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♦ Omomorfismi di gruppi
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♦ Il gruppo AxB
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♦ Anelli -corpi
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♦ I numeri primi
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♦ Il teorema fondamentale dell’aritmetica
simbolo indicante argomento trattato e discusso in classe ma non riportato in queste slides
Rosalba Barattero
ESERCITAZIONE N.4
27 ottobre 2009
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ESERCIZIOC1.
Omomorfismi di gruppi Stabilire quali tra le seguenti funzioni sono omomorfismi di gruppi:
a) f: (Z,+) →( Q*, ⋅) definita da f(n)=2n b) f: (R+ , ⋅) → (R+ , ⋅) definita da f(x) = 3x c) f: (2Z,+) → (Z,+) definita da f(2m)=m d) f: (R*,⋅) → ({1,-1}, ⋅) definito da f(a)=1 se a>0, f(a) =-1 se a<0.
Ricordiamo che:
Se (G,°), (H, ) sono gruppi e f:G→H è una funzione, si dice che f è omomorfismi di gruppi se
f(g ° g′ ) = f(g) f(g′) per ogni g, g′ ∈G
( cioè l’omomorfismo di gruppi conserva la struttura di gruppo).
a)f(n+m) = 2m+n = 2m 2n = f(m) f(n) => Sì f è omo.
b) f(xy) = f(x) ⋅ f(y) (R+ indica i reali maggiori di zero)
3xy 3x ⋅ 3y
c) f(2m+2n) = f(2(m+n)) = m+n = f(2m)+f(2n) => Sì d) Se a>0,b>0 => f(ab)=1=f(a)f(b) … e così anche gli al- tri due casi ! => Sì
?
|| || ||
Se x=1, y =1 : 3 3 3
3 ≠ = => No Uguali ?
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ESERCIZIOC2.
Altri omomorfismi di gruppi a) Verificare che ZxZ con la seguente struttura
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) è gruppo.
b) Siano date la funzione f:Z→ZxZ definita da f(x) = (2x,3x), e la funzione g: ZxZ→Z definita da g(a,b) = 5a+3b, con Z gruppo additivo e ZxZ gruppo con la struttura di a).
Provare che f, g sono omomorfismi di gruppi.
c) Determinare il nucleo ker f, ker g
a) Chiusura: (a,b)∈ ZxZ, (c,d)∈ ZxZ => (a+c,b+d)∈ ZxZ perché Z è gruppo additivo e come tale è chiuso rispetto all’addizione , cioè sulla Ia componente si ha
a∈Z, c∈Z =>a+c∈Z e idem sulla IIa componente b∈Z, d∈Z =>b+d∈Z
Identità ( Elemento neutro) :
(a,b)+ (?,?) =(a,b) & (?,?) +(a,b)=(a,b), ∀(a,b) ∈ZxZ (?,? ) =(0,0) elemento neutro di ZxZ
Inverso di (a,b) ∈ZxZ :
(a,b)+(?,!) =(0,0) & (?,!) +(a,b)=(0,0) , con (a,b) ∈ZxZ (?,!)=(-a,-b) dove –a è l’inverso ( si chiama prefe- ribilmente opposto , essendo la struttura additiva) di a e –b è l’opposto di b nel gruppo Z.
Associatività : [(a,b)+(c,d)]+(e,f)= (a,b)+[(c,d)+(e,f)]
( visto in classe … discende dall’associatività nel gruppo Z).
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b) • f:Z→ZxZ definita da f(x)=(2x,3x) è omomorfismo di gruppo ? f(x)=(2x,3x) , f(y)= (2y,3y), f(x+y) = (2(x+y), 3(x+y))
Ma f(x)+f(y)=(2x,3x)+(2y,3y) =(2x+2y,3x+3y)
=(2(x+y), 3(x+y)) = f(x+y) OK !
• g: ZxZ→Z definita da g(a,b) = 5a+3b è OMO di gruppi Per la def. di OMO di gruppi deve risultare :
g[(a,b)+(c,d)] = g(a,b)+g(c,d) Calcoliamo: g(a,b) = 5a+3b g(c,d) = 5c+3d
g[(a,b)+(c,d)] = g (a+c,b+d) =5(a+c)+3(b+d)=g(a,b)+g(c,d) ok !
c) Ricorda : se f:G→H è omomorfismo di gruppi , l’insieme f-1(1H) ( immagine inversa dell’elemento neutro di H ) si dice nucleo di f (: ker f). Sappiamo dalla teoria che kerf è sot- togruppo di G.
