Moto rettilineo :

(1)

(2)

Moto rettilineo :

posizione, velocità accellerazione

Moto uniforme v=cost

Moto uniformemente accelerato a=cost

problema 1 problema 2 problema 3

Moto Curvilineo : Posizione, Velocità ed Accellerazione

Derivate di Vettoridipendenti dal tempo

Componenti Rettangolari della velocità ed Accellerazione

Moto Relativo ad un sistema in traslazione

Componenti Normali e Tangenziali Problema 4

Problema 5

rappresentazioni grafiche della cinematica del moto rettilineo

Lunedi (2h) Oggi

+ 1h di esercizi alla lavagna

(3)

• Cinematica: studio della geometria del moto. La cinematica viene utilizzata per collegare spostamento, velocità, accelerazione, e il tempo senza far

riferimento alla causa del moto.

• Dinamica: studio delle relazioni esistenti tra le forze agenti su un corpo, la massa del corpo, e il moto del corpo. La dinamica è usata per predire il movimento causato dalla proposta forze o per determinare le forze

necessarie per produrre un dato movimento.

• Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea retta.

• Movimento curvilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella

che si muove lungo una linea curva in due o tre dimensioni.

(4)

Movimento Rettilineo (1D) : posizione, velocità ed accelerazione

• Una particella in movimento lungo una linea retta si dice che è in moto rettilineo.

• La coordinata x della posizione di una particella è definita dalla misura della sua distanza da un'origine fissa sulla linea. La coordinata x della posizione può essere sia positiva che negativa

• Il moto di una particella è noto se la sua coordinata di posizione x(t) è nota ad ogni valore del tempo t. Il moto della particella può essere espresso nella forma di una funzione del tempo, ad esempio,

3

6 2

)

(t t t

x  

ed in un grafico

x vs. t.

(5)

t

x(t

₁

+ t)

pendenza

t

t x t

t v_m x







 ( ₁  ) ( ₁)

Velocità media

x

t

pendenza

x(t

₁

+ t)

t

pendenza

x(t

₁

+ t)

t

pendenza

x(t

₁

+ t)

t

₁ t

pendenza

velocità istantanea

t t dt t

dx t

t x

v t 1

0 ( ),

lim )

(  



 





x(t

₁

)

x(t)

Tangente alla curva in P(t₁,x(t₁))

Velocità, moto rettilineo

ed in un grafico

x vs. t.

ed in un grafico

x vs. t.

(6)

grafico

x vs. t.

1 2

1

2

) ( )

(

t t

t x t

v

_m

x



 

Velocità media

s s m

m m

s s

s x s

v_m x 8 /

2 16 32

2 4

) 2 ( ) 4

(  

 

 

s s m

m m

s s

s x s

v_m x 16 /

2 32 0

4 6

) 4 ( ) 6

(    



 

(7)

• Queste velocità possono essere positive o negative. Il loro modulo (cioè la radice quadrata del quadrato) è sempre positivo.

(speed –velocity).

• Consideriamo una particella che occupa la posizione P al tempo t e successivamente si trova in P’ a t+t,

t v x

t x

t



 





 





lim

0

Velocità Media Velocità istantanea

• Dalla definizione di derivata

dt dx t

v x

t 



 



lim0

ad esempio

2 3

2

3 12 6

t dx t

v

t t x









Velocità, moto rettilineo

(8)

• Consideriamo una particella con velocità v al tempo t e v’ al tempo t+t,

Accellerazione Istantanea

t a v

t



 





lim

0

dv t a

t t v

dt x d dt

dv t

a v

t

6 12

3 12 e.g.

lim

2

2 2 0









 

 





• Dalla definizione di derivata

• L’accellerazione puo’ essere :

- Positiva se: aumenta una velocità positiv

a

oppure diminuisce una V negativa - Negativa se: diminuisce una v positiva

Oppure aumenta una v negativa

t

a

^m ^ ^_v

Accellerazione Media

(9)

• t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s

²

• t = 2 s, x = 16 m, v = v

_max

= 12 m/s, a = 0

• t = 4 s, x = x

_max

= 32 m, v = 0, a = -12 m/s

²

• t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s

²

3

6 t

2

t

x  

Spazio - tempo

dt t x d dt

a  dv 

²₂

 12  6

Accellerazione - tempo

3

2

12 t t dt

v  dx  

Velocità- tempo

(10)

• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).

• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

Rappresentazione grafica della derivata temporale in cinematica

(11)

Determinazione del moto di una particella

• Ricordate, il moto di una particella è noto se la sua posizione X è nota ad ogni istante di tempo t.

• Tipicamente, le condizioni del moto sono specificate dal tipo di accellerazione a cui è soggetta la particella. Visto le relazioni tramite le derivate temporali tra a , v , e x, la determinazione della velocità e della posizione , nota l’accellerazione, richiede due successive operazioni di integrazione nel tempo

• Tre classi di moto possono essere definite a seconda che si conosca:

- accelerazione in funzione del tempo, a = a(t)

- accelerazione in funzione del posizione, a = a(x)

- accellerazione in funzione della velocità, a = a(v)

(12)

Interpretrazione grafica degli integrali nel tempo

• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t

₁

e t

₂

è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t

₁

e t

₂

.

• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t

₁

e t

₂

è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t

₁

e t

₂

.

DERIVATE ED INTEGRALI !!

Almeno delle funzioni elementari dovete impararli a fare …SUBITO!!!

  



v ^t a t dt t

v

0

) 0 ( )

( ^x ^t ^^x ^



^t ^v

 

^t ^dt

0

) 0 ( ) (

(13)

- accellerazione in funzione della posizione, a = a(x)

 

^{ }



^

    

^ ^

  











x x x

v

dx x a v

x v dx

x a dv

v dx

x f dv v

x dx a

v dv dt a

a dv

v dt dx dt

v dx

2 2 0 2 1 2

1

- accellerazione in funzione del tempo, a = a(t)

   

^{ }

     

    

^{ }

       













t t t

x

t t t

v

dt t v x

t x dt

t v dx

dt t v dx t

dt v dx

dt t a v

t v dt

t a dv

dt t a dv t

dt a dv

0 0 0

0 0

(14)

• accellerazione in funzione della velocità, a = a(v):

     

 

   

 

   



 









t v

v

t v

v t

x

x t

v

t t v

v

v a

dv x v

t x

v a

dv dx v

v a

dv dx v

v dx a

v dv v t a

dv

v dt a dt dv

v a v dv

dt a dv

0

0 0

0

(15)

Accellerazione nulla, velocità costante a=0, v=cost.

MOTO UNIFORME

 

^{ }

 

t v x

t x

iniziale posizione

x dt

v x

dt v

x t

x

dt v

x t

x dt

v dx dt

v dx t

dt v dx

t v

iniziale velocità

v t

v

t v

t v dt a

dv

t t

t t t

x

0 0

0 0 0

0 0

) (

cos

; ) (

) (

0 ) 0 (

0 0

0



























(16)

 

   

^{ }

     

2

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0

0 0

) 1 (

) (

) 0 (

0 0

at t

v x t

x

tdt a

dt v

x dt

at v

x t

x

dt t v x

t x dt

t v dx

dt t v dx t

dt v dx

at v

t v

at t

a v

t v dt

a dv dt

a dv dt a

dv

t t

t

t t t

x

x t t v

v































Accellerazione costante, a=cost.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO

(17)

• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost

Se a è costante nel tempo vuol dire che è costante anche al variare della velocità !!

 

^{ }

) )

( 1 (

) 0 ( )

(

) )

( 1 (

1

2 0 2

) ( 0

0 0

v t

a v x

t x

v t

a v a vdv

a dv x v

t x

t v

v t

v









  

(18)

accellerazione in funzione della posizione, a = cost

dx v dv a 

Otteniamo lo stesso risultato

)

1 (

₂

0 2

0

v v

x a

x

_f

 

_f



(19)

Problema

Determinare:

• velocità ed altezza rispetto al suolo al tempo t,

• La massima altezza raggiunta ed il tempo impiegato

• Il tempo di arrivo al suolo e la

Una p.m. (palla) è lanciata con velocità verticale v

^o=

10 m/s da una finestra posta ad altezza y

^o

= 20 m dal suolo.

