Moto rettilineo :

Moto rettilineo :

posizione, velocità accellerazione

Moto uniforme v=cost

Moto uniformemente accelerato a=cost

problema 1 problema 2 problema 3

Moto Curvilineo : Posizione, Velocità ed Accellerazione

Derivate di Vettoridipendenti dal tempo

Componenti Rettangolari della velocità ed Accellerazione

Moto Relativo ad un sistema in traslazione

Componenti Normali e Tangenziali Problema 4

Problema 5

rappresentazioni grafiche della cinematica del moto rettilineo

Lunedi (2h) Oggi

+ 1h di esercizi alla lavagna

• Cinematica: studio della geometria del moto. La cinematica viene utilizzata per collegare spostamento, velocità, accelerazione, e il tempo senza far

riferimento alla causa del moto.

• Dinamica: studio delle relazioni esistenti tra le forze agenti su un corpo, la massa del corpo, e il moto del corpo. La dinamica è usata per predire il movimento causato dalla proposta forze o per determinare le forze

necessarie per produrre un dato movimento.

• Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea retta.

• Movimento curvilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella

che si muove lungo una linea curva in due o tre dimensioni.

Movimento Rettilineo (1D) : posizione, velocità ed accelerazione

• Una particella in movimento lungo una linea retta si dice che è in moto rettilineo.

• La coordinata x della posizione di una particella è definita dalla misura della sua distanza da un'origine fissa sulla linea. La coordinata x della posizione può essere sia positiva che negativa

• Il moto di una particella è noto se la sua coordinata di posizione x(t) è nota ad ogni valore del tempo t. Il moto della particella può essere espresso nella forma di una funzione del tempo, ad esempio,

3

6

2

)

( t t t

x  

ed in un grafico x vs. t.

t

x(t

₁

+ t)

pe nd en za

t

t x t

t v

_m

x







 (

₁

 ) (

₁

) Velocità media

x

t

pe nd en za

x(t

₁

+ t)

t

pe nd en za

x(t

₁

+ t)

t

pe nd en za

x(t

₁

+ t)

t

₁ t

pe nd en za

velocità istantanea t t dt t

dx t

t x

v

t 1

0

( ),

lim )

(  



 





x(t

₁

)

x(t)

Tangente alla curva in P(t₁,x(t₁))

Velocità, moto rettilineo

ed in un grafico x vs. t.

ed in un grafico x vs. t.

grafico x vs. t.

1 2

1

2 ) ( )

(

t t

t x t

v _m x



 

Velocità media

s s m

m m

s s

s x s

v

_m

x 8 /

2 16 32

2 4

) 2 ( ) 4

(  

 

 

s s m

m m

s s

s x s

v_m x 16 /

2 32 0

4 6

) 4 ( ) 6

(    



 

• Queste velocità possono essere positive o negative. Il loro modulo (cioè la radice quadrata del quadrato) è sempre positivo.

(speed –velocity).

• Consideriamo una particella che occupa la posizione P al tempo t e successivamente si trova in P’ a t+t,

t v x

t x

t



 





 





lim

0

Velocità Media Velocità istantanea

• Dalla definizione di derivata

dt dx t

v x

t





 





lim

0

ad esempio

2 3

2

3 12 6

t dx t

v

t t x











Velocità, moto rettilineo

• Consideriamo una particella con velocità v al tempo t e v’ al tempo t+t,

Accellerazione Istantanea

t a v

t



 





lim

0

dt t a dv

t t v

dt x d dt

dv t

a v

t

6 12

3 12 e.g.

lim

2

2 2 0













 

 





• Dalla definizione di derivata

• L’accellerazione puo’ essere :

- Positiva se: aumenta una velocità positiv a

oppure diminuisce una V negativa - Negativa se: diminuisce una v positiva

Oppure aumenta una v negativa

t

a

^{m  }_v

Accellerazione Media

• t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s

²

• t = 2 s, x = 16 m, v = v

_max

= 12 m/s, a = 0

• t = 4 s, x = x

_max

= 32 m, v = 0, a = -12 m/s

²

• t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s

²

3

6 t

2

t

x  

Spazio - tempo

dt t x d dt

a  dv 

²₂

 12  6

Accellerazione - tempo

3

2

12 t t dt

v  dx  

Velocità- tempo

• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).

• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

Rappresentazione grafica della derivata temporale in cinematica

Determinazione del moto di una particella

• Ricordate, il moto di una particella è noto se la sua posizione X è nota ad ogni istante di tempo t.

