili.

17. Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari

˙

x = Ax, x ∈ R³, A =0 −1 + α

1 2



Se ne trovi la soluzione al variare del parametro α ∈ R.

18. Si discutano i massimi e i minimi relativi e assoluti(qualora esistano) della funzione f (x, y) = xy²(x+y −1) nel dominio {(x, y) ∈ R²|x + y ≥ 1}

19. Calcolare massimo e minimo di f (x, y) = x − y in

E = {(x, y) ∈ R²|x²− 2y²= 1 0 ≤ x ≤ 3}

20. Sia E = {(x, y) ∈ R²|x + 2y ≥ 2 e x²+ 4y²≤ 4} e f (x, y) = e^xy, calcolare massimi e minimi di f su E.

21. Sia A = {(x, y) ∈ R²|¹₄x ≤ y²≤ x, 1 ≤ xy ≤ 2}. Calcolare Z

A

log x y²dxdy

22. Sia A = {(x, y, z) ∈ R³|(x − 2)²+ (y − 2)²≤ 1, 0 ≤ z ≤ y + 1}. Calcolare Z

A

xdxdydz

23. R

Σ

√1

1−y⁴dσ in

Σ = {(x, y, z) ∈ R³: z = x +

√2

2 y², 0 ≤ x ≤ ^π₂ , 0 ≤ y ≤

√2

2 ; y ≤ sin x}

24. Calcolare il flusso del campo vettoriale:

F (x, y, z) = ( 2x

x²+ y², 3y x²+ y², 1) attraverso la superficie S che ha rappresentazione parametrica

φ(u, v) = (u cos v, u sin v, u²) u ∈ [0,1

2] v ∈ [0, 2π]

orientata in modo che il versore normale punti verso il basso.

Parte 2: Geometria e Algebra

1. In V = R³si considerino i sottospazi U = h



 1 1 2



,



 0 1 1



i e W di equazione kx + y + (k − 2)z = 0 con k ∈ R. Determinare, al variare di k, la dimensione e una base dei sottospazi U + W e U ∩ W di V . 2. Sia F : R³⁵⁰→ R²⁵⁰un’applicazione lineare e sia V ⊆ R³⁵⁰ un sottospazio vettoriale tale che

dim V = 300, dim(V ∩ ker(F )) = 50.

Calcolare le dimensioni di F (V ) e di V + ker(F ). Dire se F `e suriettiva.

3. Sia A una matrice quadrata 4 × 4 a coefficienti in R tale che A²= I. Dimostrare che:

(a) A − I e A + I non sono entrambe invertibili;

(b) ker(A + I) ∩ ker(A − I) = 0;

(c) Ax − x ∈ ker(A + I) per ogni x ∈ R⁴; (d) rg(A − I)+ rg(A + I) = 4.

4. Sia V uno spazio vettoriale su R di dimensione 4 e sia B = {u¹, u2, u3, u4} una sua base. Determinare la dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori

v₁= u₄− u3+ u₁, v₂= 2u₂+ u₃− u4, v₃= 2u₂+ 2u₁+ u₄− u3. Completare poi la base trovata ad una base di V .

5. Sia V il sottospazio di R⁴ avente come base B := {e₁+ e₂+ e₃, e₁+ e₂− e₄}. Sia f : V → V l’endomorfismo definito ponendo

f (e1+ e2+ e3) = e3+ e4, f (e1+ e2− e4) = 2(e3+ e4).

Determinare una base di V costituita da autovettori per f . 6. Sia D : K²× K²→ K l’applicazione cos`ı definita:

D(x, y) =    

x1 x2

y1 y2

= x1y2− x2y1, ∀ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ K².

(a) Verificare che l’applicazione D (detta applicazione determinante) `e una forma bilineare antisimmet- rica.

(b) Scrivere la matrice di D rispetto alla base canonica E di K². (c) Calcolare il cono isotropo I_D(K²).

7. Sia data in A²(R) la conica C(a,b)di equazione:

x²+ 6xy − by²− a = 0.

(a) Classificare C_(a,b)al variare di (a, b) ∈ R². Esistono valori di a, b ∈ R per cui C(a,b)sia una parabola non degenere?

(b) Determinare a e b tali che la conica C(a,b) passi per i punti P1= (0,√

2) e P2= (1, −3 +√ 10).

(c) Sia C la conica che verifica (b) e sia D la conica di equazione xy − 3x − 2y + 4 = 0. Esiste un’affinit`a T tale che T (C) = D? In caso affermativo determinarla.