• Cerchiamo il tempo t al quale la velocità è uguale a zero (tempo al quale viene raggiunta la massima altezza) e

utilizziamolo per valutare la corrispondente altezza massima

• Cerchiamo il tempo t al quale l’altezza rispetto al suolo è uguale a zero (tempo d’impatto) e utilizziamolo per calcolare la velocità al momento dell’impatto

• Il moto della palla è un moto uniformemente accellerato, con

accellerazione g=-9.81 m/s² diretta verso il suolo.

(20)

 

^dv ^dt ^v   ^t ^v ^t

dt a dv

t t v

v

81 . 9 81

. 9

s m 81 . 9

0 0

2

0















  ^t ^t

v 



 



 



₂

s 81 m . s 9

10 m

 

   

₀ ₂¹ ²

0

81 . 9 10

0

t t

y t

y dt

t dy

t dt v

dy

t t y

y















  ^t ²⁰ ^m ¹⁰ ^m ^t ⁴ ^. ⁹⁰⁵ ^m

₂

^t

²

y      



 



 



• Integriamo, per trovare v(t) ed ancora una

volta per trovare y(t).

(21)

• Troviamo t tale che, v=0

• … la corrispondente altezza y_max

  ⁰

s 81 m . s 9

10 m

2

 



 



 

 t

t v

s 019 .

 1 t

 

₂

 

²

max

2 2

s 019 . s 1

905 m . 4 s

019 . s 1

10 m m

20 s 905 m . s 4

10 m m

20  

 



 

 

 



 



 

 



 

 

 



 



y

t t

t y

m 1 .

max 25

y

(22)

• Calcolare il tempo t tale che y(t)=0

• Calcolare la corrispondente velocita

  ⁰

s 905 m . s 4

10 m m

20

₂



²





 



 

 

 



 

 t t

t y

 

s 28 . 3

s 243 .

1 privodisignificato,impossibile,soluzion scartata





 t t

 

   ³ ^. ²⁸ ^s 

s 81 m . s 9

10 m s

28 . 3

s 81 m . s 9

10 m

2 2

 

 



 



 

 



 

 v

t t

v

s 2 m .

 22



velocità al momento dell’impatto v

(23)

Alla stazione ferroviaria un “freno terminale” dei binari dei treni consiste di un pistone attaccato ad un asse, libero dimuoversi di moto rettilineo all’interno di un cilindro pieno di olio. All’urto con la locomotrice in arrivo, l’asse viene spinto verso l’interno del cilindro con velocità iniziale v₀, il pistone a sua volta, muovendosi con la stessa velocità, comprime l’olio che può passare ma con difficoltà verso sinistra, attraverso dei sottili fori nel pistone consentendo l’avanzamento del cilindro ma causando una decellerazione proporzionale alla velocità

kv a  

• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).

• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).

• Integrare a = v dv/dx = -kv per trovare v(x).

• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost

(24)

SOLUZIONE:

• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).

 

  _kt

v t dt v

v k kv dv

dt a dv

t t v

v













  

0 0

ln

0

  ^t ^v ^e ^kt

v  ₀ ^

• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).

 

^t ^t ^kt

 

^kt ^t

x

kt

k e v

t x dt

e v dx

e dt v

t dx v

0 0 0

0 0

0

1  

 







  ^t ^v  ^e

^kt



x 

⁰

1 

^

 

0 ln

0

v t e ^v v

t v



(25)

• Integrare a = v dv/dx = -kv per trovare v(x).

kx v

v

dx k dv

dx kv v dv

a

^v ^x

v

















  

0

0 0

kx v

v 

₀



• Alternativamente,

   

 

 



 



0 0

1 v t v k

t v x

kx v

v 

₀



   

0

or

0

v t e v

e v t

v 

^^kt ^^kt



  ^t ^v _k  ^e

^kt



x 

⁰

1 

^

con

e

Infine:

(26)

Moto rettilineo uniforme

v=costante a=0

vt x

x

dt v dx

t x

x







0

0 0

constante

(27)

Moto uniformemente accellerato

Un aparticella in moto rettilineo uniformemente accellerato a=costante

at v

v

at v

v dt

a dv dt a

dv

^v ^t

v









  

0

0 0

constant

 

2 21 0

0

2 21 0

0

0 0

0

at t

v x

x

at t

v x

x dt

at v

dx at

dt v

dx

^x ^t

x

















  

   

 

⁰

 

2 2

0 2

0 2 2 1

2 2

2

constant

0 0

x v x

x v x a v

v

x x a v

v dx

a dv v dx a

v dv

x

x v

v



 















 

(28)

Moti di piu’ parti: moto relativo

• Consideriamo due punti materiali, A e B, che si muovono di moto rettilineo lungo la stessa linea.