• Tipicamente, le condizioni del moto sono specificate dal tipo di accellerazione a cui è soggetta la particella. Visto le relazioni tramite le derivate temporali tra a , v , e x, la determinazione della velocità e della posizione , nota l’accellerazione, richiede due successive operazioni di integrazione nel tempo

• Tre classi di moto possono essere definite a seconda che si conosca:

- accelerazione in funzione del tempo, a = a(t)

- accelerazione in funzione del posizione, a = a(x)

- accellerazione in funzione della velocità, a = a(v)

Interpretrazione grafica degli integrali nel tempo

• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t

₁

e t

₂

è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t

₁

e t

₂

.

• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t

₁

e t

₂

è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t

₁

e t

₂

.

DERIVATE ED INTEGRALI !!

Almeno delle funzioni elementari dovete impararli a fare …SUBITO!!!

  



v ^t a t dt t

v

0

) 0 ( )

( ^{x t x }



^{t v}

 

^{t dt}

0

) 0 ( ) (

- accellerazione in funzione della posizione, a = a(x)

 

 

^{ }

 ^      ^{ }   

















x x x

v

dx x a v

x v dx

x a dv

v dx

x f dv v

x dx a

v dv dt a

a dv

v dt dx dt

v dx

2 2 0 2 1 2

1

- accellerazione in funzione del tempo, a = a(t)

   

^{ }

     

    

^{ }

       



























t t t

x

x

t t t

v

v

dt t v x

t x dt

t v dx

dt t v dx t

dt v dx

dt t a v

t v dt

t a dv

dt t a dv t

dt a dv

0 0 0

0 0 0

0 0

• accellerazione in funzione della velocità, a = a(v):

     

 

 

 

   

 

 

 

   



 





























t v

v

t v

v t

x

x t

v

v

t t v

v

v a

dv x v

t x

v a

dv dx v

v a

dv dx v

v dx a

v dv v t a

dv

v dt a dt dv

v a v dv

dt a dv

0

0 0

0

0

0

0

Accellerazione nulla, velocità costante a=0, v=cost.

MOTO UNIFORME

 

 

^{ }

 

t v x

t x

iniziale posizione

x dt

v x

dt v

x t

x

dt v

x t

x dt

v dx dt

v dx t

dt v dx

t v

iniziale velocità

v t

v

t v

t v dt a

dv

t t

t t t

x

x

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

) (

) (

) (

cos

; ) (

) (

0 ) 0 (

0 0

0

















































 

 

   

^{ }

     

2 0

0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0

0 0

2 ) 1

(

) (

) (

) (

) 0 (

0 0

at t

v x t

x

tdt a

dt v

x dt

at v

x t

x

dt t v x

t x dt

t v dx

dt t v dx t

dt v dx

at v

t v

at t

a v

t v dt

a dv dt

a dv dt a

dv

t t

t

t t t

x

x t t v

v































































Accellerazione costante, a=cost.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO

• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost

Se a è costante nel tempo vuol dire che è costante anche al variare della velocità !!

  ^{ }

) )

( 1 (

) 0 ( )

(

) )

( 1 (

1

2 0 2

2 0 2

) ( 0

0 0

v t

a v x

t x

v t

a v a vdv

a dv x v

t x

t v

v t

v

v















  

accellerazione in funzione della posizione, a = cost

dx v dv a 

Otteniamo lo stesso risultato

)

1 (

₂

0 2

0

v v

x a

x

_f

 

_f



Problema

Determinare:

• velocità ed altezza rispetto al suolo al tempo t,

• La massima altezza raggiunta ed il tempo impiegato

• Il tempo di arrivo al suolo e la

Una p.m. (palla) è lanciata con velocità verticale v

^o=

10 m/s da una finestra posta ad altezza y

^o

= 20 m dal suolo.

• Cerchiamo il tempo t al quale la velocità è uguale a zero (tempo al quale viene raggiunta la massima altezza) e

utilizziamolo per valutare la corrispondente altezza massima

• Cerchiamo il tempo t al quale l’altezza rispetto al suolo è uguale a zero (tempo d’impatto) e utilizziamolo per calcolare la velocità al momento dell’impatto

• Il moto della palla è un moto uniformemente accellerato, con

accellerazione g=-9.81 m/s

²

diretta verso il

suolo.