• f:Z→ZxZ definita da f(x)=(2x,3x) :
kerf = {x∈Z| (2x,3x)=(0,0)} = {0Z} ( f è omo iniettivo) Per la def. detta in a) di struttura in ZxZ
Def. somma in ZxZ Def. di g
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• g: ZxZ→Z definita da g(a,b) = 5a+3b : kerg = {(a,b)∈ZxZ | 5a+3b =0}
= {(a,b)∈ZxZ | 5a=-3b }
In Z l’uguaglianza tra questi due interi 5a =-3b è verifi- cata quando a = … , b = … ?
5 e 3 sono numeri primi.
p è un numero primo (i suoi unici divisori sono p e 1) equivale a dire:
(*) se p divide il prodotto di due numeri uv, allora p divide u oppure v.
Nel ns.caso 3 divide 5a (esiste il numero -b t.c.
3(-b) = 5a) , ma 3 non divide 5, quindi 3 divide a ! E Allora a=3h , con h ∈Z.
E simmetricamente si ricava che 5 divide b, e allora b= 5k, con k ∈Z.
In altre parole… si ricavano le stesse informazioni utilizzando il teorema fondamentale dell’aritmetica: Ogni intero >1 si fattorizza in modo unico (a meno del- l’ordine) nel prodotto finito di primi.
5a =-3b sono lo stesso numero, a sinistra compare come fattore primo 5, a dx il 3, …e allora il 3 è divisore di a , e il 5 è divisore di b ! (*)
Conclusione : kerg = 3Zx5Z
N.B. 15⋅4=6⋅10 : 6 divide 15⋅4 (=60) , ma 6 non divide nè 4, nè 15. La proprietà (*) non vale: 6 non è primo !
(*)Trascurando i segni, in N è: n= 5k 3h p1h1 …. Pshs = 3h 5k p1h1 …. Pshs , con 3,5, p1,… ps primi
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ESERCIZIOC3.
ZxZ ; Anelli-Campi Stabilire se ZxZ con le seguenti strutture
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) , (a,b) ⋅ (c,d)=(ac,bd) è anello, campo.
Ricorda: Un anello A è un insieme dotato di due operazioni, di solito denotate +, ⋅ , tale che
- A è gruppo abeliano rispetto al + - In A valgono le proprietà
- associativa rispetto al ⋅ (a ⋅ b) ⋅ c = a⋅ ( b⋅ c) - distributiva del ⋅ rispetto al +
a⋅ (b+c)=a⋅b+a⋅c , (a+b) ⋅c = a⋅c+b⋅c
Un anello K con identità ( moltiplicativa ! ) è campo se o- gni elemento non nullo ammette inverso moltiplicativo.
Gli anelli più noti(finora!): Z, Q, R , l’anello dei polinomi a coeffi- cienti in un campo ( o anello) A[X], le funzioni da un anello in un anello con le due operazioni di somma e prodotto.Tra i campi Q,R.
Discussione in classe su questi anelli/campi, in particolare su A[X].
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ZxZ : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (1) (a,b) ⋅ (c,d)=(ac,bd). (2)
Abbiamo già visto nell’ex. 2 che ZxZ con l’operazione (1) è gruppo additivo. Con l’operazione (2) ZxZ è anello, detto anello somma diretta.
Abbiamo visto infatti in classe che sono verificate la chiusura e sono soddisfatte le proprietà associativa e distributiva.
Vediamo se ZxZ è campo.
L’identità moltiplicativa di ZxZ è (1,1), l’ additiva è (0,0) . Dato (a,b)∈ZxZ,(a,b)≠(0,0),esiste (c,d) t.c.
(a,b)⋅(c,d)=(1,1 )? Deve risultare ac =1 e bd=1 in Z , ma gli unici elementi invertibili in Z sono 1 e -1 , quindi ad es.
(0,1) non ha inverso moltiplicativo :
(0,1)⋅(c,d)=(1,1)=>(0)(c)=1:assurdo in Z ! Conclusione : ZxZ non è campo !