• Il tempo deve essere registrato a partire da uno stesso istante iniziale e gli spostamenti dovrebbero essere misurati dalla stessa origine usando la stessa direzione orientata per indicare il verso positivo







_B _A

A

B

x x

x posizione relativa di B

rispetto ad A

A B A

B

x x

x  







_B _A

A

B

v v

v velocità relativa di B

rispetto ad A

A B A

B

v v

v  







_B _A

A

B

a a

a accellerazione di B

rispetto ad A a

a

a  

(29)

Problema

Un palla è lanciata da y_o=12m di altezza, con v_o= 18 m/s verso l’alto, lungo il

condotto di una piattaforma-ascensore. In quello stesso istante, la piattaforma si trova a 5 m di altezza dal suolo e si muove vero su con v_E= 2 m/s.

Determinare (a) quando e dove la palla colpisce la piattaforma e (b) la velocità

SOLUZIONE:

• Per la palla:

Sostituire la posizione x₀ e la velocità v₀ iniziali e l’accellerazione costante g=- 9.81 m/s² nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato .

• Per la piattaforma :

Sostituire la posizione x₀ e la velocità v₀costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni

generali per il moto uniforme.

• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto t_f

• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

(30)

SOLUZIONE:

• Sostituire la posizione x₀ e la velocità v₀iniziali e l’accellerazione costante g=-9.81 m/s² nelle equazioni generali per il moto

uniformemente accellerato .

2 2 2

21 0

0 0 2

s 905 m . s 4

18 m m

12 s 81 m . s 9

18 m

t t

at t

v y

y

t at

v v

B B

 

 



 

 

 



 







 

 



 







• Sostituire la posizione x₀ e la velocità v₀costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme.

t t

v y

y v

E E

E

 

 



 







s 2 m m

5 s

2 m

0

(31)

• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla

piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto t_f

 ¹² ^ ¹⁸ ^ ⁴ ^. ⁹⁰⁵

²

 ^ ^ ⁵ ^ ² ^ ^ ⁰

 t t t

y

_B _E

 

s 65 . 3

s meaningles

s 39 . 0





 t t

• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

 ³ ^. ⁶⁵ 

2 5 

E

 y

m 3 .

 12 y

E

 

 ³ ^. ⁶⁵ 

81 . 9 16

2 81

. 9 18







 t

v

_B _E

s 81 m .

 19

E



v

B

(32)

• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).

• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

La derivata temporale in grafici

(33)

lettura grafica degli integrali nel tempo

• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t

₁

e t

₂

è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t

₁

e t

₂

.

• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t

₁

e t

₂

è uguale

all’area sottesa dalla curva v(t) tra t

₁

e t

₂

.

(34)

•Sistemi di più punti materiali : Moto Reletivo

• Particelle (punti materiali, p.m.) che si muovono lungo la stessa linea.

• Dopo aver definito un sistema di riferimento comune con la stessa origine e direzione per gli spostamenti e lo stesso istante di tempo iniziale, possiamo scrivere







_B _A

A

B

x x

x

Posizione relativa di B rispetto ad A

A B A

B

x x

x  







_B _A

A

B

v v

v

Velocità relativa di B rispetto ad A

A B A

B

v v

v  







_B _A

A

B

a a

a

Accellerazione relativa di B rispetto ad A

a a

a  

(35)

Sistemi di più punti materiali (o di piu’ parti)

• La posizione di un p.m. può dipendere dalla posizione degli altri p.m

• Ad esempio la posizione del blocco B dipende dalla posizione di A. Poichè la fune ha lunghezza costante ne segue che deve essere costante la somma dei segmenti





_B

A

x

x 2

const (1 grado di libertà)

• la posizione dei tre bocchi è dipendente





_B _C

A

x x

x 2

2

const (2 gradi di libertà)

• Relazioni simili valgono per le velocità e le accellerazioni

0 2

2 or 0

2 2

0 2

2 or 0

2 2

















C B

C A B

A

C B

C A B

A

a a

dv a dv

dv

v v

dt v dx dt

dx dt

dx

(36)

Problema 5

La puleggia D che può scorrere verticalmente lungo l’asse viene messa in movimento verso il basso con v_D =3m/s a t = 0.