  ^{dv dt v}   ^{t v t}

dt a dv

t t v

v

81 . 9 81

. 9

s m 81 . 9

0 0

2

0





















  ^{t t}

v 



 



 



₂

s 81 m . s 9

10 m

     

_{0 2}^{1 2}

0

81 . 9 10

81 . 9 10

81 . 9 10

0

t t

y t

y dt

t dy

t dt v

dy

t t y

y





















 

₂ ²

s 905 m . s 4

10 m m

20 t t

t

y 



 



 

 

 



 



• Integriamo, per trovare v(t) ed ancora una

volta per trovare y(t).

• Troviamo t tale che, v=0

• … la corrispondente altezza y

_max

  ⁰

s 81 m . s 9

10 m

2

 



 



 

 t

t v

s 019 .

 1 t

 

 

₂

 

²

max

2 2

s 019 . s 1

905 m . 4 s

019 . s 1

10 m m

20

s 905 m . s 4

10 m m

20

 

 



 

 

 



 



 

 



 

 

 



 



y

t t

t y

m 1 .

max 25

y

• Calcolare il tempo t tale che y(t)=0

• Calcolare la corrispondente velocita

  ⁰

s 905 m . s 4

10 m m

20

₂



²





 



 

 

 



 

 t t

t y

 

s 28 . 3

s 243 .

1

privodisignificato,impossibile,soluzion scartata





 t t

 

   ^{3 . 28 s} 

s 81 m . s 9

10 m s

28 . 3

s 81 m . s 9

10 m

2 2

 

 



 



 

 



 

 v

t t

v

s 2 m .

 22



velocità al momento dell’impatto v

Alla stazione ferroviaria un “freno terminale” dei binari dei treni consiste di un pistone attaccato ad un asse, libero dimuoversi di moto rettilineo all’interno di un cilindro pieno di olio. All’urto con la locomotrice in arrivo, l’asse viene spinto verso l’interno del cilindro con velocità iniziale v₀, il pistone a sua volta, muovendosi con la stessa velocità, comprime l’olio che può passare ma con difficoltà verso sinistra, attraverso dei sottili fori nel pistone consentendo l’avanzamento del cilindro ma causando una decellerazione proporzionale alla velocità

kv a  

• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).

• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).

• Integrare a = v dv/dx = -kv per trovare v(x).

• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost

SOLUZIONE:

• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).

 

  _kt

v t dt v

v k kv dv

dt a dv

t t v

v













  

0 0

ln

0

  ^{t v e kt}

v  ₀ ^

• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).

 

  ^{t t kt}   ^{kt t}

x

kt

k e v

t x dt

e v dx

e dt v

t dx v

0 0 0

0 0

0

1  

 



















   ^e

^kt



k t v

x 

⁰

1 

^

 

 

0 ln

0

v t e

^v

v

t v



• Integrare a = v dv/dx = -kv per trovare v(x).

kx v

v

dx k dv

dx k dv

dx kv v dv

a

^{v x}

v



















  

0

0 0

kx v

v 

₀



• Alternativamente,

   

 

 



 



0 0

1

v t v k

t v x

kx v

v 

₀



   

0

or

0

v t e v

e v t

v 

^{kt kt}



  ^{t v} _k  ^e

^kt



x 

⁰

1 

^

con

e

Infine:

Moto rettilineo uniforme

v=costante a=0

vt x

x

dt v dx

dt v dx

t x

x















0

0 0

constante

Moto uniformemente accellerato

Un aparticella in moto rettilineo uniformemente accellerato a=costante

at v

v

at v

v dt

a dv dt a

dv

^{v t}

v













  

0

0

0 0

constant

 

2 21 0

0

2 21 0

0

0 0

0

0

at t

v x

x

at t

v x

x dt

at v

dx at

dt v

dx

^{x t}

x



















  

   

 

⁰

 

2 2

0 2

0 2 2 1

2 2

2

constant

0 0

x v x

x v x a v

v

x x a v

v dx

a dv v dx a

v dv

x

x v

v



 

















  

Moti di piu’ parti: moto relativo

• Consideriamo due punti materiali, A e B, che si muovono di moto rettilineo lungo la stessa linea.

