Massa su profilo triangolare mobile
Figure 1:
Una massa m si muove con velocit`a ~v0 diretta lungo l’asse x verso un profilo a sezione triangolare, triangolo rettangolo di altezza h e base b, ap- poggiato senza attrito sul piano orizzontale. Quale `e il valore minimo di v0
per il quale la massa arriva fino alla cima del profilo, ad una altezza h.
Soluzione
Il sistema ha due gradi di libert`a. Possiamo utilizzare la coordinata X dell’estremo del profilo e la distanza l percorsa sul profilo stesso. Le coordinate della massa m, in funzione di X e l sono date da:
x = X + l cos θ
y = l sin θ →
x = ˙˙ X + ˙l cos θ
˙
y = ˙l sin θ (1)
Nel moto si conservano la quantit`a di moto Qx lungo x del sistema massa+profilo, in quanto non ci sono forze esterne che agiscono lungo x. Si noti che la reazione del piano sulla massa ha una componente x, ma questa
`e una forza interna. Se il “sistema” fosse composto solamente dalla massa, Qx non sarebbe conservata!
Qx= mv0= m ˙x + M ˙X = (m + M ) ˙X + M ˙l cos θ (2) Una seconda equazione e’ fornita dalla conservazione dell’energia, con- servata in quanto non ci sono forze dissipative in gioco.
E = 1
2mv02 = 1
2m( ˙x2+ ˙y2) +1
2M ˙X2+ mgl sin θ (3)
1
Il problema chiede il valore di v0 per il quale la massa raggiunge la cima del profilo. In questa condizione limite, la quota raggiunta dalla massa m `e naturalmente l’altezza h e la massa stessa `e ferma rispetto al profilo, quindi
˙l = 0.
mv0= (m + M )V
1
2mv20 = 12(m + M )V2+ mgh (4) Ricaviamo V dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda:
(1 − m
m + M)v20 = 2gh → v0 =
r 2M gh
m + M (5)
2