8. In R⁴, dotato di prodotto scalare standard, `e assegnato l’operatore lineare T definito, rispetto alla base canonica E di R⁴, dalla matrice

A =









1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









Determinare una base ortonormale F di autovettori di T e scrivere la matrice di T rispetto a tale base.

9. Sia C la conica euclidea di E²(R) di equazione:

7x²− 3y²− 10√

3xy − 12y − 12√

3x − 12 = 0 (a) Determinarne il tipo.

(b) Determinare tutte le isometrie di E²(R) (indicandone il tipo e scrivendone le equazioni) che trasfor- mano C nella forma canonica D ad essa congruente.

10. Riconoscerne il tipo e ridurre a forma canonica le seguenti coniche:

(a) x²+ 6xy − 2y²+ 2x − 4y + 2 = 0;

(b) x²+ xy − 2y²+ 2y − 1 = 0;

(c) 25x²+ 7y²+ 48y + 7 = 0.

11. Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X e sia χ_S la funzione caratteristica di S. Dimostrare che χ_S `e continua in p se e soltanto se p 6∈ F r(S).

12. Dimostrare che una funzione continua f : X → Y , con X 6= ∅ connesso e Y discreto `e costante.

13. Sia G il gruppo degli elementi invertibili di Z¹⁶. Esistono due interi a, b > 1 tali che G ' Z^a× Zb? 14. Si consideri l’applicazione

ϕ : (Z, +) × (Z, +) → (Z, +) tale che (n, m) 7→ 2n + 3m.

(a) Dimostrare che ϕ `e un omomorfismo di gruppi.

(b) Descrivere il nucleo e l’immagine di ϕ e dare una rappresentazione di Im(ϕ) tramite il Teorema Fondamentale di Omomorfismo di gruppi.

15. Sia α ∈ Z e sia fα: Z[X] → C t.c. fα(f (X)) = f (√

α). Dimostrare che:

(a) f_α`e un omomorfismo e (X²− α) ⊆ ker(f_α);

(b) Determinare Im(fα);

(c) Dimostrare che Im(fα) = Z ⇔ α `e un quadrato perfetto.

16. Sia dato il gruppo GL2(R) con l’usuale prodotto righe per colonne.

(a) Dimostrare che l’insieme

G :=±1 k

0 1

 : k ∈ Z



`

e un sottogruppo di GL2(R).

(b) Sia

G_n:=1 nk

0 1

 : k ∈ Z

 .

Dimostrare che per ogni n ∈ Z, n > 1, Gn`e un sottogruppo normale di G.

(c) Dimostrare che l’applicazione

ϕn: G → Gⁿ⊆ GL2(Zⁿ)

±1 k

0 1



7→ ±1 k mod n

0 1



`

e un omomorfismo e determinarne nucleo e immagine.

(d) Dimostrare che Im(ϕn) ∼= Dn per ogni n ∈ Z, n > 1.

17. Sia Z[i] l’anello degli interi di Gauss e sia I un suo ideale non nullo. Provare che se esiste a + ib in I, con a²+ b²numero primo, allora I `e massimale.

18. Si consideri il campo F⁷= _7Z^Z e il polinomio f (X) = X²+ 1 ∈ F⁷[X]. Dimostrare che l’anello quoziente F7[X]/(f (X)) `e un campo e se ne calcoli il numero di elementi.

19. Sia G un gruppo finito e sia H un sottoinsieme non vuoto di G. Verificare che H ≤ G ⇔ H · H ⊆ H.

20. Si considerino i polinomi

f₁(X) := X⁴+ X + 1, f₂(T ) := T³+ T + 1 ∈ F2(T ).

(a) Si verifichi che f₁, f₂ sono irriducibili su F2.

(b) Si costruisca un ampliamento K di F2 contenente sia una radice α di f₁ che una radice β di f₂. (c) Si determini una base di ciascuno degli spazi vettoriali F2(α), F2(β) (su F2). Quali sono le componenti

di β⁴ rispetto alla base data per F²(β)?

(d) Si verifichi esplicitamente che TUTTE e SOLE le radici di f1 (risp. f2) in K sono α, α², α⁴, α⁸ (risp.

β, β², β⁴.

(e) ´E vero che F²(β) = F²(β²+ 1)? ´E vero che F²(α) = F²(α²+ 1)?

(f) Si determini un campo di spezzamento L del polinomio f1(X)f2(X) e si calcoli [L : F²].