• Il tempo deve essere registrato a partire da uno stesso istante iniziale e gli spostamenti dovrebbero essere misurati dalla stessa origine usando la stessa direzione orientata per indicare il verso positivo







_{B A}

A

B

x x

x posizione relativa di B

rispetto ad A

A B A

B

x x

x  







_{B A}

A

B

v v

v velocità relativa di B

rispetto ad A

A B A

B

v v

v  







_{B A}

A

B

a a

a accellerazione di B

rispetto ad A

A B A

B

a a

a  

Problema

Un palla è lanciata da y

_o

=12m di altezza, con v

_o

= 18 in verso l’alto, lungo il condotto di una piattaforma-ascensore In quello

stesso istante, la piattaforma si trova a 5 m di altezza dal suolo e si muove vero su con v

_E

= 2 m/s.

Determinare (a) quando e dove la palla colpisce la piattaforma e (b) la velocità

SOLUZIONE:

• Per la palla:

Sostituire la posizione x₀ e la velocità v₀ iniziali e l’accellerazione costante g=- 9.81 m/s² nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato .

• Per la piattaforma :

Sostituire la posizione x₀ e la velocità v₀ costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni

generali per il moto uniforme.

• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto t_f

• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

SOLUZIONE:

• Sostituire la posizione x₀ e la velocità v₀ iniziali e l’accellerazione costante g=-9.81 m/s² nelle equazioni generali per il moto

uniformemente accellerato .

2 2 2

21 0

0 0 2

s 905 m . s 4

18 m m

12 s 81 m . s 9

18 m

t t

at t

v y

y

t at

v v

B B

 

 



 

 

 



 









 

 



 







• Sostituire la posizione x

₀

e la velocità v

₀

costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme.

t t

v y

y v

E E

E

 

 



 









s 2 m m

5 s

2 m

0

• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla

piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto t_f

 ^{12  18  4 . 905}

²

 ^{  5  2   0}

 t t t

y

_{B E}

 

s 65 . 3

s meaningles

s 39 . 0





 t t

• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

 ^{3 . 65} 

2 5 

E

 y

m 3 .

 12 y

E

 

 ^{3 . 65} 

81 . 9 16

2 81

. 9 18









 t

v

_{B E}

s 81 m .

 19

E



v

B

t

x(t

₁

+ t)

pe nd en za

t

t x t

t v

_m

x







 (

₁

 ) (

₁

) Velocità media

x

t

pe nd en za

x(t

₁

+ t)

t

pe nd en za

x(t

₁

+ t)

t

pe nd en za

x(t

₁

+ t)

t

₁ t

pe nd en za

velocità istantanea t t

dt t t dx

v ( )  ( ), 

₁

x(t

₁

)

• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).

• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

La derivata temporale in grafici

lettura grafica degli integrali nel tempo

• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t

₁

e t

₂

è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t

₁

e t

₂

.

• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t

₁

e t

₂

è uguale

all’area sottesa dalla curva v(t) tra t

₁

e t

₂

.

3D

• Una particella si muove di moto curvilineo se non si muove in modo non-rettilineo

• Vettore Posizione di una particella al tempo t è definita dal vettore applicato nell’origine O di un sistema di riferimento che punta nella posizione occupata dalla particella al tempo t



 

 



 

 









dt ds t

v s

dt r d t

v r

t t

0 0

lim

lim  



Velocità istantanea (vettore)

Intensità della velocità istantanea

2D

BC dx AB

v dv

a   tan  

Motion of Several Particles:

Dependent Motion • Position of a particle may depend on position of one or more other particles.

• Position of block B depends on position of block A.

Since rope is of constant length, it follows that sum of lengths of segments must be constant.





_B

A

x

x 2 constant (one degree of freedom)

• Positions of three blocks are dependent.







_{B C}

A

x x

x 2

2 constant (two degrees of freedom)

• For linearly related positions, similar relations hold between velocities and accelerations.

0 2

2 or 0

2 2

0 2

2 or 0

2 2

























C B

C A B

A

C B

C A B

A

a a

dt a dv dt

dv dt

dv

v v

dt v dx dt

dx dt

dx

Sample Problem 11.5

Pulley D is attached to a collar which is pulled down at 3 in./s. At t = 0, collar A starts moving down from K with constant acceleration and zero initial velocity. Knowing that

velocity of collar A is 12 in./s as it passes L, determine the change in elevation, velocity, and acceleration of block B when block A is at L.

SOLUTION:

• Define origin at upper horizontal surface with positive displacement downward.

• Collar A has uniformly accelerated

rectilinear motion. Solve for acceleration and time t to reach L.

• Pulley D has uniform rectilinear motion.

Calculate change of position at time t.

