50 6. Riduzione a forma canonica
6.b Riduzione a matrice triangolare
6.10 Teorema. Sia V uno spazio vettoriale su K di dimensione finita e A : V → V un’applicazione lineare. Sono fatti equivalenti:
(i) esiste una base nella quale A si rappresenta con una matrice triangolare superiore,
(ii) il polinomio caratteristico di A si decompone in n fattori di primo grado;
esistono cio` e λ
1, λ
2, . . . , λ
n∈ K tali che
p
A(s) = (s − λ
1) · · · (s − λ
n),
Dimostrazione. (i) ⇒ (ii). Osserviamo che ogni matrice T triangolare superiore ha come au- tovalori gli elementi della diagonale λ
i:= T
ii, i = 1, . . . , n (lo si verifica facilmente, ad esempio utilizzando le formule di Laplace per il calcolo del determinante). In particolare T ha n au- tovalori λ
1, λ
2, . . . , λ
nin K e il suo polinomio caratteristico ` e il prodotto di fattori di primo grado
p
T(s) = (s − λ
1) · · · (s − λ
n).
Ora (i) implica che p
A(s) = p
T(s) per una matrice T triangolare superiore. Segue quindi (ii).
(ii) ⇒ (i) Procediamo per induzione sulla dimensione di V . Se dim V = 1 la tesi `e ovvia.
Supponiamo per induzione di avere dimostrato (ii) ⇒ (i) per tutti gli operatori lineari su spazi di dimensione (n − 1) e proviamolo per A : V → V quando dim V = n. Poich´e per ipotesi
p
A(s) = (s − λ
1) . . . (s − λ
n),
λ
1` e un autovalore per A. Esiste quindi un autovettore non nullo u
1di A. Sia (v
2, . . . , v
n) una base di un supplementare V
1di Span {u
1}. Allora (u
1, v
2, . . . , v
n) ` e una base di V e la matrice associata a A in questa base ` e
A =
a
11a
12a
13. . . a
1n0 B
, a
11= λ
1.
Pertanto p
A(s) = (s −λ
1) p
B(s) e quindi p
B(s) = (s −λ
2) . . . (s −λ
n) ` e prodotto di n −1 fattori di primo grado. Sia B : V
1→ V
1l’applicazione lineare rappresentata nella base (v
2, . . . , v
n) da B . Per l’ipotesi induttiva, esiste una base (u
2, . . . , u
n) di V
1nella quale B si rappresenta con una matrice T triangolare superiore. Pertanto A si rappresenta nella base (u
1, u
2, . . . , u
n) con una matrice della forma
A
′=
a
11c
12c
13. . . c
1n0 T
, a
11= λ
1,
che, come T, ` e triangolare superiore. ⊓ ⊔
Se V `e euclideo o hermitiano, il Teorema 6.10 si precisa meglio.
6 novembre 2013 V ersione preliminare, M. Giaquinta, G. Modica
6. Riduzione a forma canonica 51
6.11 Teorema. Sia A : V → V un operatore lineare su uno spazio euclideo o hermitiano di dimensione n. Sono fatti equivalenti:
(i) esiste una base ortonormale nella quale A si rappresenta con una matrice triangolare superiore,
(ii) il polinomio caratteristico di A si decompone in n fattori di primo grado:
esistono cio` e λ
1, λ
2, . . . , λ
n∈ K tali che
p
A(s) = (s − λ
1) · · · (s − λ
n),
Dimostrazione. La dimostrazione ` e la stessa del Teorema 6.10. Basta osservare che nel passo (ii) ⇒ (i) della dimostrazione del Teorema 6.10 `e possibile scegliere u
1con |u
1| = 1 e come suo
supplementare V
1= Span {u
1}
⊥. ⊓ ⊔
Il caso degli operatori A : V → V su uno spazio vettoriale V complesso `e pi` u semplice perch´e per il teorema fondamentale dell’algebra, vedi Esercizio 15.8 e Teorema 16.2, l’equazione caratteristica di una matrice n × n si fattorizza in fattori di primo grado. Pertanto
6.12 Corollario. Sia A : V → V un’applicazione lineare su uno spazio vettoriale V complesso di dimensione finita. Allora esiste una base di V nella quale A si rappresenta con una matrice triangolare superiore.