Conseguentemente il manicotto A inizia a muoversi dalla posizione K con accellerazione costante e zero velocità iniziale. Sappiamo inoltre che la velocità di A è 12 m/s non appena passa L. Determinare il cambiamento in

altezza, velocità ed accellerazione del blocco B quando A è alla posizione L.

• Definire l’origine alla superficie orizzontale

superiore con direzione positiva per gli spostamenti verso il basso.

• A ha un moto rettilineo uniformemente accellerato.

Usiamolo per trovare l’accellerazione ed il tempo t^* per raggiungere L.

• D ha un moto rettilineo uniforme; calcoliamo il cambiamento di posizione al tempo t^*

• Il moto di B dipende dai moti di A e di D.

Scrivere le relazioni di moto relativo per trovare lo spostamento di B al tempo t^*. Diffrenziatele per trovare velocità ed accellerazione di B

(37)

• A ha un moto rettilineo unif. acc. Possiamo ricavare l’accellerazione ed il tempo t^* per rraggiungere L.

     

 

₂

2

0 2

s 9 m m

8 s 2

12 m

2



 



 











A A

A

a a

x x

a v

v

 

s 333 . s 1

9 m s

12 m ₂ ^* ^*

0







t t

t a v

v_A _A _A

• Definire l’origine alla superficie orizzontale superiore con direzione positiva per gli spostamenti verso il basso.

8m

12m/s

(38)

 

  

¹^.³³³^s



⁴^m

s 3m

0

* 0

 



 



 







D D

D

x x

t v x

x

• Block B motion is dependent on motions of collar A and pulley D. Write motion relationship and solve for change of block B position at time t.

Total length of cable remains constant,

     

           

   

⁸^m ² ⁴^m²

   

⁰ ⁰

2 2

0

0 0

0

0 0

0

























B B

D D

A A

B D

A B

D A

x x

 

₀

^ ^ ¹⁶ ^m



_B

B

x

• La puleggia D ha un moto rettilineo uniforme, calcoliamo il cambiamento di posizione al tempo t^*

3m/s

(39)

• Diffrenziate 2 volte per trovare rispettivamente velocità ed accellerazione di B

• .

s 0 3m s 2

12m

0 2

const 2







 



 



 













B B

D A

B D A

v v

x x x

s 18 m



B

 v

s 0 9m

0 2

2  



 









B B D A

v a a a

s

2

9 m



B



a

(40)

• Il vettore posizione del p.m. al tempo t è definito come il vettore tra l’origine O di un

sistema fisso di riferimento e la posizione occupata dal p.m

r

• al tempo t+t il p.m. si sposta nella posizione P’, percorrendo l’arco di curva s.

•Sia il vettore posizione del p.m. in P’ r'

s=spazio percorso

) ( )

(

' r r t t r t

r

r           



•Il vettore spostamento è definito come: r

Moto curvilineo: posizione

• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto curvilineo

(41)

Moto curvilineo: velocità

• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto curvilineo

• Il vettore posizione del p.m. al tempo t è definito come il vettore tra l’origine O di un sistema fisso di riferimento e la posizione occupata dal p.m

• Definiamo la velocità media (vettore) del p.m. che occupa la posizione P al tempo t e P’ a t + t,

ds r

d

dt ds t

v s

dt r d t

v r

t t



 

 



 

 











 

0 0

lim lim

Velocità istantanea (vettore)

Velocità istantanea (scalare)

t v

_m

r



  



(42)

Moto curvilineo: accellerazione



 

 





dt

v d t

a v

t



 

lim

0

accellerazione Istantanea (vettore)

• Consideriamo la velocità di un p.m. al tempo

t

e la sua velocità

a

t +  t :

v

v

• In generale, il vettore accelerazione non è tangente al percorso della particella e quindi non è parallelo al vettore velocità.