• Block B motion is dependent on motions of collar A and pulley D. Write motion relationship and solve for change of block B position at time t.

• Differentiate motion relation twice to

develop equations for velocity and

Sample Problem 11.5 _SOLUTION:

• Define origin at upper horizontal surface with positive displacement downward.

• Collar A has uniformly accelerated rectilinear

motion. Solve for acceleration and time t to reach L.

     

 

₂

2 2 0 2 0

s 9 in.

in.

8 s 2

12 in.

2



 



 











A A

A A

A A

A

a a

x x

a v

v

 

s 333 . s 1

9 in.

s 12 in.

2 0









t t

t a v

v

_{A A A}

Sample Problem 11.5 • Pulley D has uniform rectilinear motion. Calculate change of position at time t.

 

   ^{1 . 333 s}  ^{4 in.}

s 3 in.

0 0

 



 



 







D D

D D

D

x x

t v x

x

• Block B motion is dependent on motions of collar A and pulley D. Write motion relationship and solve for change of block B position at time t.

Total length of cable remains constant,

     

     ^{ }   ^{ } 

 ^{8 in.}   ^{2 4 in.}      ⁰

0 2

2 2

0

0 0

0

0 0

0































B B

B B

D D

A A

B D

A B

D A

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

    ^{16 in.}

 x

x

Sample Problem 11.5

• Differentiate motion relation twice to develop equations for velocity and acceleration of block B.

s 0 3 in.

s 2 12 in.

0 2

constant 2



 



 



 

 

 

















B B

D A

B D

A

v v

v v

x x

x

s 18 in.

B

 v

s 0 9 in.

0 2

2

  



 











B B D

A

v a a

a

s

2

9 in.



B



a

Curvilinear Motion: Position, Velocity

& Acceleration



 

 





dt

v d t

a v

t



 

lim

0

instantaneous acceleration (vector)

• Consider velocity of particle at time t and velocity at t +  t,

v

v

• In general, acceleration vector is not tangent to

particle path and velocity vector.

Derivatives of Vector Functions _{• Let P} ^ _{  u} be a vector function of scalar variable u,

   

u

u P u

u P u

P du

P d

u

u







 



 

















0

0

lim

lim

• Derivative of vector sum,

 

du Q d du

P d du

Q P

d    



 

 

du P f d du P

df du

P f

d 

 





• Derivative of product of scalar and vector functions,

• Derivative of scalar product and vector product,

 

 ^{P Q}  ^{d P} _{Q P} ^{d Q}

d

du Q P d

du Q P d du

Q P d

 

 





 

 











 







 

Rectangular Components of Velocity &

Acceleration • When position vector of particle P is given by its rectangular components,

k z j y i x

r       

• Velocity vector,

k v j v i v

k z j y i x dt k

j dz dt i dy dt v dx

z y

x

  

 

 

 

 

 



















• Acceleration vector,

k a j a i a

k z j y i x dt k

z j d

dt y i d

dt x a d

z y

x

  

 

 

 

 

 



















²₂ ²₂ ²₂

Rectangular Components of Velocity &

Acceleration • Rectangular components particularly effective when component accelerations can be integrated independently, e.g., motion of a projectile,

0

0     



 x a y g a z

a

_x



_y



_z



with initial conditions,

  ^,   ^{,   0}

0

₀

0 0 0

0

0

 y  z  v

_x

v

_y

v

_z



x

Integrating twice yields

   

 

₀⁰

^  

₀⁰

^

¹₂ ²

^{ 0 0}











z gt

y v

y t

v x

v gt

v v

v v

y x

z y

y x

x

• Motion in horizontal direction is uniform.

• Motion in vertical direction is uniformly accelerated.

• Motion of projectile could be replaced by two

Motion Relative to a Frame in Translation

• Designate one frame as the fixed frame of reference.

All other frames not rigidly attached to the fixed reference frame are moving frames of reference.

• Position vectors for particles A and B with respect to the fixed frame of reference Oxyz are r 

_A

and r 

_B

.

• Vector joining A and B defines the position of B with respect to the moving frame Ax’y’z’ and

^{B A}

r

A B A

B

r r

r     

• Differentiating twice,

A



v

B

velocity of B relative to A.

A B A

B

v v

v     

A



a

B

acceleration of B relative to A.

A B A

B

a a

a     

• Absolute motion of B can be obtained by combining

motion of A with relative motion of B with respect to

moving reference frame attached to A.

Tangential and Normal Components

• Velocity vector of particle is tangent to path of particle. In general, acceleration vector is not.