Inoltre,
6.13 Proposizione (Decomposizione di Schur). Sia A ∈ M
n,n(C). Allora esiste S ∈ M
n,n(C) tale che S
TS = Id e T := S
−1AS `e triangolare superiore.
Dimostrazione. Per il Teorema 6.11, esiste una base ortonormale (u
1, u
2, . . . , u
n) di C
nnella quale A ` e rappresentata da una matrice triangolare superiore T. Posto S := [u
1| · · · |u
n] si ha allora
T := S
−1AS
Resta da provare che S ` e unitaria. Indichiamo con (e
1, e
2, . . . , e
n) la base canonica di C
n. Essendo la base canonica ortonormale. per ogni i, j = 1, . . . , n si ha (S
TS )
ij= (S
TS e
j) • e
i= e
iTS
TS e
j= (Se
j) • (Se
i) = u
j• u
i= δ
ij. ⊓ ⊔
6.c Teorema di Cayley–Hamilton
6.14 Teorema (Cayley-Hamilton). Sia A ∈ M
n,nC ) e sia p
A(λ) il suo polinomio caratteristico. Allora p
A(A) = 0.
6.15 Lemma. Siano A, B ∈ M
n,n(C) matrici triangolari superiori e sia 1 ≤ j ≤ n. Se A ha le prime j − 1 colonne nulle e B
jj= 0, allora AB ha le prime j colonne nulle.
Dimostrazione. Essendo A e B triangolari superiori, si ha A
hk= B
hk= 0 per ogni h > k.
Pertanto
(AB)
ij=
n
X
k=1
A
ik
B
kj
= X
i≤k≤j
A
ik
B
kj
= X
i≤k<j
A
ik
B
kl
+ A
ijB
jj
= 0 + 0 = 0.
⊓
⊔
V ersione preliminare, M. Giaquinta, G. Modica 6 novembre 2013
52 6. Riduzione a forma canonica
Dimostrazione del Teorema 6.14. (i) Consideriamo prima il caso di una matrice triangolare superiore T. Siano λ
1= T
11, . . . , λ
n= T
nngli autovalori di T e sia p
T(λ) = Q
nj=1
(λ − λ
j) il polinomio caratteristico di T. Posto B
j:= T − λ
jId, si ha (B
j)
jj= 0 e
p
T(T) =
n
Y
j=1
(T − λ
jId) = B
1B
2· · · B
n.
Ora B
1ha la prima colonna nulla. Applicando induttivamente il Lemma 6.15, si ottiene che B
1B
2ha le prime due colonne nulle, B
1B
2B
3ha le prime tre colonne nulle, ecc., e infine che p
T(T) = B
1B
2· · · B
nha tutte le colonne nulle, cio` e p
T(T) = 0.
(ii) Sia A ∈ M
n,n(C). Segue dalla Proposizione 6.13 che A ` e simile ad una matrice triangolare superiore T: esiste cio` e S ∈ M
n,n(C) tale che A = S
−1TS . Pertanto p
A(λ) = p
T(λ) e quindi, tenendo conto dell’Esercizio 5.8 e di (i)
p
A(A) = S
−1p
A(T)S = S
−1p
T(T)S = S
−10 S = 0.
⊓
⊔
6.16 Proposizione. Le matrici in M
n,n(C) con autovalori distinti formano un sottoinsieme denso di M
n,n(C).
Dimostrazione. Per ogni A = (A
ij) ∈ M
n,n(C), indichiamo con ||A||
2la norma di A definita da
||A||
22:= tr (A
TA ) =
n
X
i,j=1
|A
ij|
2.
Sia A ∈ M
n,n(C) e sia ǫ > 0. Dalla Proposizione 6.13 A = S
−1TS con T triangolare superiore.
Siano λ
1, λ
2, . . . , λ
ngli elementi della diagonale di T e siano µ
1, µ
2, . . . , µ
nn numeri distinti fra loro tali che |µ
j− λ
j| < ǫ. La matrice T
ǫ= (T
ǫ)
ijdefinita da
(T
ǫ)
ij=
T
ij
