IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
Professoressa CORONA PAOLA
Il moto di una mela che cade
Per misurare gli spostamenti è stato fissato un asse verticale orientato verso il basso che ha origine nella posizione iniziale della mela.
Durante il moto di caduta la velocità istantanea della mela aumenta e le distanze da essa percorse in
intervalli di tempo uguali aumentano.
La figura mostra una sequenza di scatti fotografici a intervalli regolari (0,1 s) di una mela che cade.
Il moto rettilineo uniformemente accelerato
nel moto rettilineo uniformemente accelerato le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli intervalli di
tempo in cui esse avvengono.
Dal grafico velocità-tempo si osserva che:
0,98 m/s 2
9,8 m/s 0,1 s
m
a a v
t
= = D = =
D
Si dice moto rettilineo uniformemente accelerato il movimento di un punto materiale che si sposta lungo una retta con accelerazione costante.
Dai dati della mela che cade si ricava:
Il grafico spazio-tempo del moto
Infatti:
nel moto rettilineo uniformemente accelerato di un punto materiale che parte da fermo la distanza percorsa è direttamente proporzionale al
quadrato del tempo trascorso.
Riportando su un grafico spazio- tempo le posizioni della mela che cade da ferma, si ottiene un arco di parabola.
L’accelerazione dei corpi che cadono
Gli esperimenti nel vuoto
confermano che, per esempio, una mela e una piuma restano affiancate per tutta la caduta.
Tutti i corpi che cadono da fermi vicino alla superficie terrestre
scendono verticalmente verso il basso con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s2 (accelerazione di gravità).
Galileo per primo sostenne che, in assenza dell’aria, tutti i corpi
cadrebbero di moto uniformemente accelerato con la stessa accelerazione.
Le leggi del moto (con v 0 = 0)
uLa legge della velocità
La legge della velocità fornisce la velocità istantanea di un punto materiale a ogni istante successivo all’inizio del moto (t = 0).
Se la velocità iniziale è nulla (partenza da fermo) e l’accelerazione è costante, la legge della velocità è:
Le leggi del moto (con v 0 = 0)
uLa legge della velocità - grafico
Il grafico velocità-tempo di un corpo che
parte da fermo con accelerazione costante è una retta che passa per l’origine (la velocità v e il tempo t sono direttamente
proporzionali).
La legge della velocità - dimostrazione
Dalla definizione di accelerazione media tra l’istante iniziale t0 = 0 e un generico istante t in cui la velocità è v, vale la relazione:
0 0
0 0 v v
v v v
a t t t t t
-
D -
= = = =
D - - da cui: v at=
Le leggi del moto (con s 0 = 0,v 0 = 0)
uLa legge della posizione
Per un punto materiale che parte da fermo dall’origine all’istante t = 0 e che si muove con accelerazione costante, la legge della
posizione (o legge oraria del moto) è:
Il grafico spazio-tempo di un corpo che parte da fermo con accelerazione costante è un arco di parabola con vertice nell’origine.
Le leggi del moto (con s 0 = 0,v 0 = 0)
uArea e spostamento
Moto rettilineo uniforme:
Lo spostamento compiuto in un intervallo di tempo è dato dall’area sotto il grafico velocità-tempo entro tale intervallo.
area = vt = s vt
Moto uniformemente accelerato:
( )
21 1
area =
2 t at = 2 at 1 2
= 2
s at
D t
Le leggi del moto (con s 0 = 0,v 0 = 0)
uIl calcolo del tempo
Perciò, per un punto materiale che parte
§ da fermo,
§ dall’origine degli assi,
§ con accelerazione costante,
il tempo per raggiungere la posizione s è dato da:
2 2
1 2 2
=
2
s s
s at t t
a a
Þ = Þ =
Dalla legge della posizione segue che:
Le leggi del moto (con v 0 ≠ 0)
uLa legge generale della velocità istantanea
Il corrispondente grafico velocità-
tempo è una retta che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata v0.
Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v0, la legge della velocità è:
Le leggi del moto (con s 0 ≠ 0, v 0 ≠ 0)
uLa legge generale della posizione
Il corrispondente grafico spazio-tempo è un ramo di parabola che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata s0.
Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale s0 e velocità iniziale v0, la legge della posizione è:
Le leggi del moto (con s 0 ≠ 0, v 0 ≠ 0)
uLa legge generale della posizione - dimostrazione
Lo spostamento dopo un tempo t dall’istante iniziale si calcola come area della superficie sottesa dal grafico velocità-tempo in tale
intervallo (cioè l’area del trapezio evidenziato nel grafico):
Ds
area
2
0 0
area 1
s s s v t 2 at
= D = - = +
da cui:
Le leggi del moto (con s 0 ≠ 0, v 0 ≠ 0)
uSpostamento e velocità
Mettendo a sistema le leggi del moto uniformemente accelerato è possibile ricavare una formula che lega direttamente lo spostamento alla velocità, utile ad esempio, per il calcolo della distanza di
arresto:
0 0
2 2
0 0
0 0
0 0
1 1
2 2
t v v
v v at a
v v v v
s s v t at
s s v a
a a
ì = -
ì = + ï
ï Þ ï
í í
- -
= + + æ ö
ï ï = + +
î ïî çè ÷ø
Da cui, con semplici passaggi algebrici, si ottiene:
Il grafico accelerazione-tempo
Poiché l’accelerazione nel moto uniformemente accelerato è costante, il grafico accelerazione-tempo è un segmento
orizzontale
§ nel semipiano positivo se a > 0 (velocità crescente);
§ nel semipiano negativo se a < 0 (velocità decrescente);
§ sull’asse dei tempi se a = 0 (moto uniforme).
Grafico velocità-tempo Grafico accelerazione-tempo
Il lancio verticale verso l’alto
uLa salita
L’accelerazione di gravità g agisce su tutti i corpi vicini alla superficie terrestre,
siano essi in caduta o lanciati verso l’alto.
Se l’asse verticale è verso l’alto, con l’origine nel punto di lancio, durante la salita la palla ha:
§ velocità iniziale v0 positiva (stesso verso dell’asse)
§ accelerazione di gravità negativa (verso opposto rispetto all’asse).
Le leggi del moto diventano: 0 0 1 2
;
v v= - gt s v t= - 2 gt
Il lancio verticale verso l’alto
uIl tempo di salita
La posizione più alta raggiunta dalla palla è quella in cui la velocità si annulla
istantaneamente, prima di invertire il moto.
Dalla legge della velocità si ricava l’istante di tempo in cui si raggiunge l’altezza massima:
da cui:
0 max
0 v= - gt
Il lancio verticale verso l’alto
uL’altezza massima
Per ricavare l’altezza massima si pone t = tmax nella legge della posizione:
da cui:
2 2 2
2 0 0 0 0
max 0 max max 0
1 1
2 2 2
v v v v
s v t gt v g
g g g g
= - = - æ öç ÷ = -
è ø
Il lancio verticale verso l’alto
uTempo di volo e velocità al ritorno
L’accelerazione è sempre la stessa (pari a -g) durante tutto il lancio.
Ne consegue che:
Il moto di salita e il moto di discesa sono simmetrici.
Ovvero che:
Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita tmax e la velocità al ritorno è -v0, uguale in modulo alla velocità di lancio, ma con
verso opposto.
Il lancio verticale verso l’alto
uGrafici spazio-tempo e velocità-tempo
Il grafico v-t è una retta
inclinata verso il basso, che taglia l’asse del tempo in corrispondenza dell’istante di inversione del moto.
Il grafico s-t è un arco di parabola con la concavità verso il basso, il cui vertice corrisponde al punto di
inversione (altezza massima).
Grafici spazio-tempo e velocità-tempo
uDiscesa con velocità iniziale nulla
L’atleta parte da fermo. Nel tratto rettilineo
l’accelerazione è circa 4 m/s2.
Il grafico v-t è una semiretta uscente dall’origine. In ogni secondo la velocità aumenta di 4 m/s.
Il grafico s-t è un arco di parabola con
vertice nell’origine. In ogni secondo l’atleta percorre 4 m in più del secondo
precedente.
Grafici spazio-tempo e velocità-tempo
uPiù veloce
Dopo 10 m alla
velocità di 3 m/s il conducente
accelera di 2 m/s2 per 5 s.
Il grafico v-t è una semiretta che non passa per l’origine perché la velocità iniziale non è
nulla.
Il grafico s-t è un arco di parabola con
vertice che non è nell’origine. Le
distanze percorse in intervalli di tempo uguali aumentano.
Grafici spazio-tempo e velocità-tempo
uSalita e discesa
Con velocità iniziale di 8 m/s e accelerazione di 4 m/s2 il ragazzo arriva in cima con
velocità nulla, si gira e scende sempre più
veloce.
La velocità si
riduce di 4 m/s in ogni secondo: è positiva (in salita), si annulla
all’inversione, diventa negativa (in discesa).
Il vertice della
parabola è il punto di inversione del moto.
Le distanze percorse in intervalli di tempo uguali si accorciano in salita e aumentano in discesa.