Wish to express acceleration vector in terms of tangential and normal components.

• are tangential unit vectors for the particle path at P and P’. When drawn with respect to the same origin, and

is the angle between them.

t

t

e

e  and  

t t

t

e e

e      

 



 

 















d e e d

e e e

e

n t

n t n

t

 



 



 

 



















2

2 lim sin

lim

2 sin

2

0 0

Tangential and Normal Components

e

t

v v   

• With the velocity vector expressed as

the particle acceleration may be written as dt ds ds d d

e v d dt e

dv dt

e v d dt e

dv dt

v

a d

_{t t}





 

 

      

but

dt v ds ds

d d e

e

d

t



n

   

 ^



After substituting,





2

2

v

dt a a dv

v e dt e

a   dv 

_t

 

_{n t}



_n



• Tangential component of acceleration reflects change of speed and normal component reflects change of direction.

• Tangential component may be positive or

negative. Normal component always points

toward center of path curvature.

Tangential and Normal Components





2

2

v

dt a a dv

v e dt e

a   dv 

_t

 

_{n t}



_n



• Relations for tangential and normal acceleration also apply for particle moving along space curve.

• Plane containing tangential and normal unit vectors is called the osculating plane.

n t

b

e e

e     

• Normal to the osculating plane is found from

binormal e

normal principal

e

b n









• Acceleration has no component along binormal.

Radial and Transverse Components • When particle position is given in polar coordinates, it is convenient to express velocity and acceleration with components parallel and perpendicular to OP.

r

e

r

d e e d

d e

d  

 





 



^{ }

dt e d dt

d d

e d dt

e

d

_{r r}

 

 ^

^



  

dt e d dt

d d

e d dt

e

d 

r





^



 

   

 







 e

r e

r

dt e r d dt e

dr dt

e r d dt e

e dr dt r

v d

r

r r r

r

 

 



 





















• The particle velocity vector is

• Similarly, the particle acceleration vector is

  ^{ }



 



















e r r

e r

r

dt e d dt r d dt e

r d dt e

d dt dr dt

e d dt e dr

dt r d

dt e r d dt e

dr dt a d

r r r

r

 

 

 



 

 









2

2

2 2 2

2



















 

 



 

 e

r

r

r   

Radial and Transverse Components • When particle position is given in cylindrical coordinates, it is convenient to express the

velocity and acceleration vectors using the unit vectors e 

_R

, e  , and k  .



• Position vector, k z e

R

r   

_R

 

• Velocity vector,

k z e

R e

dt R r

v d

_R



 

 

 

    

_



• Acceleration vector,

 ^{R R}  ^{e  R R  e z k}

dt v

a d

_R



 

 

 

 

     

²

   2 

_



Sample Problem 11.10

A motorist is traveling on curved section of highway at 60 mph. The motorist applies brakes causing a constant deceleration rate.

Knowing that after 8 s the speed has been reduced to 45 mph, determine the acceleration of the automobile immediately after the brakes are applied.

SOLUTION:

• Calculate tangential and normal components of acceleration.

• Determine acceleration magnitude and

direction with respect to tangent to

curve.

Sample Problem 11.10

ft/s 66 mph

45

ft/s 88 mph

60





SOLUTION:

• Calculate tangential and normal components of acceleration.

 

 

2 2

2

2

s 10 ft . ft 3

2500 s ft 88

s 75 ft . s 2

8

s ft 88 66









 

 

 

 a v

t a v

n t

• Determine acceleration magnitude and direction with respect to tangent to curve.

 

^{2 2}

2

2

   2 . 75  3 . 10

 a

_t

a

_n

a

₂

s 14 ft .

 4 a

75 . 2

10 . tan 3

tan

^1



^1



t n

a

 a  _{ 48 . 4 }

Sample Problem 11.12

Rotation of the arm about O is defined by  = 0.15t

²

where  is in radians and t in seconds. Collar B slides along the arm such that r = 0.9 - 0.12t

²

where r is in meters.

After the arm has rotated through 30

^o

, determine (a) the total velocity of the collar, (b) the total acceleration of the collar, and (c) the relative acceleration of the collar with respect to the arm.

SOLUTION:

• Evaluate time t for  = 30

^o

.

• Evaluate radial and angular positions, and first and second derivatives at time t.

• Calculate velocity and acceleration in cylindrical coordinates.

• Evaluate acceleration with respect to

arm.