(43)

Derivate di funzioni vettoriali

 

^u ^e ^Q

 

^u

P 

• Derivata della somma di due vettori

 

du Q d du

P d du

Q P

d    



 

 

du P f d du P

df du

P f

d 

 





• Derivata del prodotto con uno scalare f

• Derivata del prodotto scalare

 

du Q P d

du Q P d du

Q P

d 



 









 

sono vettori e funzioni della variabile continua u

(44)

Componenti lungo gli assi cartesiani

• La posizione P di un p.m. in un riferimento cartesiano è data da:

k z j y i x

r       

• Vettore velocità ,

k v j v i v

dtk j dz dt i dy dt v dx

z y

x

 



 









• Vettore accellerazione

k a j a i a

dt k j dv dt i dv dt k dv

dt z j d

dt y i d

dt x

a d ^x ^y ^z

 



 



 











 ²₂ ²₂ ²₂ ₂ ₂ ₂

(45)

• il moto si puo’ scomporre in tre moti indipendenti sugli assi cartesiani (mi sapete dire quando non è possibile?)

0

0 ₂

2 2

2       



 dt

z d dt a dv dt g

y d dt a dv

dt x d dt

a_x dv^x _y ^y _z ^z

Con condizioni iniziali

  ^,   ^, ^{ } ⁰

0

₀

0 0 0

0

 y  z  v

_x

v

_y

v

_z



x

Integrando due volte

   

 

₀⁰

^  

₀⁰

^

¹₂ ²

^ ⁰ ⁰







z gt

y v

y t

v x

v gt

v v

y x

z y

y x

x

• Il moto nella direzione orizzontale x è uniforme

• Il moto del p.m. può essere scomposto in due moti rettilinei indipendenti

Esempio 2D

• Il moto nella direzione verticale y è uniformemente accellerato

(46)

applico le equazioni della cinematica monodimensionale:

1.moto rettilineo orizzontale (x): uniforme

2.moto rettilineo verticale (y) : uniformenmente accellerato (caduta di un grave)

Applicazione:moto del proiettile [qualunque oggetto lanciato in aria]

Ipotesi:

1.accelerazione di gravità g costante 2.resistenza dell’aria trascurabile

Il moto orizzontale e verticale sono indipendenti la traiettoria è sempre una parabola [dimostrare]

   

 

₀⁰

^  

₀⁰

^

₂¹ ²

^ ⁰ ⁰







z gt

y v

y t

v x

v gt

v v

y x

z y

y x

x

x y z

(47)

Applicazione:moto del proiettile

(48)

(49)

(50)

(51)

?

(52)

Luce stroboscopica : flash ad intervalli uguali t

(53)

Moto relativo ad un sistema di riferimento in movimento relativo uniforme

• Consideriamo un sistema fisso di riferimento O(xyz) ed uno mobile A(x’y’z’) che al più trasla rispetto al prima con velocità costante .

• I vettori posizione per i p.m. A e B rispetto al sistema fisso Oxyz sono :

. e _B

A r

r 

• Il vettore che unisce A e B definisce la posizione di B rispetto al sistema di riferimento mobile Ax’y’z’. Risulta:

r

B A

A B A

B r r

r    

• Si ottiene:

A



v

B Velocità di B rispetto ad A.

A B A

B

v v

v     

A



a

B Accellerazione di B rispetto ad A.

A B A

B

a a

a     

• Il moto “assoluto di B può essere ricavato combinando il moto di A con il moto relativo di B rispetto al sistema di riferimento mobile attaccato ad A.

(54)

Componenti tangenziale e normale

• La velocità è un vettore sempre tangente alla traettoria del p.m. In genere, l’accellerazione non lo è ! E’ conveniente esprimere il vettore accellerazione in termini di componenti tangenziali e normali (ortogonali alla direzione del moto cioe’ alla tangente)

• Siano i versori tangenti alla traettoria in P e P’. Riportiamoli sull’origine e chimiamo l’angolo tra di loro

t

t e

e ed 

t t

t

e e

e      







 

t t n

n

n t n

t

e d e

e e d

e e e

e



 



 





 

 















;

2 2 lim sin

lim

2 sin

2

0 0



traettoria

/2